Непрерывные распределения и функции плотности
Введено| English | Значение |
|---|---|
| probability density/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | плотность вероятности |
Является ли высота такой же, как вероятность?
- Время ожидания может принимать любое значение в интервале. Его вероятность определяется площадью, а не высотой графика в конкретный момент времени.
- Этот урок посвящен плотности вероятности: неотрицательной функции, интеграл которой по интервалу дает вероятность.
Выберите математическую структуру
- Плотность f должна быть неотрицательной и интегрироваться до 1 на своей области определения. Функция распределения F(x) — это интеграл до x. Для непрерывной случайной величины P(X=x)=0, а E(X) — это интеграл от xf(x).
- Укажите допустимые входные данные и единицы измерения перед вычислением. Уравнение должно отражать зависимость, а не просто фиксировать ввод в калькулятор.
Почему для непрерывной случайной величины P(X=1)=0, хотя плотность может быть положительной при 1?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Плотность дает вероятность через интегрирование по интервалу. Интервал точки имеет нулевую ширину, следовательно, нулевую площадь и нулевую вероятность — какой бы высокой ни была плотность.
Разберите проверенный случай
- Проверьте результат по исходным величинам. Подставьте значения в исходное соотношение или сравните график и числовой ответ, где это уместно.
Пусть f(x)=kx при 0≤x≤2 и ноль в остальных случаях. Нормировка дает интеграл_0^2 kx dx=2k=1, следовательно k=1/2. Затем P(X≤1)=integral_0^1 x/2 dx=1/4 и E(X)=integral_0^2 x²/2 dx=4/3.
Непрерывные распределения и функции плотности
Плотность f должна быть неотрицательной и интегрироваться в 1 на своей области определения.
Сравните модель с разобраным примером и объясните одно изменение.
Найдите k, если f(x)=kx на [0,2] является функцией плотности.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Площадь под кривой плотности k[x²/2] от 0 до 2=2k=1, следовательно k=1/2.
Проверьте соблазнительное сокращение
- Плотность может превышать 1, оставаясь действительной; общая площадь должна равняться 1. Функция распределения не может убывать. Включайте область нулевой плотности вне области определения при определении полной модели.
- Если сокращение приводит к ошибке, определите нарушенное предположение. Сохраняйте точное значение до момента, когда требуется финальное округление.
Для непрерывной случайной величины P(X=x) равно высоте плотности f(x). Это утверждение неверно. Объясните, какое определение или допущение оно нарушает.
Для данной плотности найдите P(X≤1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Вероятность=интеграл x/2 от 0 до 1=[x²/4]=1/4.
Для непрерывной случайной величины P(X=x) не равно высоте плотности f(x); оно равно нулю.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Плотность может превышать 1, оставаясь корректной; суммарная площадь должна быть равна 1. Кумулятивная функция распределения не может убывать. При определении полной модели необходимо учитывать область с нулевой плотностью вне области определения.
Интерпретируйте новую ситуацию
- Для равномерного распределения плотность обратно пропорциональна длине интервала. Находите медианы или перцентили через функцию накопления вероятностей и используйте интеграл, учитывающий область определения, для моментов.
- Полное решение должно содержать математический результат и объяснение его смысла. Убедитесь, что полученный результат возможен в заданном контексте.
Для данной плотности найдите E(X).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
E(X)=интеграл x²/2 от 0 до 2=[x³/6]=4/3.
Сопоставьте каждое требование к функции плотности с соответствующим утверждением.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Плотность может превышать 1 локально; общая площадь зафиксирована на уровне 1. Функция распределения вычисляется через интеграл, а математическое ожидание взвешивается по x.
Примените это в своем курсе
- Edexcel IAL Further Mathematics; официальный модуль S2. Обогатительный контент из других модулей определяется в обзоре охвата и не является дополнительным требованием для зачисления.
- Приводите ход решения до финального ответа и соблюдайте правила использования калькулятора и формул, указанные в экзаменационном билете. Проанализируйте неверный ответ, найдя первый недопустимый шаг.
Неотрицательная функция, интеграл которой по интервалу дает вероятность. Выберите соотношение, покажите метод, проверьте его допущения и интерпретируйте результат.