AP Precalculus

Цель обучения 1.1.A: Описывать, как входные и выходные значения функции изменяются совместно, сравнивая значения функции.

• 1.1.A.1 Функция — это математическая зависимость, которая ставит в соответствие каждому элементу множества входных значений ровно один элемент множества выходных значений. Множество входных значений называется областью определения функции, а множество выходных значений называется областью значений функции. Переменная, представляющая входные значения, называется независимой переменной, а переменная, представляющая выходные значения, называется зависимой переменной.
• 1.1.A.2 Входные и выходные значения функции изменяются совместно в соответствии с правилом функции, которое может быть выражено графически, численно, аналитически или словесно.
• 1.1.A.3 Функция является возрастающей на интервале её области определения, если при увеличении входных значений выходные значения также всегда увеличиваются. То есть, для любых $a$ и $b$ в этом интервале, если $a < b$, то $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Функция является убывающей на интервале её области определения, если при увеличении входных значений выходные значения всегда уменьшаются. То есть, для любых $a$ и $b$ в этом интервале, если $a < b$, то $f(a) > f(b)$.

Цель обучения 1.1.B: Построить график, представляющий две величины, изменяющиеся друг относительно друга в контекстной ситуации.

• 1.1.B.1 График функции отображает набор пар вход-выход и показывает, как изменяются значения входных и выходных значений функции.
• 1.1.B.2: Вербальное описание того, как аспекты явлений изменяются совместно, может служить основой для построения графика.
• 1.1.B.3 График функции является выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервалах, где скорость изменения увеличивается.
• 1.1.B.4 График функции является выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервалах, где скорость изменения уменьшается.
• 1.1.B.5 График пересекает ось $x$, когда выходное значение равно нулю. Соответствующие входные значения называются нулями функции.

Цель обучения 1.2.A: Сравнивать скорости изменения в двух точках, используя средние скорости изменения вблизи этих точек.

• 1.2.A.1 Средняя скорость изменения функции на интервале области определения этой функции — это постоянная скорость изменения, которая дает такое же изменение значений функции, что и сама функция на этом интервале. Это отношение изменения значений функции к изменению значений аргумента на этом интервале.
• 1.2.A.2 Скорость изменения функции в точке характеризует скорость, с которой менялись бы значения функции, если бы значения аргумента менялись в этой точке. Скорость изменения в точке может быть приближенно определена как средняя скорость изменения функции на малых интервалах, содержащих эту точку, если такие значения существуют.
• 1.2.A.3 Скорости изменения в двух точках можно сравнить, используя приближения средней скорости изменения на достаточно малых интервалах, содержащих каждую точку, если такие значения существуют.

Цель обучения 1.2.B: Описывать, как две величины изменяются совместно в различных точках и на различных интервалах функции.

• 1.2.B.1 Скорости изменения характеризуют, как две величины изменяются совместно.
• 1.2.B.2 Положительная скорость изменения указывает на то, что при увеличении или уменьшении одной величины другая величина ведет себя аналогично (тоже увеличивается или уменьшается).
• 1.2.B.3 Отрицательная скорость изменения указывает на то, что при увеличении одной величины другая уменьшается.

Цель обучения 1.3.A: Определять средние скорости изменения для последовательностей и функций, включая линейные, квадратичные и другие типы функций.

• 1.3.A.1 Для линейной функции средняя скорость изменения на любом интервале значений аргумента является постоянной.
• 1.3.A.2 Для квадратичной функции средние скорости изменения на последовательных равных по длине интервалах значений аргумента могут быть представлены линейной функцией.
• 1.3.A.3 Средняя скорость изменения на замкнутом интервале $[a, b]$ равна угловому коэффициенту секущей прямой, проходящей через точки $(a, f(a))$ и $(b, f(b))$.

Цель обучения 1.3.B: Определять изменение средних скоростей изменения для линейных, квадратичных и других типов функций.

• 1.3.B.1 Для линейной функции, поскольку средние скорости изменения на последовательных равных по длине интервалах значений аргумента могут быть представлены постоянной функцией, эти средние скорости изменения для линейной функции изменяются со скоростью, равной нулю.
• 1.3.B.2 Для квадратичной функции, поскольку средние скорости изменения на последовательных интервалах входных значений одинаковой длины могут быть заданы линейной функцией, эти средние скорости изменения для квадратичной функции изменяются с постоянной скоростью.
• 1.3.B.3 Когда средняя скорость изменения на интервалах входных значений одинаковой длины возрастает для всех малых длинных интервалов, график функции является выпуклым вниз (вогнутым вверх). Когда средняя скорость изменения на интервалах входных значений одинаковой длины убывает для всех малых длинных интервалов, график функции является выпуклым вверх (вогнутым вниз).

Цель обучения 1.4.A: Определять ключевые характеристики полиномиальных функций, связанные со скоростями изменения.

• 1.4.A.1 Непостоянная полиномиальная функция $x$ — это любое представление функции, эквивалентное аналитической форме $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, где $n$ — положительное целое число, $a_i$ — действительное число для каждого $i$ от $1$ до $n$, а $a_n$ — ненулевое число. Степень многочлена равна $n$, старший член — $a_n x^n$, а старший коэффициент — $a_n$. Константа также является полиномиальной функцией нулевой степени.
• 1.4.A.2 В точках смены монотонности (с возрастания на убывание или наоборот) или на включенном конце интервала определения полиномиальной функции функция принимает локальное или относительное максимальное или минимальное значение. Из всех локальных максимумов наибольший называется глобальным или абсолютным максимумом. Аналогично, наименьшее из всех локальных минимумов называется глобальным или абсолютным минимумом.
• 1.4.A.3 Между любыми двумя различными действительными нулями непостоянной полиномиальной функции должно существовать как минимум одно значение входного аргумента, соответствующее локальному максимуму или локальному минимуму.
• 1.4.A.4 Полиномиальные функции четной степени имеют либо глобальный максимум, либо глобальный минимум.
• 1.4.A.5 Точки перегиба полиномиальной функции возникают при значениях входного аргумента, где скорость изменения функции меняется с возрастания на убывание или с убывания на возрастание. Это происходит там, где график полиномиальной функции меняет вогнутость с выпуклости вниз на выпуклость вверх или наоборот.

Цель обучения 1.5.A: Определять ключевые характеристики полиномиальной функции, связанные с ее нулями, при наличии подходящих разложений или с использованием технических средств.

