P4 · Pure Mathematics 4

Чистая математика 4 (P4) — последний обязательный модуль по чистой математике для Международного A-Level и Международного A-Level по чистой математике. P1–P3 считаются изученными и могут быть протестированы на экзаменационном листе WMA14/01 paper (1 hour 30 minutes, 75 marks; same calculator and formula-booklet rules). This reference охватывает доказательство от противного, разложение на простейшие дроби, параметрические уравнения, общий биномиальный ряд, неявное и параметрическое дифференцирование, дифференциальные уравнения, расширенные методы интегрирования, объёмы вращения и векторы.

Обязательно знать для P4 (нет в сборнике):

Доказательство от противного предполагает противоположное утверждению, выводит невозможность, и делает вывод о справедливости исходного утверждения. Два классических примера необходимо знать:

Разбор примера — $\sqrt2$ иррационален. (Число называется иррациональным, если ему не соответствует никакая дробь $\tfrac pq$.) Предположим вместо этого, что $\sqrt2 = \tfrac pq$ в наименьших слагаемых ($p, q$ — взаимно простые целые числа, $q \ne 0$).

• Возведём в квадрат: $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$, значит $p^2$ чётно, следовательно $p$ чётно: запишем $p = 2r$.
• Тогда $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$, значит $q$ также чётно.
• Оба $p$ и $q$ чётны, что противоречит тому, что $\tfrac pq$ находится в несократимом виде. $\blacksquare$

Разбор примера — существует бесконечно много простых чисел. Предположим конечное количество: $p_1, \ldots, p_k$.

• Рассмотрите $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$. Деление $N$ на любое $p_i$ даёт остаток 1.
• Значит, $N$ либо само является простым числом, либо имеет простой множитель, отсутствующий в списке — в любом случае простое число вне множества $\{p_1, \ldots, p_k\}$, что противоречит предположению. $\blacksquare$

Разбор примера — тригонометрическое противоречие (адаптировано из Edexcel IAL WMA14, июнь 2025 задача 10). Докажите, что $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ для всех $90° < x < 180°$.

• Предположим обратное: найдётся некоторый $x$ из диапазона, для которого выполняется $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. Возведём обе части (обе стороны неотрицательны): стороны неотрицательны):
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• Но $90° < x < 180°$ приводит к $180° < 2x < 360°$, где $\sin 2x < 0$ — противоречие.
• Следовательно, такой $x$ не существует и $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ на всём промежутке. $\blacksquare$
• Проверка при $x = 135°$: $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓; при $x = 100°$: $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

Разложите рациональные дроби на простые дроби. Знаменатели остаются в виде повторяющихся линейных множителей: $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ или $(ax+b)(cx+d)^2$ с повторяющимся множителем $(cx+d)$ раскладывается по степеням; квадратичные множители не требуются. Неправильные дроби (степень числителя $\ge$ степени знаменателя) сначала выполните деление.

Разобранный пример — различные множители. Разложите $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ (из набора P2 задания):

• Проверка при $x = 0$: LHS $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$; RHS $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

Разобранный пример — повторяющийся множитель. Разложите $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$.

• Составьте уравнение с повторным множителем, распределённым по обеим степеням:
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• Умножьте обе части: $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• При $x = 0$: $6 = A$. При $x = -1$: $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• Сравните коэффициенты при $x^2$: $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• Проверка при $x = 1$: LHS $= \tfrac{16}{4} = 4$; RHS $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

Параметрические уравнения задают обе координаты через параметр $t$: $x = f(t)$, $y = g(t)$. Переведите в декартову форму, выразив $t$ из одного уравнения и подставив его в другое (или используя тригонометрическое тождество). Никогда не забывайте о исключённые значения $x$, при которых нарушается параметрическое отображение.

Разобранный пример. Кривая имеет $x = 2t$, $y = t^2 - 1$. Найдите декартово уравнение.

• Из $x = 2t$: $t = \dfrac x2$, следовательно
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• Проверка при $t = 3$: $(x, y) = (6, 8)$; Декартово: $36/4 - 1 = 8$ ✓.

Разобранный пример — параметрическая точка и нормаль (проверенные факты из Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q5). Параметрическая кривая проходит через $P(-7, -3)$ при $t = 2$ со значением $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$ в этой точке (из $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$).

• Угловой коэффициент нормали: $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• Проверка: $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓.

Для любого рационального $n$ и $\lvert x \rvert < 1$:

Сначала вынесите множитель: $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$, верно для $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$. Разложите рациональные функции на простейшие дроби, а затем раскройте каждый элемент. Степени не обрываются, если только $n$ не является положительным целым числом.

Разобранный пример (адаптировано из Edexcel IAL WMA14 June 2025 Q8). Раскройте $\sqrt{4 + x}$ до трёх ненулевых членов.

• Вынесение множителя: $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$, верно $\lvert x\rvert < 4$, с $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• Проверка при $x = 1$: ряд даёт $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$; истинно $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (третий член снижает значение двухчлена 2.25 до интервала 0.002).

Неявное дифференцирование дифференцирует обе части по $x$, рассматривая $y$ как функцию от $x$: $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$, а произведения, такие как $xy$, требуют правила произведения: $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. Затем решите относительно $\dfrac{dy}{dx}$.

Параметрическое дифференцирование: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ при $dx/dt\ne0$; иначе проверьте касательную непосредственно.

