S1 · Statistics 1

Статистика 1 (S1, вариант WST01/01, 1 час 30 минут, 75 баллов, первый экзамен в июне 2019) — это статистический партнёр M1 в Международном AS Математике; P1 и P2 предполагаются. Этот в справочнике приведены статистические таблицы; формулы ниже нужно знать наизусть. Этот справочник охватывает представление данных и их сводку, вероятность, корреляцию и регрессию, дискретные случайные величины и нормальное распределение.

Обязательно к запоминанию для S1 (отсутствует в справочнике):

Статистическая модель — это упрощённое описание реальной ситуации, используемое для представления, анализа и прогнозирования. Причины применения: оно быстрее и дешевле реального эксперимента, его можно повторить и уточнить, а также оно выявляет взаимосвязи. Знать стандартные причины — «для прогнозирования» само по себе недостаточно для получения балла.

В гистограмме ПЛОЩАДЬ равна частоте: высота столбца — плотности частоты $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$, поэтому неравные классы имеют неравные ширины, и сравнение столбцов равносильно сравнению плотностей. Стеблево-листовая диаграмма сохраняет исходные значения (диаграмма «спина к спине» сравнивает две группы). Коробчатая диаграмма показывает минимум, нижний квартиль, медиану, верхний квартиль, максимум, при этом выбросы отмечены отдельными крестиками под любым правилом, которое указано в условии задачи.

Разбор примера — высота столбцов гистограммы через пропорцию (WST01 июнь 2025 вопрос 5a). Скорости 225 автомобилей в классы ширины 5, 5, 10, 15, 15 с частотами 54, 90, 60, 15, 6: плотности равны 10.8, 18, 6, 1, 0.4. Самый высокий столбец (25–30, плотность 18) нарисован высотой 10 см, поэтому второй по высоте (20–25, плотность 10.8) составляет $\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ см. Осторожно: столбец 30–40 ТАКЖЕ имеет плотность 6 — баллы начисляются только за аргумент отношения, а не «60 ÷ 10».

Для сгруппированных данных медиану или квартили оценивают методом линейной интерполяции внутри включающий класс: $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. Межквартильный размах равен $Q_3 - Q_1$; дисперсия составляет $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$ (или $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$). Объединение групп: общая $\sum x = \sum n_i\bar x_i$, общая $\sum x^2$ суммируется напрямую, затем формулы применяются снова. Среднеквадратичное отклонение — это квадратный корень из дисперсии. Кодирование обратимо: если $w = 11.5d$, то $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ и $S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

Разобранный пример — объединение двух классов (WST01 Июнь 2025 Задание2). Класс A: $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$; класс B: $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$; значения 54 объединённых учеников составляет 45. Следовательно, $\sum x = 54(45) = 2430$, поэтому $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ и $b = 43.4$. Объединённое стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. Если каждая оценка в классе B увеличивается на 2: дисперсия класса B не изменяется (сдвиг ничего не меняет), средний объединённый показатель возрастает, и совокупное СКО уменьшается — B теперь ближе к A, поэтому вся группа менее рассеяна.

Разбор примера — интерполяция квартилей (WST01 June 2025 Q5c–d). С накопленными частотами 54, 144, 204, 219, 225: медиана — это 112.5-е значение, внутри 25–30: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. $Q_3$ является 168.75-м значением, находящимся внутри интервала 30–40: $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$, следовательно, при заданном $Q_1 = 25.14$, $IQR = 8.985$.

Сравните расстояния: $(Q_3 - Q_2)$ против $(Q_2 - Q_1)$, или среднее против медианы. Выше, $5.875 > 3.11$ (и среднее $30.6 >$ > медиана $28.25$), значит скорости асимметричны вправо (асимметрия вправо) — что также объясняет отказ от нормального распределения.

Работайте с пространством элементарных исходов: перечисление вариантов лучше подбора формул. Для любых двух событий, $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ и $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$; независимость означает $P(B\mid A) = P(B)$, что даёт правило произведения. Условная вероятность инвертирует дерево: $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Без возвращения, дроби второго уровня уменьшают числитель и знаменатель на единицу.

Разобранный пример — из диаграммы Венна к условной вероятности (WST01 Июнь 2025 Задание4). $P(C\cup D) = 0.59$, $P(D) = 0.45$, $P(C\mid D) = 0.2$. Тогда $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ и $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — заполните диаграмму Венна, и оба ответа станут очевидны.