• 1.5.A.1 Если $a$ — комплексное число и $p(a) = 0$, то $a$ называется нулем полиномиальной функции $p$ или корнем уравнения $p(x) = 0$. Если $a$ — действительное число, то $(x - a)$ является линейным множителем выражения $p$ тогда и только тогда, когда $a$ является нулем функции $p$.
• 1.5.A.2 Если линейный множитель $(x - a)$ повторяется $n$ раз, то соответствующий ноль полиномиальной функции имеет кратность $n$. Полиномиальная функция степени $n$ имеет ровно $n$ комплексных нуля, если учитывать кратности.
• 1.5.A.3 Если $a$ — действительный нуль полиномиальной функции $p$, то график функции $y = p(x)$ имеет пересечение с осью $x$ в точке $(a, 0)$. Следовательно, действительные нули полинома могут служить концами интервалов, удовлетворяющих полиномиальным неравенствам.
• 1.5.A.4 Если $a + bi$ — мнимый (недействительный) ноль полиномиальной функции $p$, то его сопряженное число $a - bi$ также является нулем функции $p$.
• 1.5.A.5 Если действительный нуль $a$ полиномиальной функции имеет четную кратность, то знаки выходных значений одинаковы для входных значений, близких к $x = a$. Для таких полиномиальных функций график будет касаться оси $x$ в точке $x = a$.
• 1.5.A.6 Степень полиномиальной функции можно определить, изучая последовательные разности выходных значений на равных интервалах входных значений. Степень полиномиальной функции равна наименьшему значению $n$, при котором последовательные $n$-е разности становятся постоянными.

Цель обучения 1.5.B: Определить, является ли полиномиальная функция четной или нечетной.

• 1.5.B.1 Четная функция симметрична относительно прямой $x = 0$ и аналитически обладает свойством $f(-x) = f(x)$. Если степень $n$ четная, то полином вида $p(x) = a_n x^n$, где $n \geq 1$ и $a_n \neq 0$, является четной функцией.
• 1.5.B.2 Нечетная функция симметрична относительно точки $(0, 0)$ и аналитически обладает свойством $f(-x) = -f(x)$. Если степень $n$ нечетная, то полином вида $p(x) = a_n x^n$, где $n \geq 1$ и $a_n \neq 0$, является нечетной функцией.

Цель обучения 1.6.A: Описывать поведение полиномиальных функций на бесконечности.

• 1.6.A.1 При возрастании входных значений непостоянной полиномиальной функции безгранично выходные значения либо возрастают, либо убывают безгранично. Соответствующая математическая нотация: $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ или $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 При стремлении входных значений непостоянной полиномиальной функции к минус бесконечности, выходные значения будут либо возрастать, либо убегать без bounds. Соответствующая математическая нотация: $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ или $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 Степень и знак старшего члена полинома определяют поведение функции на бесконечности, поскольку при стремлении входных значений к плюс или минус бесконечности значения старшего члена доминируют над значениями всех членов меньшей степени.

Цель обучения 1.7.A: Описывать поведение рациональных функций на бесконечности.

• 1.7.A.1 Рациональная функция аналитически представлена как частное двух полиномиальных функций и показывает соотношение размеров полиномиальной функции в числителе по сравнению с полиномиальной функцией в знаменателе для каждого значения из области определения рациональной функции.
• 1.7.A.2 Поведение рациональной функции на бесконечности в наибольшей степени определяется многочленом с большей степенью, поскольку его значения доминируют над значениями рациональной функции при входных значениях большой величины. При входных значениях большой величины поведение многочлена определяется его старшим членом. Следовательно, поведение рациональной функции на бесконечности можно понять, изучив соответствующее отношение старших членов.
• 1.7.A.3 Если многочлен в числителе доминирует над многочленом в знаменателе при входных значениях большой величины, то отношение старших членов представляет собой ненулевой многочлен, и исходная рациональная функция обладает поведением на бесконечности этого многочлена. Если этот многочлен является линейным, то график рациональной функции имеет наклонную асимптоту, параллельную графику прямой.
• 1.7.A.4 Если ни один из многочленов рациональной функции не доминирует над другим при входных значениях большой величины, то отношение старших членов является константой, и эта константа указывает положение горизонтальной асимптоты графика исходной рациональной функции.
• 1.7.A.5 Если многочлен в знаменателе доминирует над многочленом в числителе при входных значениях большой величины, то отношение старших членов представляет собой рациональную функцию с константой в числителе и ненулевым многочленом в знаменателе, и график исходной рациональной функции имеет горизонтальную асимптоту на $y = 0$.
• 1.7.A.6 Когда график рациональной функции $r$ имеет горизонтальную асимптоту на $y = b$, где $b$ — константа, выходные значения рациональной функции становятся произвольно близкими к $b$ и остаются произвольно близкими к $b$, когда входные значения увеличиваются или уменьшаются без границ. Соответствующая математическая нотация: $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ или $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Цель обучения 1.8.A: Определять нули рациональных функций.

• 1.8.A.1 Действительные нули рациональной функции соответствуют действительным нулям её числителя для тех значений, которые входят в её область определения.
• 1.8.A.2 Действительные нули обоих многочленных функций рациональной функции $r$ являются границами интервалов или асимптотами для интервалов, удовлетворяющих неравенствам рациональной функции $r(x) \geq 0$ или $r(x) \leq 0$.

Цель обучения 1.9.A: Определять вертикальные асимптоты графиков рациональных функций.

• 1.9.A.1 Если значение $a$ является действительным нулем многочленной функции в знаменателе рациональной функции и одновременно не является действительным нулем многочленной функции в числителе, то график рациональной функции имеет вертикальную асимптоту на $x = a$. Кроме того, вертикальная асимптота также возникает на $x = a$, если кратность $a$ как действительного нуля в знаменателе больше, чем её кратность как действительного нуля в числителе.
• 1.9.A.2 Вблизи вертикальной асимптоты $x = a$ рациональной функции значения многочлена в знаменателе становятся произвольно близкими к нулю, поэтому значения рациональной функции $r$ неограниченно возрастают или убывают. Соответствующая математическая нотация: $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ или $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ для входных значений, близких к $a$ и больших $a$, а также $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ или $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ для входных значений, близких к $a$ и меньших $a$.

Цель обучения 1.10.A: Определить наличие выколотых точек на графиках рациональных функций.

