Статистика 2: распределения, непрерывные переменные и проверки гипотез
Статистика 2 (S2, экзаменационный билет WST02/01, 1 час 30 минут, 75 баллов, первое оценивание — июнь 2020) следует за S1 в прикладном направлении: P1–P2 и S1 предполагаются. В сборнике приведены таблицы биномиального, пуассоновского и нормального распределений. Данная справочная информация охватывает биномиальное и пуассоновское распределения с их приближениями, непрерывными случайными величинами, равномерным распределением, выборкой и полной процедурой проверки гипотез.
Обязательно знать для S2 (не включено в сборник):
| Семейство | Формулы |
|---|---|
| биномиальное | $X\sim B(n, p)$: $E(X) = np$, $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$, $P(X = r) = \binom nr p^r(1-p)^{n-r}$ |
| пуассоновское | $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$: $E(X) = \mathrm{Var}(X) = \lambda$; интенсивности масштабируются по времени |
| непрерывное | $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$, $f(x) = F'(x)$, $E(X) = \int xf(x)\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f(x)\,dx$ |
| равномерное | на $[a, b]$: среднее $\tfrac{a+b}2$, дисперсия $\tfrac{(b-a)^2}{12}$, плотность $\tfrac1{b-a}$ |
Биномиальное и пуассоновское распределения
Биномиальное распределение: $n$ независимых испытаний, постоянная вероятность $p$ — два предположения, которые необходимо указать в контекст. Распределение Пуассона: события происходят поодиночке, независимо друг от друга, с постоянной средней интенсивностью — это интенсивность масштабируется ($\mathrm{Po}(\lambda)$ в минуту даёт $\mathrm{Po}(5\lambda)$ за 5 минут). Моменты представлены формулами: $np$ и $np(1-p)$; $\lambda$ и $\lambda$. Зная среднее и дисперсию биномиального распределения, найдите одновременно $n$ и $p$. Приближение Пуассона для биномиального требует, чтобы $n$ было большим, а $p$ — малым (используйте $\lambda = np$).
Разобранное решение — моменты и приближения (WST02 Июнь 2025 Задание3). Синие конфеты в маленькой сумка имеет среднее 3 и дисперсию 2.55: $np = 3$ и $np(1-p) = 2.55$ дают $1 - p = 0.85$, поэтому $p = 0.15$ и $n = 20$. В среднем пакете из 40 штук 20% зелёные: $X\sim B(40, 0.2)$, $E(X) = 8$, и $P(X > 8) = 1 - P(X \le 8) = 0.407$. В большом пакете из 80 штук 10% жёлтые: при $n = 80$ больших и $p = 0.1$ маленьких, $X\approx\mathrm{Po}(8)$ и $P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) = 0.112$.
Непрерывные случайные величины
Непрерывная случайная величина имеет функцию плотности вероятности $f$ с общей площадью 1 и значением $P(X = x) = 0$ в каждой точке; функция распределения $F(x) = P(X \le x)$, $f = F'$, $F(a) = \int_{-\infty}^a f$; асимметрия нормализует $\int f = 1$ (что определяет неизвестную константу), затем определите медиану ($F = \tfrac12$), квартили, а мода определяется по вершине графика $f$ (задайте $f' = 0$ или проверьте углы). $E(X) = \int xf\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f\,dx$, $\mathrm{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$; асимметрия сравнивает среднее, медиану и моду.