Разобранное решение — касательная неявной функции (адаптировано из Edexcel IAL WMA14, июнь 2025, вопрос 1). Уравнение кривая $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ проходит через точку $\left(\tfrac12,\ 4\right)$. Найдите касательную в этой точке.

• Дифференцируем почленно:
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• При $\left(\tfrac12, 4\right)$: $\mathrm{e}^{1-1} = 1$, следовательно,
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• Касательная: $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• Проверка: $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓.

Составьте уравнение на основе описания скорости, затем решите разделяемые уравнения:

Проверьте любые значения, которые сокращаются при разделении переменных: постоянные решения могут быть потеряны. Используйте начальное условие для частного решения. Связанные скорости изменения используют правило сложной функции: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.

Разобранное решение — таяние сферы (Edexcel IAL WMA14, июнь 2025, вопрос 2). Сфера радиусом $r$ см имеет объём $V = \tfrac43\pi r^3$ и тает со скоростью $\dfrac{dV}{dt} = k$ (постоянной, в см³ в секунду). Докажите, что $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$.

• Дифференцируем связь объёма: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
• Правило сложной функции: $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, следовательно,
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• Постоянная величина $\dfrac{k}{4\pi}$ умножается на $\dfrac{1}{r^2}$: скорость уменьшения радиуса обратно пропорциональна $r^2$. $\blacksquare$
• Интерпретация: малые сферы исчезают непропорционально быстро — последний миллиметр тает быстрее всего.

Разобранное решение — разделяемое уравнение (адаптировано из Edexcel IAL WMA14, июнь 2025, вопрос 3). Найдите $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$, если известно $y = 4$ при $x = \tfrac\pi6$.

• Разделение переменных: $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (правая часть интегрируется до $\tfrac32\sec 2x$, что соответствует обратному преобразованию $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$):
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• Подстановка $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$: $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$, следовательно $C = 10$:
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• Проверка: $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓.

• Замена переменной (обычно задана): перепишите интеграл в виде $u$, скорректируйте $dx$ с помощью $\dfrac{du}{dx}$, проинтегрируйте, вернитесь к исходной переменной. Это обратное правило дифференцирования сложной функции.
• Интегрирование по частям: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — обратное правило произведения. Запомните $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ и повторяющиеся части для интегралов типа $\int x^2\mathrm{e}^x dx$.
• Разложение на простейшие дроби превращает рациональную подынтегральную функцию в сумму $\dfrac{A}{ax+b}$ (интегрирование приводит к логарифмам) и $\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (к степенным функциям).

Разобранный пример — части с повторяющимся элементом. Найдите $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ (требуется для объёмов вращения тригонометрических кривых).

• По частям с $u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$:
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• Снова по частям для нового интеграла ($u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$):
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• Исходный интеграл появляется снова; сгруппируйте его:
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• Проверка дифференцированием: $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

Вращение области под кривой $y = f(x) \ge 0$ вокруг оси $x$ образует тело, объем которого равен

объему тела вращения

Возведите функцию в квадрат до интегрирования, используйте тождества для упрощения $\sin^2$/$\cos^2$, а также разбейте выражение по свойствам линейности. Для параметрических уравнений замените $y^2\,dx$ на $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ между значениями параметров; площади под параметрическими кривыми используют $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$.

Разобранный пример — объём с использованием тождества (структура адаптирована из Edexcel IAL WMA14 июнь 2025 Q9). Область под $y = 3\cos x$ для $0 \le x \le \tfrac\pi2$ вращается вокруг $x$-оси; найдите точный объём.

• Проверка: среднее значение $\cos^2x$ за полуоборот равно $\tfrac12$, поэтому $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ точно.

Вектор имеет модуль и направление, записывается как $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ или столбец.

Модуль равен $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$; для $\mathbf a\ne\mathbf0$ единичный вектор в его направлении равен $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$. Нулевой вектор не имеет направления.

Сложение и умножение на скаляр имеют геометрический смысл (сдвиги, масштабирование, параллельность, когда один является кратным другому).

Скалярное произведение $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ позволяет найти углы между ненулевыми векторами через $\cos\theta$. Радиус-вектор точки $B$ относительно точки $A$ равен $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$.

Разобранный пример — треугольник со стороной 45° (Edexcel IAL WMA14 июнь 2025 Q6, полностью проверено). $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$, и угол $BAC = 45°$.

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$, следовательно $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$.
• Скалярное произведение: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$.
• Условие угла при использовании $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$:
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• Проверка: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ совпадает со скалярным произведением.

• Структура доказательств от противного (√2, простые числа) с формулировкой предположения и указанием противоречия.
• Разложение на простейшие дроби с повторными линейными множителями; неправильные дроби следует сначала разделить, затем проверить подстановкой значения.
• Переход между параметрическими ↔ декартовыми уравнениями с исключёнными значениями; нахождение касательных и нормалей к параметрическим кривым через dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
• Разложить $(a + bx)^n$ для рациональных $n$ с учётом области допустимых значений; объединить разложения дробей. простейших дробей.
• Дифференцировать неявно (правило произведения для смешанных членов) и параметрически; составлять дифференциальные уравнения из связанных скоростей изменения величин.
• Решать уравнения с разделяющимися переменными с граничным условием; проверять частное решение.
• Интегрировать заменой, по частям (включая повторения, $\ln x$) и простейшими дробями.
• Вычислять объёмы тел вращения $\pi\int y^2 dx$ и площади параметрических кривых через $dx/dt$.
• Использовать векторы: модуль, единичные векторы, радиус-векторы; скалярное произведение для углов.