• 1.10.A.1 Если кратность действительного нуля в числителе больше или равна его кратности в знаменателе, то график рациональной функции имеет выколотую точку при соответствующем входном значении.
• 1.10.A.2 Если график рациональной функции $r$ имеет выколотую точку в точке $x = c$, то местоположение этой точки можно определить, изучив выходные значения, соответствующие входным значениям, достаточно близким к $c$. Если входные значения, достаточно близкие к $c$, соответствуют выходным значениям, произвольно близким к $L$, то выколотая точка расположена в точке с координатами $(c, L)$. Соответствующая математическая запись выглядит так: $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Следует отметить, что $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Цель обучения 1.11.A: Переписать многочлены и рациональные выражения в эквивалентной форме.

• 1.11.A.1 Поскольку разложенная форма многочлена или рациональной функции легко предоставляет информацию о действительных нулях, она может раскрыть информацию об пересечениях с осью $x$, асимптотах, выколотых точках, области определения и множестве значений.
• 1.11.A.2 Стандартная форма многочлена или рациональной функции может раскрыть информацию о поведении функции на бесконечности.
• 1.11.A.3 Информация, извлеченная из различных аналитических представлений одного и того же многочлена или рациональной функции, может быть использована для ответов на вопросы в контексте.

Цель обучения 1.11.B: Найти частное двух многочленных функций с помощью деления уголком.

• 1.11.B.1 Деление многочленов уголком — это алгебраический процесс, аналогичный делению чисел уголком, включающий частное и остаток. Если многочлен $f$ делится на многочлен $g$, то $f$ можно переписать в виде $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, где $q$ является частным, $r$ — остатком, а степень $r$ меньше степени $g$.
• 1.11.B.2 Результат деления многочленов уголком полезен при нахождении уравнений наклонных асимптот для графиков рациональных функций.

Цель обучения 1.11.C: Переписать повторное произведение биномов, используя бином Ньютона.

• 1.11.C.1 Бином Ньютона использует элементы одной строки треугольника Паскаля для более легкого раскрытия выражений вида $(a + b)^n$, включая многочленные функции вида $p(x) = (x + c)^n$, где $c$ — константа.

Цель обучения 1.12.A: Построить функцию, которая является аддитивным и/или мультипликативным преобразованием другой функции.

• 1.12.A.1 Функция $g(x) = f(x) + k$ является аддитивным преобразованием функции $f$, что приводит к вертикальному сдвигу графика функции $f$ на $k$ единиц.
• 1.12.A.2 Функция $g(x) = f(x + h)$ является аддитивным преобразованием функции $f$, что приводит к горизонтальному сдвигу графика $f$ на $-h$ единиц.
• 1.12.A.3 Функция $g(x) = a f(x)$, где $a \neq 0$, является мультипликативным преобразованием функции $f$, что приводит к вертикальному растяжению графика $f$ с коэффициентом $|a|$. Если $a < 0$, преобразование включает отражение относительно оси $x$.
• 1.12.A.4 Функция $g(x) = f(bx)$, где $b \neq 0$, является мультипликативным преобразованием функции $f$, что приводит к горизонтальному растяжению графика $f$ с коэффициентом $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Если $b < 0$, преобразование включает отражение относительно оси $y$.
• 1.12.A.5 Аддитивные и мультипликативные преобразования могут быть объединены, что приводит к комбинациям горизонтальных и вертикальных сдвигов и растяжений.
• 1.12.A.6 Область определения и множество значений функции, являющейся преобразованием родительской функции, могут отличаться от таковых у родительской функции.

Цель обучения 1.13.A: Определить подходящий тип функции для построения модельной функции для заданной ситуации.

• 1.13.A.1 Линейные функции моделируют наборы данных или аспекты контекстных ситуаций, демонстрирующих примерно постоянные скорости изменения.
• 1.13.A.2 Квадратичные функции моделируют наборы данных или аспекты контекстных ситуаций, демонстрирующих примерно линейные скорости изменения, или наборы данных, которые примерно симметричны и имеют единственное максимальное или минимальное значение.
• 1.13.A.3 Геометрические контексты, связанные с площадью или двумя измерениями, часто моделируются квадратичными функциями. Геометрические контексты, связанные с объемом или тремя измерениями, часто моделируются кубическими функциями.
• 1.13.A.4 Полиномиальные функции моделируют наборы данных или контекстные сценарии с несколькими действительными нулями или несколькими максимумами и минимумами.
• 1.13.A.5 Полиномиальная функция степени $n$ моделирует набор данных или контекстные ситуации, демонстрирующие приблизительно постоянные ненулевые разности $n$-го порядка.
• 1.13.A.6 Полиномиальную функцию степени $n$ или ниже можно использовать для моделирования графика из $n + 1$ точек с различными значениями аргумента.
• 1.13.A.7 Функция, заданная кусочно, состоит из множества функций, определенных на непересекающихся интервалах области определения, и полезна для моделирования набора данных или контекстного сценария, который демонстрирует различные характеристики на разных интервалах.

Цель обучения 1.13.B: Описывать предпосылки и ограничения, связанные со созданием функциональной модели.

• 1.13.B.1 Модель может иметь скрытые предпосылки относительно того, что является неизменным в данной модели.
• 1.13.B.2 Модель может иметь скрытые предпосылки относительно того, как величины изменяются совместно.
• 1.13.B.3 Модель может требовать ограничений области определения на основе математических подсказок, контекстных подсказок или экстремальных значений в наборе данных.
• 1.13.B.4 Модель может требовать ограничений области значений, таких как округление значений, на основе математических подсказок, контекстных подсказок или экстремальных значений в наборе данных.

Цель обучения 1.14.A: Построить линейную, квадратичную, кубическую, четвертой степени, полиномиальную функцию степени $n$ или связанную с ней кусочно-заданную функциональную модель.

• 1.14.A.1 Модель может быть построена на основе ограничений, выявленных в математическом или контекстном сценарии.
• 1.14.A.2 Модель набора данных или контекстного сценария может быть построена с использованием преобразований базовой функции.
• 1.14.A.3 Модель набора данных может быть построена с использованием технологий и регрессионного анализа, включая линейную, квадратичную, кубическую и регрессию четвертой степени.
• 1.14.A.4 Модель функции, заданной кусочно, может быть построена путем комбинации методов моделирования.

Цель обучения 1.14.B: Построить рациональную функциональную модель на основе контекста.

• 1.14.B.1 Наборы данных и аспекты контекстных сценариев, связанных с величинами, обратно пропорциональными друг другу, часто моделируются рациональными функциями. Например, модули гравитационной и электромагнитной сил между объектами обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.

Цель обучения 1.14.C: Применять функциональную модель для ответов на вопросы о наборе данных или контекстном сценарии.

