M1 · Mechanics 1

Механика 1 (M1, экзаменационный билет WME01/01, 1 час 30 минут, 75 баллов, первое оценивание — июнь 2019 года) представляет собой прикладной модуль Международного курса AS по математике: предполагаются знания P1 и P2. Принимать $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, если не указано иное, и давать приближённые ответы с точностью до 2 или 3 значащих цифр. Данное справочное руководство охватывает предположения моделирования, векторы в механике, кинематику с постоянным ускорением, законы Ньютона для связанных тел, импульс и момент импульса, трение, статику и моменты сил.

Обязательно знать для M1 (отсутствует в справочнике формул — выучить наизусть):

Слова в условии — это инструкции. Частица имеет массу, но не размеры; пластина имеет площадь, но не толщину; стержень имеет длину, но не толщину; твердое тело сохраняет её форму. Лёгкий означает отсутствие массы; лёгкая нерастяжимая нить, перекинутая через гладкий блок, имеет одинаковое натяжение по всей длине. Равномерный означает постоянную плотность, поэтому центр тяжести равномерного стержня находится в его середине. Нерастяжимая нить сохраняет свою длину постоянной; натянутая нить над одним закреплённым блоком связывает модули скоростей концов, а выбор между гладкой поверхностью и шероховатой поверхностью определяет, будет ли трение. Легкий гладкий блок меняет направление натяжения, но не его величину. Укажите используемое допущение — «гладко, значит нет трения» — так как баллы начисляются за моделирование в той же мере, что и за алгебраические вычисления.

Перемещения, скорости, ускорения и силы являются векторами: $(3\mathbf i - 4\mathbf j)$ имеет модуль $5$ и направление $\tan^{-1}(-4/3)$ от положительной оси $x$. Разложите на компоненты, выполняйте действия покомпонентно и объединяйте результаты в конце. Равнодействующая для $\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{pmatrix}$. При ориентации $\mathbf i$ на восток и $\mathbf j$ на север вектор азимут измеряется по часовой стрелке от севера: вектор $-5\mathbf i - 12\mathbf j$ направлен на юго-запад, под углом $\tan^{-1}(5/12) = 22.6°$ к западу от строгого юга, поэтому его азимут равен $180 + 23 = 203°$.

Разбор примера — радиус-векторы и пеленги (WME01 июнь 2025 вопрос 2). Частица A имеет $\mathbf r_A(2) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j)$ и $\mathbf r_A(5) = (10\mathbf i + 4\mathbf j)$. Скорость $= \dfrac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} = \dfrac{15\mathbf i - 12\mathbf j}3 = 5\mathbf i - 4\mathbf j$, so $\mathbf r_A(t) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j) + (t-2)(5\mathbf i - 4\mathbf j) = (5t-15)\mathbf i + (24-4t)\mathbf j$. With B at $\mathbf s_B = -5\mathbf i + 7\mathbf j + t(2\mathbf i - 3\mathbf j)$, at $t = 5$: $\overrightarrow{AB} = (5\mathbf i - 8\mathbf j) - (10\mathbf i + 4\mathbf j) = -5\mathbf i - 12\mathbf j$, bearing $203°$.

Равноускоренное движение означает, что формулы кинематики для равномерного ускорения применяются по одной на каждый этап; ключевое значение имеют знаки. Выберите положительное направление, запишите $s, u, v, a, t$ со знаками для каждого этапа и выберите формулу, которая не содержит неизвестную величину, которую вы не хотите использовать. Графики: на графике зависимости скорости от времени наклон равен ускорению, а площадь — перемещению (площадь ниже оси считается отрицательной); на графике зависимости модуля скорости от времени значение не может быть отрицательным, поэтому движение вверх, а затем вниз отображается как V.

Разбор примера — вверх и вниз (WME01 June 2025 Q3). Мяч бросают вертикально вверх из точки A, 12 м над землей в точке B, и он достигает B за 4 с. Принимая вверх за положительное направление, при $A$ в качестве начала координат, $s = -12$: $-12 = 4U - 4.9(16)$, следовательно $U = 16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (2 значащих цифр 17). Скорость у земли: $v^2 = 16.6^2 + 2(9.8)(12) = 510.8$, значит $v = 22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. График зависимости модуля скорости от времени представляет собой V: падение от 16.6 до нуля в верхней точке (после $16.6/9.8 = 1.7$ с), после чего скорость возрастает до 22.6 в момент $t = 4$ — нижний участок траектории длиннее и достигает большей скорости; оба участка имеют угол наклона величиной $g$.