![Слева: функция распределения F(x) = (6x^2 - x^4)/5 на [0, 1], возрастающая от 0 до 1, с отмеченной медианой при F = 1/2 (x = 0.671). Справа: плотность f(x) = (12x - 4x^3)/5 с модой при x = 1 и заштрихованной областью справа от x = 0.6 (0.594).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-cdf-pdf.png?v=1792758424)
Worked example — a CDF worked through (WST02 June 2025 Q1). $F(x) = k(6x^2 - x^4)$ on [0, 1]: $F(1) = 1$ даёт $5k = 1$. $P(X > 0.6) = 1 - \tfrac{6(0.36) - 0.1296}{5} = 0.594$. Медиана: $\tfrac{6m^2 - m^4}{5} = \tfrac12$, т. е. $2m^4 - 12m^2 + 5 = 0$, следовательно, $m = 0.671$. Мода: $f(x) = \tfrac{12x - 4x^3}{5}$ и $f'(x) = \tfrac{12 - 12x^2}{5} = 0$ даёт $x = 1$ (отбрасываем $-1$, так как он вне области определения). Асимметрия: среднее $0.64 <$ медиана $0.671 <$ мода $1$ — отрицательная асимметрия.
![Left: a triangular pdf rising along 2x/21 from 0 to k = 3.5 then falling along 2(6-x)/15 to x = 6, peak value 1/3 marked. Right: the uniform density on [-2, 14] at height 1/16 with the interval [8, 14] shaded (area 3/8).](/handout-media/edexcel_ial_further_mathematics/assets/08-triangular-pdf.png?v=1792133600)
Разобранное решение — кусочно-линейная плотность вероятности, без калькулятора (WST02 июнь 2025 вопрос 5). При $f(x) = \tfrac{2x}{21}$ на $[0, k]$ и $f(x) = \tfrac{2(6-x)}{15}$ на $(k, 6]$: нормировка,
следовательно $k = 3.5$ (плотность непрерывна в этой точке, обе части равны $\tfrac13$). Затем $E(X) = \tfrac{2}{21}\cdot\tfrac{k^3}{3} + \tfrac{2}{15}\int_{3.5}^6(6x - x^2)dx = \tfrac{19}6$, и при заданном $E(X^2) = \tfrac{277}{24}$, $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{277}{24} - \tfrac{361}{36} = \tfrac{109}{72}$.
Непрерывное равномерное распределение
Непрерывное равномерное распределение на $[a, b]$ Равномерное на $[a, b]$: плотность $\tfrac1{b-a}$, линейная функция распределения, среднее $\tfrac{a+b}2$, дисперсия $\tfrac{(b-a)^2}{12}$. Два факта фиксируют $a$ и $b$ (интервальная вероятность даёт $b - a$; среднее среднее даёт $a + b$). Кодирование масштабирует среднее; вероятности — это длины относительно $b - a$.
Worked example — uniform on a wide interval (WST02 June 2025 Q6). $P(2 < X < 5) = \tfrac3{16}$ gives $b - a = 16$; $E(X) = 6$ gives $a + b = 12$: so $a = -2$, $b = 14$ ($a = 4.4$, $b = 7.6$ также подходят — но для всего задания нужно оставить только один корень). $E(cX + 1) = 3$ даёт $c = \tfrac13$; $\mathrm{Var} = \tfrac{256}{12} = \tfrac{64}3$; $E(X^2) = \tfrac{64}3 + 36 = \tfrac{172}3$; and $P(\tfrac32X - b > a) = P(X > \tfrac{2(a+b)}3) = P(X > 8) = \tfrac{14-8}{16} = \tfrac38$.
Генеральные совокупности, выборки и статистики
Перепись охватывает всех (полная, но дорогая, медленная, возможно разрушительная); а выборка охватывает часть (дешевле, быстрее, но с ошибкой выборочного отбора). Выборочная рамка перечисляет единицы выборки. Статистика — это функция только значений выборки (без неизвестных параметров) — $\bar X$ является таковой, $\bar X - \mu$ нет; её распределение при многократном повторении выборок называется выборочным распределением.