• 1.14.C.1 Модель может использоваться для вывода заключений о смоделированном наборе данных или контекстном сценарии, включая ответы на ключевые вопросы и прогнозирование значений, скоростей изменения, средних скоростей изменения и меняющихся скоростей изменения. Необходимо извлекать или выводить соответствующие единицы измерения из заданного контекста.

Цель обучения 2.1.A: Представлять арифметические прогрессии, встречающиеся в математических и контекстных задачах, в виде функций от целых чисел.

• 2.1.A.1 Прогрессия — это функция из множества целых чисел в множество действительных чисел. Следовательно, график прогрессии состоит из дискретных точек, а не из непрерывной кривой.
• 2.1.A.2 Последовательные члены арифметической прогрессии имеют общую разность, или постоянную скорость изменения.
• 2.1.A.3 Общий член арифметической прогрессии с разностью $d$ обозначается как $a_n$ и задается формулой $a_n = a_0 + dn$, где $a_0$ — начальное значение, или формулой $a_n = a_k + d(n - k)$, где $a_k$ — $k$-й член прогрессии.

Цель обучения 2.1.B: Представлять геометрические прогрессии, встречающиеся в математических и контекстных задачах, в виде функций от целых чисел.

• 2.1.B.1 Последовательные члены геометрической прогрессии имеют общий множитель, или постоянный коэффициент пропорционального изменения.
• 2.1.B.2 Общий член геометрической прогрессии с общим множителем $r$ обозначается $g_n$ и задается формулой $g_n = g_0 r^n$, где $g_0$ — начальное значение, или формулой $g_n = g_k r^{(n-k)}$, где $g_k$ — $k$-й член прогрессии.
• 2.1.B.3 Возрастающие арифметические прогрессии увеличиваются на одинаковую величину на каждом шаге, тогда как возрастающие геометрические прогрессии увеличиваются на все большую величину с каждым последующим шагом.

Цель обучения 2.2.A: Составлять функции действительных чисел, аналогичные арифметическим и геометрическим прогрессиям.

• 2.2.A.1 Линейные функции вида $f(x) = b + mx$ подобны арифметическим прогрессиям вида $a_n = a_0 + dn$, так как обе могут быть представлены как начальное значение ($b$ или $a_0$) плюс повторяющееся прибавление постоянной скорости изменения — наклонной ($m$ или $d$).
• 2.2.A.2 Аналогично арифметическим прогрессиям вида $a_n = a_k + d(n - k)$, которые определяются известной разностью $d$ и $k$-м членом, линейные функции могут быть представлены в виде $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ на основе известного углового коэффициента (наклона) $m$ и точки $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Показательные функции вида $f(x) = ab^x$ аналогичны геометрическим прогрессиям вида $g_n = g_0 r^n$, так как обе могут быть выражены как начальное значение ($a$ или $g_0$), умноженное на повторяющееся умножение на постоянный множитель ($b$ или $r$).
• 2.2.A.4 Аналогично геометрическим прогрессиям вида $g_n = g_k r^{(n-k)}$, которые определяются известным отношением $r$ и $k$-м членом, показательные функции могут быть представлены в виде $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ на основе известного отношения $r$ и точки $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Прогрессии и их соответствующие функции могут иметь различные области определения.

Цель обучения 2.3.A: Определять ключевые характеристики экспоненциальных функций.

• 2.3.A.1 Общий вид экспоненциальной функции: $f(x) = ab^x$, где начальное значение — $a$, при этом $a \neq 0$; основание — $b$, при этом $b > 0$ и $b \neq 1$. Когда $a > 0$ и $b > 1$, экспоненциальная функция демонстрирует экспоненциальный рост. Когда $a > 0$ и $0 < b < 1$, экспоненциальная функция демонстрирует экспоненциальное убывание.
• 2.3.A.2 Когда натуральные числа являются входными значениями в экспоненциальной функции, входное значение указывает количество множителей основания, которые должны быть применены к начальному значению функции. Областью определения экспоненциальной функции являются все действительные числа.
• 2.3.A.3 Поскольку выходные значения экспоненциальных функций общего вида пропорциональны на интервалах входных значений одинаковой длины, экспоненциальные функции либо всегда возрастают, либо всегда убывают, а их графики либо всегда выпуклы вверх, либо всегда выпуклы вниз. Следовательно, у экспоненциальных функций нет экстремумов, за исключением замкнутого интервала, и их графики не имеют точек перегиба.
• 2.3.A.4 Если значения аддитивной преобразующей функции $g(x) = f(x) + k$ любой функции $f$ пропорциональны на интервалах входных значений одинаковой длины, то $f$ является экспоненциальной функцией.

Цель обучения 2.4.A: Переписывать экспоненциальные выражения в эквивалентных формах.

• 2.4.A.1 Свойство произведения степеней гласит, что $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Графически это свойство означает, что любое горизонтальное смещение экспоненциальной функции $f(x) = b^{(x+k)}$ эквивалентно вертикальному растяжению $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, где $a = b^k$.
• 2.4.A.2 Свойство степени гласит, что $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Графически это свойство означает, что любое горизонтальное растяжение экспоненциальной функции $f(x) = b^{(cx)}$ эквивалентно изменению основания экспоненциальной функции $f(x) = \left(b^c\right)^x$, где $b^c$ является константой, а $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 Свойство отрицательной степени гласит, что $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 Значение экспоненциального выражения, включающего экспоненциальную дробную степень, такую как $b^{(1/k)}$, где $k$ — натуральное число, представляет собой корень $k$-й степени из $b$, если он существует.

Цель обучения 2.5.A: Составлять модель для ситуаций, в которых выходные значения пропорциональны на интервалах входных значений одинаковой длины.

• 2.5.A.1 Экспоненциальные функции моделируют паттерны роста, где последовательные выходные значения на интервалах входных значений одинаковой длины пропорциональны. Когда входные значения являются целыми числами, экспоненциальные функции моделируют ситуации повторяющегося умножения постоянной на начальное значение.
• 2.5.A.2 К значениям зависимой переменной набора данных может потребоваться прибавить постоянную величину, чтобы выявить паттерн пропорционального роста.
• 2.5.A.3 Модель экспоненциальной функции может быть составлена по подходящему коэффициенту и начальному значению или по двум парам входных и выходных значений. Начальное значение и основание можно найти, решив систему уравнений, полученную из двух пар входных и выходных значений.
• 2.5.A.4 Модели экспоненциальных функций могут быть составлены путем применения преобразований к $f(x) = ab^x$ на основе характеристик контекстной сценария или набора данных.
• 2.5.A.5 Модели экспоненциальных функций для набора данных могут быть построены с использованием технологий путем выполнения экспоненциальной регрессии.
• 2.5.A.6 Натуральное основание $e$, которое приблизительно равно $2.718$, часто используется в качестве основания в экспоненциальных функциях, моделирующих контекстные сценарии.