Разобранный пример — дерево с обратным ходом (WST01 Июнь 2025 Задание7). Мешок: 3 белых, 6 жёлтых; два извлекается без возвращения. Дерево: $\tfrac69, \tfrac39$, затем $\tfrac58, \tfrac38$ после жёлтого и $\tfrac68, \tfrac28$ после белого. Ровно один жёлтый: $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. Хотя бы один белый: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. При условии хотя бы одного белого, оба белые: $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

Коэффициент корреляции Пирсона $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ измеряет ЛИНЕЙНУЮ зависимость ($-1 \le r \le 1$); интерпретируйте в контексте. Метод наименьших квадратов линия регрессии для $y$ по $x$ имеет вид $y = a + bx$ с угловым коэффициентом $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ и $a = \bar y - b\bar x$ — применима только для прогнозирования $y$ ПО $x$ и исключительно в пределах диапазона данных (экстраполяция является предупреждаемым риском). При замене местами $x$ и $y$ линия будет другой.

Разобранный пример — кодированная регрессия (WST01 июнь 2025 вопрос3). Для $w = 11.5d$, $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ за 12 дней: $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$; значение коэффициента корреляции $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — теплее дни, меньше газа. Уравнение регрессии для $w$ по $t$: $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$, $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$, значит $w = -3.46t + 30.9$; разделите на 11.5 для регрессии $d$ по $t$: $d = -0.301t + 2.69$. При $t = 2$: $d = 2.09$ м³, и каждое дополнительное градус означает примерно на $0.3$ м³ меньше газа.

Дискретная случайная величина принимает изолированные значения с вероятностями $p(x) = P(X = x)$, сумма которых равна 1; её таблица функции распределения вероятностей является объектом анализа. Математическое ожидание $E(X) = \sum xp(x)$, $E(X^2) = \sum x^2p(x)$, дисперсия $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. Кумулятивная функция $F(x_0) = P(X \le x_0)$ суммирует вероятности до $x_0$. Дискретное равномерное распределение на $1, \dots, n$ имеет $E(X) = \tfrac{n+1}2$ и $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$.

Разобранное решение — полный алгоритм (WST01 Июнь 2025 Задание1). X с вероятностями 0.3, 0.2, 0.35, 0.15 на 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. Неравенство $3X - 3 < X + 2$ решается как $X < 2.5$, поэтому $P = 0.5$ — сначала найдите $X$, затем добавьте. $E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$; и $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ по правилу кодирования.

Для нормального распределения $X\sim N(\mu, \sigma^2)$, приведите к стандартному виду: $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$, затем посмотрите значение в таблице. Симметрия выполняет половину работы: $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ и $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. Обратные задачи дают $z$ из таблицы, затем $x = \mu + z\sigma$; два условия для одного и того же $k$ образуют систему уравнений.

Разбор примера — пакеты муки (WST01, июнь 2025, вопрос 6). Малые пакеты $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. Из 4 пакетов ровно 2 весят более 508: $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$. Большие пакеты $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ с 85-м перцентилем 1038.51: $z_{0.85} = 1.0364$, следовательно $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$. Если $P(X > k) = P(Y < 2k)$, то $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$, следовательно $14k - 7028 = 3072 - 6k$, $k = 505$ и $p = P(Z > 1) = 0.159$.

• Приведите несколько причин использования статистических моделей; сохраните «дешёвые и быстрые» плюс ещё одну.
• Вычислите плотность частоты для неравных классов; сравните столбцы гистограммы по отношению; интерполируйте квартили внутри содержащего класса; отметьте выбросы согласно указанному правилу.
• Объединяйте наборы данных через $\sum x$ и $\sum x^2$; применяйте обратное кодирование к статистикам $S$; предсказывайте влияние сдвига или масштабирования на среднее, дисперсию и СКО.
• Решайте задачи по теории вероятностей из диаграмм Эйлера-Венна и деревьев, как с возвратом, так и без него; применяйте обратные условные вероятности с использованием $P(A\cap B)/P(A)$.
• Вычисляйте $r$ из статистик $S$ и интерпретируйте его; подгоняйте $y = a + bx$; делайте прогнозы только в пределах диапазона; переводите закодированные данные обратно в исходную переменную.
• Выполните алгоритм для дискретной случайной величины: вероятности в сумме дают 1, решите неравенства относительно $X$ сначала, затем $E(X)$, $E(X^2)$, дисперсию, линейную кодировку; укажите результаты для равномерного распределения.
• Стандартизируйте в обоих направлениях для задач на нормальное распределение; используйте симметрию; завершайте решение задач с двумя условиями системой уравнений.