Разобранный пример — выборочное распределение (WST02 июнь 2025 вопрос4). Три бусины из 2:5 черно-белого мешка, начисление 4 за черную и 1 за белую: при $P(\text{black}) = \tfrac27$, значение балла $X$ принимает значения 3, 6, 9, 12 с вероятностями $\tfrac{125}{343}, \tfrac{150}{343}, \tfrac{60}{343}, \tfrac{8}{343}$ (binomial weights $\binom30(\tfrac57)^3$ etc.). If $Y$ обозначает 9-очковые множества среди $n$ независимых игр, $Y\sim B(n, \tfrac{60}{343})$ и $1 - (\tfrac{283}{343})^n > 0.95$ требует $n > 15.6$, следовательно $n = 16$.
Проверка гипотез
Гипотетический тест сравнивает данные с нулевой моделью.
Сформулируйте нулевую гипотезу $H_0$ (изменений нет, цитируемый параметр) и $H_1$ (односторонний или двухсторонний в зависимости от вопроса). Найдите критическую область на указанном уровне, накапливая вероятности хвостов до пересечения $\alpha$; укажите фактический урень значимости как общую вероятность хвоста. Односторонние тесты помещают весь уровень в одну хвостовую область; двухсторонний тест делит его пополам. Выводить с учётом контекста: «недостаточно доказательств того, что … произошло изменение». Нормальные приближения к биномиальному распределению: среднее $np$, дисперсия $np(1-p)$, с поправкой на непрерывность (как минимум $t$ означает $t - 0.5$).
Разобранное решение — тест скорости Пуассона (WST02 июнь 2025 вопрос2). В среднем 20 клиентов/час; после изменений наблюдается интервал 30 минут: $X\sim\mathrm{Po}(10)$, $H_0\colon\lambda = 10$, $H_1\colon\lambda \ne 10$. При уровне значимости 3%: $P(X \le 3) = 0.0103$, но $P(X \le 4) = 0.0293$ (слишком велико); $P(X \ge 17) = 0.0270$, но $P(X \ge 18) = 0.0143$ — область отсечения $X \le 3$ или $X \ge 18$, фактический уровень $0.0103 + 0.0143 = 2.46\%$. Наблюдаемое значение 16 находится вне области → не отвергаем $H_0$.
Разобранное решение — биномиальный тест с использованием нормального приближения (WST02 июнь 2025 вопрос7). 30% от клиентов оформляют страховку; выборка из 40 дает $X\sim B(40, 0.3)$. Максимальное $r$ при $P(X < r) < 0.05$ (fewer than $r$): $P(X \le 6) = 0.0238 < 0.05$ but $P(X \le 7) = 0.0553 > 0.05$, so $r = 7$. Для 200 клиентов, $B(200, 0.3)\approx N(60, 42)$: $P(X \ge t) = 0.9474$ означает $\tfrac{t - 0.5 - 60}{\sqrt{42}} = -1.62$, значит $t = 50$. После специальной акции 11 из 25 покупают: $H_0\colon p = 0.3$, $H_1\colon p > 0.3$; $P(X \ge 11) = 0.0978 < 0.10$, значит отвергаем $H_0$ — есть доказательства роста доли.
Чек-лист перед завершением этого раздела
- Сформулировать предположения биномиального/пуассоновского распределения в контексте задачи; найти пары среднего/дисперсии для $n$, $p$; масштабировать скорости Пуассона по времени.
- Нормализовать кусочно-заданные плотности (константы, полные квадраты); дифференцировать F для получения f; найти медиану/квартили через F, моду через f' или вершины; вычислить E(X), E(X²), Var; определить асимметрию по среднему, медиане и моде.
- Привести свойства равномерного распределения; определить a и b по промежутку и среднему значению; хранить вероятности как длины отрезков.
- Различать перепись и выборку с их преимуществами и недостатками; распознавать статистики; строить малые выборочные распределения перечислением; описывать количество успехов через B(n, p) для дальнейших расчетов.
- Проводить односторонние и двусторонние тесты: гипотезы символами и словами, область отсечения методом накопления, фактический уровень значимости, вывод в контексте; нормальное приближение со скорректировкой на непрерывность при большом n.