P3 · Pure Mathematics 3

Чистая математика 3 (P3) расширяет P1 и P2: рациональные функции и обратные функции, модуль, комбинированные преобразования, обратные тригонометрические функции и гармоническая форма, подгонка модели лог-графика полный набор правил дифференцирования, интегрирование по распознаванию и численные методы. Знание P1 и P2 предполагается и может проверяться в работе WMA13/01 (1 час 30 минут, 75 баллов; те же правила использования калькулятора и справочника формул).

Формулы, которые необходимо знать для P3 (отсутствуют в справочнике):

Упрощение рациональных выражений путём разложения на множители и сокращения; алгебраическое деление охватывает знаменатели до квадратичных. Сокращайте только множители, никогда — слагаемые.

Функция — это взаимно однозначное или многозначно-однозначное отображение; её область определения — допустимые входные значения а её область значений — выходные значения. Композиция $fg$ означает «сначала выполнить $g$, затем $f$». Обратная функция $f^{-1}$ отменяет действие $f$ (она существует там, где $f$ является взаимно однозначной), и $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$; график $f^{-1}$ является отражением графика $f$ относительно $y = x$.

Разбор примера — обратная функция и композиция (адаптировано из Edexcel IAL WMA13 июнь 2025 вопрос 1). $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(a) Область значений $f$.

• При $x = 0$: $f(0) = 0$; по мере того как $x \to \infty$: $f(x) \to \tfrac23$ снизу, и $f$ возрастает (большие значения $x$ дают большие значения $f(x)$).
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(b) Найдите $f^{-1}(x)$.

• Пусть $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ и решите относительно $x$:
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• Check: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓.

(c) Решите $f^{-1}(x) = f(x)$.

• Проверка: $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓.

Модуль $|x|$ равен $x$ для $x \ge 0$ и $-x$ для $x < 0$: $y = |ax + b|$ — это график $y = ax + b$ с его отрицательной частью, отраженной выше оси. Зная $y = f(x)$, постройте $y = |f(x)|$ (отразите любую часть ниже оси) и $y = f(|x|)$ (оставьте правую половину, отразите её влево). Решайте уравнения с модулем графически или методом разбора случаев, проверяя каждое решение.

Комбинированные преобразования применяют правила P1 одновременно, например $y = 2f(3x)$ или $y = f(-x) + 1$: растяжения перемножаются, затем выполняются сдвиги; порядок, указанный в программе, — $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$, объединенные в одно выражение ($y = f(ax+b)$ как таковое не требуется).

Разобранный пример — уравнение с модулем (собственный пример программы). Решите $|2x - 1| = x + 5$.

• Случай $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ (удовлетворяет $x \ge \tfrac12$).
• Случай $2x - 1 < 0$: $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$).
• Оба решения равны $x = 6$ и $x = -\tfrac43$. Проверка: $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

Обратные функции:

с тождествами $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ и $\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$. Их графики имеют асимптоты там, где знаменательная функция равна нулю. Обратные функции $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ need restricted domains: $\arcsin: [-1, 1] \to [−\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [−1,1] → [0, \pi]$, $\arctan: \mathbb{R} → (−\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

Гармоническая форма: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ с $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ и $\tan\alpha = \dfrac ba$ — одно число, один угол, готовый к максимизации или решению.

Разбор примера — гармоническая форма (адаптировано из Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q2). Представьте $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$ в виде $R\cos(x + \alpha)$, $R > 0$, $0 < \alpha < 2\pi$.

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• Раскройте $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$ и сопоставьте: $25\cos\alpha = 7$ и $25\sin\alpha = 24$, поэтому $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ и
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• Проверка: $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ и $-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓.

Разбор примера — доказательство тождества (адаптировано из Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q8a). Докажите $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• Запишите $3x = 2x + x$ и используйте формулу суммы углов:
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• Подставьте:
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• Check at $x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): numerator $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 − 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$ не определён ✓ согласовано.

$y = e^x$ проходит через $(0, 1)$ и растёт без границ; $\ln x$ — её обратная функция с областью определения $x > 0$ и осью $y$ как асимптотой. Решите $e^{ax+b} = p$, взяв $\ln$, и $\ln(ax + b) = q$ возведением в степень.

Логарифмические графики: для $y = ax^n$, взятие логарифма даёт $\log y = n\log x + \log a$ — построение графика $\log y$ против $\log x$ даёт прямую линию с угловым коэффициентом $n$ и отрезком на оси y $\log a$. Для $y = kb^x$ постройте график $\log y$ против $x$: угловой коэффициент $\log b$, отрезок на оси y $\log k$.

Разобранное решение — восстановление степенной зависимости (адаптировано из Edexcel IAL WMA13 июнь 2025 вопрос 3). Прямая линия $\log_{10}y$–$\log_{10}x$ проходит через точки $(-3.5, 0)$ и $(0, -2)$. Выразите $y$ как $px^q$.