Цель обучения 2.6.A: Составлять линейные, квадратичные и экспоненциальные модели на основе набора данных.

• 2.6.A.1 Две переменные в наборе данных, демонстрирующие изменяющуюся скорость изменения, могут быть смоделированы с помощью моделей линейных, квадратичных и экспоненциальных функций.
• 2.6.A.2 Модели можно сравнивать на основе контекстуальных подсказок и применимости, чтобы определить, какая модель наиболее подходит.

Цель обучения 2.6.B: Проверять модель, построенную на основе набора данных.

• 2.6.B.1 Модель считается подходящей для набора данных, если график остатков регрессии, или диаграмма остатков, выглядит без видимых закономерностей.
• 2.6.B.2 Разница между предсказанными и фактическими значениями является ошибкой в модели. В зависимости от набора данных и контекста может быть более уместным получить заниженную или завышенную оценку для любого заданного интервала.

Цель обучения 2.7.A: Вычислять композицию двух или более функций для заданных значений.

• 2.7.A.1 Если $f$ и $g$ — это функции, то составная функция $f \circ g$ отображает множество входных значений на множество выходных значений таким образом, что выходные значения $g$ используются как входные значения для $f$. По этой причине область определения составной функции ограничена теми входными значениями для $g$, для которых соответствующее выходное значение находится в области определения для $f$. $(f \circ g)(x)$ также можно записать как $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Значения для составной функции $f \circ g$ могут быть вычислены или оценены по графическим, числовым, аналитическим или словесным представлениям $f$ и $g$ с использованием выходных значений из $g$ в качестве входных значений для $f$.
• 2.7.A.3 Композиция функций не является коммутативной; то есть $f \circ g$ и $g \circ f$ обычно являются разными функциями; следовательно, $f(g(x))$ и $g(f(x))$ обычно являются разными значениями.
• 2.7.A.4 Если функция $f(x) = x$ компонируется с любой другой функцией $g$, полученная составная функция совпадает с $g$; то есть $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. Функция $f(x) = x$ называется тождественной функцией. При композиции двух функций тождественная функция действует так же, как $0$ (аддитивная единица), при сложении двух чисел, и $1$ (мультипликативная единица), при умножении двух чисел.

Цель обучения 2.7.B: Составлять представление композиции двух или более функций.

• 2.7.B.1 Композиция функций полезна для связи двух величин, которые не связаны напрямую существующей формулой.
• 2.7.B.2 Когда доступны аналитические представления функций $f$ и $g$, аналитическое представление для $f(g(x))$ можно составить, подставив $g(x)$ вместо каждого вхождения $x$ в выражение $f$.
• 2.7.B.3 Численное или графическое представление для $f \circ g$ часто можно составить, вычислив или оценив значения для $(x, f(g(x)))$.

Цель обучения 2.7.C: Представить заданную функцию в виде композиции двух или более функций.

• 2.7.C.1 Функции, заданные аналитически, часто можно разложить на менее сложные функции. При правильном разложении переменная одной функции должна заменять каждое вхождение функции, с которой она была составлена.
• 2.7.C.2 Аддитивное преобразование функции $f$, приводящее к вертикальным и горизонтальным сдвигам, можно понимать как композицию $g(x) = x + k$ с $f$.
• 2.7.C.3 Мультипликативное преобразование функции $f$, приводящее к вертикальным и горизонтальным растяжениям/сжатиям, можно понимать как композицию $g(x) = kx$ с $f$.

Цель обучения 2.8.A: Определять пары «вход-выход» для обратной функции.

• 2.8.A.1 На указанной области определения функция $f$ имеет обратную функцию (или является обратимой), если каждое выходное значение $f$ соответствует единственному входному значению. Область определения функции может быть ограничена различными способами, чтобы сделать её обратимой.
• 2.8.A.2 Обратную функцию можно рассматривать как обратное отображение исходной функции. Обратная функция $f^{-1}$ отображает выходные значения функции $f$ на её обратимой области определения в соответствующие им входные значения; то есть, если $f(a) = b$, то $f^{-1}(b) = a$. Альтернативно, на обратимой области определения, если функция состоит из пар «вход-выход» $(a, b)$, то обратная функция состоит из пар «вход-выход» $(b, a)$.

Цель обучения 2.8.B: Определить обратную функцию на обратимой области определения.

• 2.8.B.1 Композиция функции $f$ и её обратной функции $f^{-1}$ дает тождественную функцию; то есть $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 На обратимой области определения область значений и область определения функции становятся областью определения и областью значений обратной функции соответственно. Обращение таблицы значений для $y = f(x)$ можно найти, изменив местами пары «вход-выход»; то есть $(a, b)$ соответствует $(b, a)$.
• 2.8.B.3 График обратной функции для функции $y = f(x)$ можно найти, изменив местами оси $x$ и $y$; то есть, отразив график функции относительно графика тождественной функции $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 Обратную функцию можно найти, определив обратные операции для обратного отображения. Один из методов нахождения обратной функции для $f$ заключается в изменении местами $x$ и $y$ в уравнении $y = f(x)$, а затем решении относительно $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 Помимо ограничения области определения функции для получения обратной функции, контекстные ограничения также могут ограничивать применимость обратной функции.

Цель обучения 2.9.A: Вычислять логарифмические выражения.

• 2.9.A.1 Логарифмическое выражение $\log_b c$ равно (или представляет собой) значение, до которого нужно возвести основание $b$ в степень, чтобы получить значение $c$. То есть, $\log_b c = a$ тогда и только тогда, когда $b^a = c$, где $a$ и $c$ — константы, $b > 0$, и $b \neq 1$. (когда основание логарифмического выражения не указано, подразумевается десятичный логарифм с основанием $10$)
• 2.9.A.2 Значения некоторых логарифмических выражений легко находятся с помощью базовой арифметики, тогда как другие значения можно оценить с использованием технических средств.
• 2.9.A.3 На логарифмической шкале каждая единица соответствует умножительному изменению, равному основанию логарифма. Например, на стандартной шкале единицами могут быть $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, а на логарифмической шкале, используя основание логарифма $10$, единицами могут быть $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Цель обучения 2.10.A: Строить представления обратной функции для показательной функции с начальным значением 1.