Второй закон Ньютона, применённый в одном направлении вдоль прямой: $F_{\text{net}} = ma$ с каждой силой, разложенной и со знаком. Для двух связанных частиц на лёгкой нерастяжимой нити составьте уравнение движения для КАЖДОГО тела (одно и то же натяжение, одинаковая модуль скорости), затем исключите $T$. На наклонной плоскости разложите силы вдоль и перпендикулярно склону; $\tan\theta = 3/4$ означает $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$.

Разобранный пример — две верёвки на барже (WME01 июнь 2025 Q4). Силы 800 Н под углом $25°$ над линией движения и 500 Н под углом $\alpha$ ниже неё тянут баржу прямо по каналу. Перпендикулярно движению ускорения нет: $800\sin25° = 500\sin\alpha$, следовательно $\sin\alpha = 0.676$ и $\alpha = 43°$. Вдоль движения, при массе 15000 кг и сопротивлении 750 N: $800\cos25° + 500\cos\alpha - 750 = 15000a$, что дает $a = 0.023\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ — три знака после запятой ожидаются, когда числа настолько малы.

Разобранный пример — блок от начала до конца (WME01 июнь 2025 Q8). Шары P (масса $kM$) и Q (масса $3M$, $k < 3$) свешены через неподвижный лёгкий гладкий блок и движутся с ускорением $\tfrac g5$. Уравнения движения: $T - kMg = kM\cdot\tfrac g5$ (P вверх) и $3Mg - T = 3M\cdot\tfrac g5$ (Q вниз). Исключив $T$: $3Mg - kMg = \tfrac{g}5(3M + kM)$, откуда $5(3-k) = 3+k$ и $k = 2$. Нить тянет блок вниз с силой $2T$: при массе $M = 0.5$ кг, силе $T = 1(9.8 + 1.96) = 11.76$ Н, итоговая сила составляет $23.5$ Н. Когда Q касается земли после падения на расстояние 2.5 м, его скорость равна $\sqrt{2\cdot\frac g5\cdot2.5} = \sqrt{g} = 3.13$; если он отскакивает со скоростью $0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, импульс силы, действующий на Q, равен $1.5(3.13 + 0.4) = 5.3$ Н·с. Затем скользит вверх под действием только силы тяжести в течение $\tfrac{\sqrt g}g = 0.32$ с после фазы спуска длительностью $5/\sqrt g = 1.60$ с: общее время до остановки равно $\approx 1.9$ с.

Импульс $mv$ и импульс силы $I = mv - mu$ отсчитываются со знаком вдоль прямой. Третий закон Ньютона делает импульсы, действующие на каждое из двух сталкивающихся тел, равными по модулю и противоположными по направлению — используйте один из них, а не оба. Для прямого удара закон сохранения импульса $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ требует согласованности знаков; коэффициент восстановления НЕ входит в M1.

Разобранный пример — импульс сил, действующих на оба тела (WME01 июнь 2025 вопрос 1). P (масса $km$, скорость $5u$) ловит Q (масса $3m$, скорость $2u$); после этого P продолжает двигаться вперёд со скоростью $2u$, а Q со скоростью $v$. Импульс силы, действующей на Q, равен $4.5mu$: $3m(v - 2u) = 4.5mu$, значит $v = 3.5u$. Импульс силы, действующей на P, равен по модулю и противоположен: $km(5u - 2u) = 4.5mu$, значит $k = 1.5$.

На шероховатой поверхности сила реакции опоры раскладывается на нормальную реакцию $R$ (перпендикулярно) и трение $F$ (вдоль, препятствуя движению или его тенденции). При движении: $F = \mu R$ с $\mu$ как коэффициентом трения. В состоянии равновесия $F \le \mu R$, при равенстве — предельное равновесие; фраза «на грани движения» допускает $F = \mu R$.