• Угловой коэффициент: $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$; отрезок на оси y $-2$:
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• Преобразование: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$, следовательно
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• Проверка по точке на прямой: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = -2 \Rightarrow y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

Разобранное решение — модель экспоненциального затухания (адаптировано из Edexcel IAL WMA13 июнь 2025 вопрос 6). Процессор остывает согласно уравнению процессор охлаждается до $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ в °C, $t$ в минутах), начиная с 75 °C, достигая значения 25 °C через 5 минут; найдите константы $A$, $k$ и момент времени, когда температура снижается со скоростью 9 °C в минуту.

• При $t = 0$: $75 = 21 + A$, следовательно $A = 54$.
• При $t = 5$: $25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• Скорость изменения: $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$; приравняем к $-9$:
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• Начальное значение составляет 75 °C, а асимптотическое нижнее ограничение (температура окружающей среды) равно 21 °C.
• Проверка: при $T = 2.19$, температура $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C, снижается составляет $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/мин ✓. Нижняя граница модели равна 21 °C (температура комнаты) — разумно для больших $t$.

Найдите производные $\sin kx$, $\cos kx$, $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$), $e^{kx}$, $\ln kx$ ($\to \tfrac1x$), а также суммы и разности.

Три правила расширяют область применения: правило произведения, правило частного и правило сложной функции.

$\sec x \to \sec x\tan x$, $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$, $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ следуют из правила частного. Неявное дифференцирование использует $\dfrac{dy}{dx} = 1 \div \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is given in terms of $y$.

Разбор примера — произведение и правило сложной функции вместе (на основе собственных примеров из спецификации). Найдите производную $e^{-x^2}\sin 3x$ (адаптировано из Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q7).

• Правило произведения для $u = e^{-x^2}$ (сложная функция: $u' = -2xe^{-x^2}$) и $v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$):
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• Проверка при $x = 0$: производная $= 1 \times (3 - 0) = 3$, и вблизи $0$ кривая ведёт себя как $\sin 3x$ с угловым коэффициентом 3 ✓.

Интегрируйте стандартные формы напрямую и используйте формы распознавания (выявление $f'$ под знаком интеграла):

Тригонометрические тождества преобразуют $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan^2 x$ в интегрируемые формы ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

Разбор примера — сначала тождество (адаптировано из Edexcel IAL WMA13 June 2025 Q5). Найдите $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• Двойной угол с использованием $A = 3x$: $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$, следовательно $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$:
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• Проверка дифференцированием: $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

Разбор примера — распознавание. Найдите $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$.

• Числитель является производной знаменателя ($f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$):
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• Проверка: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. Степенная форма работает аналогично: при $u = 3x^2 + 4$ и $du = 6x\,dx$,
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  а дифференцирование $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ даёт $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• Смена знака: если $f$ непрерывна на $[a, b]$ и $f(a)f(b) < 0$, корень находится между $a$ и $b$. Делите интервал пополам, чтобы зафиксировать корень с любой заданной точностью.
• Итерация: преобразование $x_{n+1} = f(x_n)$ из начального значения сходится к неподвижной точке (или нет — всегда проверяйте по границе смены знака).

Разобранный пример — нахождение и итерация (адаптировано из Edexcel IAL WMA13 июнь 2025 Q7). Это стационарная точка $y = e^{-x^2}\sin 3x$ вблизи $x = 0.4$ удовлетворяет условию $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$.

(a) При использовании $x_1 = 0.4$:

• Проверка сходимости итерации: $|x_3 - x_2|$ мало, и значения стабилизируются вблизи 0.43 ✓. (б) Докажите, что корень равен 0.430 с точностью до 3 знака после запятой: определите $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ (или выражение производной из разобранного примера выше):
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ непрерывна, и смена знака между значениями в скобках 0.4295 и 0.4305 указывает на наличие корня, поэтому корень равен 0.430 с точностью до 3 знака после запятой ✓.

• Упрощать рациональные выражения; разлагать на множители перед сокращением; делить на линейные или квадратичные делители.
• Работать с областью определения, множеством значений, композицией и обратными функциями; проверять обратные функции через композицию, дающую $x$.
• Строить графики и решать уравнения с модулем, рассматривая случаи с проверкой; комбинировать два преобразования на одном графике.
• Использовать sec, cosec, cot и их тождества; знать области определения обратных функций.
• Преобразовать $a\cos\theta + b\sin\theta$ в $R\cos(\theta \pm \alpha)$; снять максимумы и решить.
• Доказывать сложения и двойного угла тождества; применять их прямо и обратно.
• Решать $e^{ax+b} = p$ и $\ln(ax+b) = q$; восстанавливать $y = ax^n$ и $y = kb^x$ из логарифмических графиков.
• Дифференцировать по правилам произведения, частного и сложной функции, включая $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$; использовать $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• Моделировать рост и убывание; интерпретировать начальное значение и долгосрочный пол; критически оценивать модель.
• Интегрировать стандартные формы; распознавать $\int f'/f$ и $\int f'(f)^n$; применять тождества к квадратам тригонометрических функций.
• Локализовать корни по изменению знака с утверждением о непрерывности; запустить и проверить итерацию.