• 2.10.A.1 Общий вид логарифмической функции: $f(x) = a\log_b x$, с основанием $b$, где $b > 0$, $b \neq 1$ и $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 Способ, которым входные и выходные значения изменяются вместе, имеет обратную зависимость в показательных и логарифмических функциях. Выходные значения показательных функций общего вида изменяются пропорционально, когда входные значения увеличиваются на равные интервалы. Однако входные значения логарифмических функций общего вида изменяются пропорционально, когда выходные значения увеличиваются на равные интервалы. Альтернативно, показательный рост характеризуется умножительным изменением выходных значений при аддитивном изменении входных значений, тогда как логарифмический рост характеризуется аддитивным изменением выходных значений при умножительном изменении входных значений.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ и $g(x) = b^x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$, являются взаимно обратными функциями. То есть, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 График логарифмической функции $f(x) = \log_b x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$, является отражением графика показательной функции $g(x) = b^x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$, относительно графика тождественной функции $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Если $(s, \; t)$ — упорядоченная пара показательной функции $g(x) = b^x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$, то $(t, \; s)$ — упорядоченная пара логарифмической функции $f(x) = \log_b x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$.

Цель обучения 2.11.A: Определять ключевые характеристики логарифмических функций.

• 2.11.A.1 Областью определения логарифмической функции общего вида является любое действительное число, большее нуля, а областью значений — все действительные числа.
• 2.11.A.2 Поскольку логарифмические функции являются обратными к показательным, они всегда либо строго возрастают, либо строго убывают, а их графики либо всегда выпуклы вверх, либо всегда выпуклы вниз. Следовательно, логарифмические функции не имеют экстремумов (за исключением замкнутого интервала), а их графики не имеют точек перегиба.
• 2.11.A.3 Аддитивная преобразующая функция $g(x) = f(x + k)$, где $k \neq 0$, логарифмической функции $f$ в общем виде не имеет входных значений, пропорциональных на равных по длине интервалах выходных значений. Однако если входные значения аддитивной преобразующей функции $g(x) = f(x + k)$ любой функции $f$ пропорциональны на равных по длине интервалах выходных значений, то $f$ является логарифмической функцией.
• 2.11.A.4 В связи с ограниченной областью определения логарифмические функции в общем виде имеют вертикальную асимптоту $x = 0$ и неограниченное поведение на концах. То есть для логарифмической функции в общем виде $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ и $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Цель обучения 2.12.A: Преобразовывать логарифмические выражения в эквивалентные формы.

• 2.12.A.1 Свойство произведения логарифмов гласит, что $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Графически это свойство означает, что каждое горизонтальное растяжение логарифмической функции $f(x) = \log_b(kx)$ эквивалентно вертикальному сдвигу $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, где $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 Свойство степени логарифмов гласит, что $\log_b x^n = n\log_b x$. Графически это свойство означает, что возведение входа логарифмической функции в степень $f(x) = \log_b x^k$ приводит к вертикальному растяжению $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 Свойство смены основания логарифмов гласит, что $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, где $a > 0$ и $a \neq 1$. Это означает, что все логарифмические функции являются вертикальными растяжениями друг друга.
• 2.12.A.4 Функция $f(x) = \ln x$ является логарифмической функцией с натуральным основанием $e$; то есть $\ln x = \log_e x$.

Цель обучения 2.13.A: Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

• 2.13.A.1 Свойства степеней, свойства логарифмов и взаимно-обратные отношения между показательными и логарифмическими функциями могут быть использованы для решения уравнений и неравенств, содержащих степени и логарифмы.
• 2.13.A.2 При решении показательных и логарифмических уравнений, полученных аналитическими или графическими методами, результаты следует проверять на наличие посторонних решений, исключенных математическими или контекстными ограничениями.
• 2.13.A.3 Логарифмы можно использовать для переписывания выражений, содержащих показательные функции, различными способами, которые могут раскрыть полезную информацию. В частности, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Цель обучения 2.13.B: Строить обратную функцию для показательных и логарифмических функций.

• 2.13.B.1 Функция $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ представляет собой комбинацию аддитивных преобразований показательной функции в общем виде. Обратную функцию от $y = f(x)$ можно найти, определив обратные операции для reversal отображения.
• 2.13.B.2 Функция $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ представляет собой комбинацию аддитивных преобразований логарифмической функции в общем виде. Обратную функцию от $y = f(x)$ можно найти, определив обратные операции для reversal отображения.

Цель обучения 2.14.A: Строить модель логарифмической функции.

• 2.14.A.1 Логарифмические функции являются обратными к показательным и могут использоваться для моделирования ситуаций, связанных с пропорциональным ростом или повторным умножением, когда входные значения изменяются пропорционально на равных по длине интервалах выходных значений. Альтернативно, если выходное значение является целым числом, это указывает на количество раз, на которое начальное значение было умножено на пропорцию.
• 2.14.A.2 Модель логарифмической функции может быть построена на основе соответствующей пропорции и реального нуля или двух пар «вход-выход».
• 2.14.A.3 Модели логарифмических функций могут быть построены путем применения преобразований к $f(x) = a\log_b x$ на основе характеристик контекста или набора данных.
• 2.14.A.4 Модели логарифмических функций для набора данных могут быть построены с использованием технологий с помощью логарифмической регрессии.
• 2.14.A.5 Натуральный логарифм часто полезен при моделировании явлений реального мира.
• 2.14.A.6 Модели логарифмических функций могут использоваться для прогнозирования значений зависимой переменной.

Цель обучения 2.15.A: Определить, подходит ли показательная модель, изучив полулогарифмический график набора данных.

• 2.15.A.1 На полулогарифмическом графике одна из осей имеет логарифмическую шкалу. Когда ось $y$ полулогарифмического графика имеет логарифмическую шкалу, данные или функции, демонстрирующие показательные характеристики, будут выглядеть линейно.
• 2.15.A.2 Преимущество полулогарифмических графиков заключается в том, что к значениям зависимой переменной никогда не нужно прибавлять постоянную величину, чтобы выявить пригодность показательной модели.

Цель обучения 2.15.B: Построить линеаризацию показательных данных.

• 2.15.B.1 Методы, используемые для моделирования линейных функций, могут применяться к полупрологарифмическому графику.
• 2.15.B.2 Для экспоненциальной модели вида $y = ab^x$ соответствующая линейная модель для полупрологарифмического графика имеет вид $y = (\log_n b)x + \log_n a$, где $n > 0$ и $n \neq 1$. В частности, линейная скорость изменения равна $\log_n b$, а начальное линейное значение равно $\log_n a$.