Разобранный пример — посылка на шероховатом склоне (WME01 июнь 2025 вопрос 6). При $\tan\theta = \tfrac34$ и $\mu = \tfrac14$: перпендикулярно, $R = mg\cos\theta = \tfrac45mg$; вдоль (вверх — плюс, замедление): $-mg\sin\theta - \tfrac14R = ma$, значит $a = -g(\tfrac35 + \tfrac15) = -\tfrac45g$ — ускорение равно $\tfrac45g$, и ответ должно оставаться точной дробью $g$. Удерживается в покое на склоне силой $X$ вдоль плоскости (масса 2 кг): $X + \tfrac14(2g\cdot\tfrac45) = 2g\cdot\tfrac35$, следовательно, $X = \tfrac45g = 7.84$ Н.

Материальная точка находится в равновесии, когда равнодействующая сила равна нулю: спроецируйте на две взаимно перпендикулярных направлениях и приравняйте обе суммы к нулю или постройте замкнутый векторный треугольник. Вес $mg$ вниз, нормальная реакция перпендикулярна поверхности, натяжение вдоль нити от тела (сжатие стержня давит), трение вдоль поверхности препятствует скольжению. На шероховатой поверхности в покое, $F$ — это всё, что замыкает многоугольник, ограниченное значением $\mu R$.

Разбор примера — силы в равновесии (оригинал). Материальная точка весом 50 Н подвешена на двух лёгких нитях под углами $40°$ и $60°$ к вертикали. Спроецировав горизонтально: $T_1\sin40° = T_2\sin60°$; вертикально: $T_1\cos40° + T_2\cos60° = 50$. Из первого уравнения, $T_2 = 0.742T_1$; затем $T_1(0.766 + 0.371) = 50$, поэтому $T_1 = 44$ Н и $T_2 = 33$ Н (2 s.f.).

Момент силы относительно точки равен силе × перпендикулярному расстоянию, со знаком в зависимости от направления. Тело, находящееся в равновесии, имеет нулевой результирующий момент относительно ЛЮБОЙ точки — поэтому выберите точку опоры, исключающую наибольшее число неизвестных. «На грани опрокидывания вокруг X» означает, что реакция в остальных точках упала до нуля, а моменты считаются относительно X.

Разбор примера — стержень на выступе (WME01 июнь 2025 вопрос 5). Неравномерный стержень AB длиной $3a$ лежит на горизонтальном выступе с краем в точке C, $AC = 2a$, центр масс находится на расстоянии $d$ от A. Направленная вверх сила $P$ в точке B наклоняет его вокруг A: моменты относительно A дают $3aP = Wd$. Сила, направленная вниз, $1.25P$ в точке B наклоняет его вокруг C: $1.25Pa = W(2a - d)$. Подстановка $P = \tfrac{Wd}{3a}$ (в единицах $a$): $1.25\cdot\tfrac d3 = 2 - d$, следовательно $1.25d = 6a - 3d$, что даёт $4.25d = 6a$ и $d = \tfrac{24a}{17}$. Урок: у каждого случая наклона есть своя точка опоры, и только момент силы тяжести остаётся неизменным между ними.

• Назовите используемые допущения моделирования (материальная точка, лёгкий стержень, нерастяжимая нить, гладкая/шероховатая поверхность) и объясните, что каждое из них упрощает.
• Работайте с векторами положения и скорости по компонентам; переводите направления в азимуты; находите относительные положения в одно и то же время.
• Решайте задачи кинематики с постоянным ускорением (suvat) для одной и нескольких фаз, фиксируя знаки для каждой фазы; считывайте градиенты и площади с графиков движения; стройте график зависимости скорости от времени V для движения вверх-вниз.
• Применяйте второй закон Ньютона $F = ma$ для каждого тела вдоль линии движения; обрабатывайте связанные частицы через блоки с парными уравнениями; найдите силу, действующую на блок, как $2T$.
• Используйте теорему об импульсе и количестве движения для ОДНОГО тела пары соударяющихся тел; сохраняйте количество движения с согласованными знаками.
• Разложить контактные силы на $R$ и $F$; применить $F = \mu R$ при движении или предельном состоянии; раскладывать силы на наклонных плоскостях, используя $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$ для $\tan\theta = 3/4$.
• Замыкайте силовые многоугольники для равновесия в двух направлениях; ограничьте силу трения покоя значением $\mu R$.
• Составляйте уравнение моментов относительно точки опоры, которая устраняет неизвестные; меняйте точку опоры, когда меняется точка наклона.