Цель обучения 3.1.A: Строить графики периодических зависимостей на основе словесных представлений.

• 3.1.A.1 Периодическую зависимость можно установить между двумя аспектами контекста, если при увеличении входных значений выходные значения демонстрируют повторяющийся паттерн на последовательных интервалах одинаковой длины.
• 3.1.A.2 График периодической зависимости может быть построен по графику одного цикла этой зависимости.

Цель обучения 3.1.B: Описывать ключевые характеристики периодической функции на основе словесного представления.

• 3.1.B.1 Период функции — это наименьшее положительное значение $k$, такое что $f(x + k) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, поведение периодической функции полностью определяется любым интервалом шириной $k$.
• 3.1.B.2 Период можно оценить, исследуя последовательные выходные значения одинаковой длины и определяя, где паттерн начинает повторяться.
• 3.1.B.3 Периодические функции принимают характеристики других функций, такие как интервалы возрастания и убывания, различная выпуклость и различные скорости изменения. Однако в случае с периодическими функциями все характеристики, найденные в одном периоде функции, будут присутствовать в каждом периоде этой функции.

Цель обучения 3.2.A: Определять синус, косинус и тангенс угла, используя единичную окружность.

• 3.2.A.1 На координатной плоскости угол находится в стандартном положении, когда его вершина совпадает с началом координат, а один луч совпадает с положительной $x$-осью. Другой луч называется конечным лучом. Положительные и отрицательные значения углов обозначают повороты от положительной $x$-оси против часовой стрелки и по часовой стрелке соответственно. Углы в стандартном положении, имеющие общий конечный луч, отличаются на целое число полных оборотов.
• 3.2.A.2 Значение угла в радианах в стандартном положении равно отношению длины дуги окружности с центром в начале координат, стягиваемой этим углом, к радиусу этой же окружности. Для единичной окружности, радиус которой равен $1$, значение угла в радианах совпадает с длиной стягиваемой дуги.
• 3.2.A.3 Заданный угол в стандартном положении и окружность с центром в начале координат имеют точку пересечения $P$. Синус угла — это отношение вертикального смещения точки $P$ от оси $x$ к расстоянию от начала координат до точки $P$. Следовательно, для единичной окружности синус угла равен $y$-координате точки $P$.
• 3.2.A.4 Заданный угол в стандартном положении и окружность с центром в начале координат имеют точку пересечения $P$. Косинус угла — это отношение горизонтального смещения точки $P$ от оси $y$ к расстоянию от начала координат до точки $P$. Следовательно, для единичной окружности косинус угла равен $x$-координате точки $P$.
• 3.2.A.5 Заданный угол в стандартном положении: тангенс угла — это угловой коэффициент (если он существует) конечного луча. Поскольку угловой коэффициент конечного луча равен отношению вертикального смещения к горизонтальному смещению на любом промежутке, тангенс угла равен отношению $y$-координаты к $x$-координате точки пересечения конечного луча с единичной окружностью; alternatively, это отношение синуса угла к его косинусу.

Цель обучения 3.3.A: Определять координаты точек на окружности с центром в начале координат.

• 3.3.A.1 Заданный угол меры $\theta$ в стандартном положении и окружность радиуса $r$ с центром в начале координат имеют точку пересечения $P$. Координаты точки $P$ равны $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 Геометрия равнобедренных прямоугольных и равносторонних треугольников, с учетом знаков значений в зависимости от четверти, в которой находится угол, позволяет найти точные значения косинуса и синуса углов, кратных $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{\pi}{6}$ радианам, конечные лучи которых не лежат на осях.

Цель обучения 3.4.A: Строить представления функций синуса и косинуса с использованием единичной окружности.

• 3.4.A.1 Заданный угол меры $\theta$ в стандартном положении и единичная окружность с центром в начале координат имеют точку пересечения $P$. Функция синуса $f(\theta) = \sin\theta$ дает $y$-координату, или вертикальное смещение от $x$-оси, точки $P$. Областью определения функции синуса являются все действительные числа.
• 3.4.A.2 По мере увеличения входных значений, или мер углов, синусоидальная функция колеблется между $-1$ и $1$, принимая каждое промежуточное значение, и отражает вертикальное расстояние точек на единичной окружности от оси $x$.
• 3.4.A.3 Для угла меры $\theta$ в стандартном положении и единичной окружности с центром в начале координат существует точка пересечения конечного луча с окружностью, $P$. Косинусоидальная функция, $f(\theta) = \cos\theta$, дает координату $x$, или горизонтальное смещение от оси $y$, точки $P$. Областью определения косинусоидальной функции являются все действительные числа.
• 3.4.A.4 По мере увеличения входных значений, или мер углов, косинусоидальная функция колеблется между $-1$ и $1$, принимая каждое промежуточное значение, и отражает горизонтальное расстояние точек на единичной окружности от оси $y$.

Цель обучения 3.5.A: Определять ключевые характеристики синусоидальных и косинусоидальных функций.

• 3.5.A.1 Синусоидальная функция — это любая функция, включающая аддитивные и мультипликативные преобразования $f(\theta) = \sin\theta$. Синусоидальная и косинусоидальная функции являются синусоидальными функциями с $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 Период и частота синусоидальной функции являются взаимно обратными величинами. Периодом $f(\theta) = \sin\theta$ и $g(\theta) = \cos\theta$ является $2\pi$, а частотой — $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 Амплитуда синусоидальной функции равна половине разности между её максимальным и минимальным значениями. Амплитуда $f(\theta) = \sin\theta$ и $g(\theta) = \cos\theta$ составляет $1$.
• 3.5.A.4 Средняя линия графика синусоидальной функции определяется средним арифметическим (средним значением) максимального и минимального значений функции. Средняя линия графиков $y = \sin\theta$ и $y = \cos\theta$ находится на уровне $y = 0$.
• 3.5.A.5 При увеличении входных значений графики синусоидальных функций колеблются между выпуклостью вниз и выпуклостью вверх.
• 3.5.A.6 График $y = \sin\theta$ обладает центральной симметрией относительно начала координат, поэтому является нечетной функцией. График $y = \cos\theta$ обладает осевой симметрией относительно оси $y$, поэтому является четной функцией.

Цель обучения 3.6.A: Определять амплитуду, вертикальный сдвиг, период и фазовый сдвиг синусоидальной функции.

• 3.6.A.1 Функции, которые можно записать в виде $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ или $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, где $a, b, c,$ и $d$ — действительные числа, а $a \neq 0$, являются синусоидальными функциями и представляют собой преобразования синусоидальной и косинусоидальной функций. Аддитивные и мультипликативные преобразования одинаковы для обеих функций, поскольку косинусоидальная функция представляет собой фазовый сдвиг синусоидальной функции на $-\dfrac{\pi}{2}$ единиц.
• 3.6.A.2 График аддитивного преобразования $g(\theta) = \sin\theta + d$ синусоидальной функции $f(\theta) = \sin\theta$ представляет собой вертикальное平移 (сдвиг) графика $f$, включая его среднюю линию, на $d$ единиц. То же самое преобразование косинусоидальной функции дает тот же результат.
• 3.6.A.3 График аддитивного преобразования $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ синусоидальной функции $f(\theta) = \sin\theta$ представляет собой горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг) графика $f$ на $-c$ единиц. То же самое преобразование косинусоидальной функции дает тот же результат.
• 3.6.A.4 График мультипликативного преобразования $g(\theta) = a\sin\theta$ синусоидальной функции $f(\theta) = \sin\theta$ представляет собой вертикальное растяжение графика $f$ и отличается амплитудой в коэффициенте $|a|$. То же самое преобразование косинусоидальной функции дает тот же результат.
• 3.6.A.5 График мультипликативного преобразования $g(\theta) = \sin(b\theta)$ синусоидальной функции $f(\theta) = \sin\theta$ представляет собой горизонтальное растяжение графика $f$ и отличается периодом в коэффициенте $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. То же самое преобразование косинусоидальной функции дает тот же результат.
• 3.6.A.6 График $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ имеет амплитуду $|a|$ единицы, период $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ единиц, вертикальный сдвиг средней линии на $d$ единиц от $y = 0$ и фазовый сдвиг на $-c$ единиц. Те же самые преобразования косинусоидальной функции дают те же результаты.

Цель обучения 3.7.A: Составлять модели синусоидальных функций для периодических явлений.

• 3.7.A.1 Наименьший интервал входных значений, на котором начинают повторяться максимальные или минимальные выходные значения, то есть интервал входных значений между последовательными максимумами или последовательными минимумами, может быть использован для определения или оценки периода и частоты модели синусоидальной функции.
• 3.7.A.2 Максимальные и минимальные выходные значения могут быть использованы для определения или оценки амплитуды и вертикального сдвига модели синусоидальной функции.
• 3.7.A.3 Реальную пару входных-выходных значений можно сравнить с парами входных-выходных значений, полученными моделью синусоидальной функции, для определения или оценки фазового сдвига модели.
• 3.7.A.4 Модели синусоидальных функций для набора данных могут быть построены с помощью технологий путем оценки ключевых значений или использования синусоидальной регрессии.
• 3.7.A.5 Синусоидальные функции, моделирующие набор данных, обычно применимы только в рамках своего контекстного домена и могут использоваться для прогнозирования значений зависимой переменной по значениям независимой переменной.

Цель обучения 3.8.A: Строить представления функции тангенс с использованием единичной окружности.

• 3.8.A.1 Задан угол меры $\theta$ в стандартном положении и единичная окружность с центром в начале координат; существует точка $P$, в которой конечный луч пересекает окружность. Тангенс, $f(\theta) = \tan\theta$, определяет угловой коэффициент (наклон) конечного луча.
• 3.8.A.2 Поскольку наклон конечного луча представляет собой отношение изменения значений $y$ к изменению значений $x$ между любыми двумя точками на луче, тангенс также является отношением функции синуса к функции косинуса. Следовательно, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, где $\cos\theta \neq 0$.

Цель обучения 3.8.B: Описать ключевые характеристики функции тангенса.

• 3.8.B.1 Поскольку значения наклона конечного луча повторяются каждые пол-оборота круга, период функции тангенса равен $\pi$.
• 3.8.B.2 Функция тангенса демонстрирует периодическое асимптотическое поведение при входных значениях $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ для целочисленных значений $k$, потому что $\cos\theta = 0$ в этих значениях.
• 3.8.B.3 Функция тангенса возрастает, и её график меняет выпуклость с вниз на вверх между последовательными асимптотами.

Цель обучения 3.9.A: Построить аналитические и графические представления обратной функции для синуса, косинуса и тангенса на ограниченном множестве определения.

• 3.9.A.1 Для обратных тригонометрических функций входные и выходные значения меняются местами по сравнению с соответствующими им тригонометрическими функциями, поэтому выходное значение обратной тригонометрической функции часто интерпретируется как мера угла, а входное значение — как число из области значений соответствующей тригонометрической функции.
• 3.9.A.2 Обратные тригонометрические функции называются арксинусом, арккосинусом и арктангенсом (также обозначаются как $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ и $\tan^{-1}x$). Поскольку соответствующие тригонометрические функции являются периодическими, они обратимы только при наличии ограниченных множеств определения.
• 3.9.A.3 Чтобы определить их соответствующие обратные функции, множество определения функции синуса ограничивается $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, функции косинуса — $[0, \pi]$, а функции тангенса — $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Цель обучения 3.10.A: Решать уравнения и неравенства, включающие тригонометрические функции.

• 3.10.A.1 Обратные тригонометрические функции полезны при решении уравнений и неравенств, включающих тригонометрические функции, но решениям может потребоваться корректировка из-за ограничений области определения.
• 3.10.A.2 Поскольку тригонометрические функции являются периодическими, часто существует бесконечно много решений тригонометрических уравнений.
• 3.10.A.3 В тригонометрических уравнениях и неравенствах, возникающих из контекстной ситуации, часто существует ограничение области определения, которое может быть выведено из контекста и ограничивает количество решений.

Цель обучения 3.11.A: Определять ключевые характеристики функций, которые включают частные синуса и косинуса.

• 3.11.A.1 Функция секанс, $f(\theta) = \sec\theta$, является обратной косинусу, где $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 Функция косеканс, $f(\theta) = \csc\theta$, является обратной синусу, где $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Графики функций секанс и косеканс имеют вертикальные асимптоты там, где косинус и синус равны нулю соответственно, и имеют область значений $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 Котангенс, $f(\theta) = \cot\theta$, является обратной величиной тангенса, при условии, что $\tan\theta \neq 0$. Эквивалентная запись: $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, при условии, что $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 График функции котангенс имеет вертикальные асимптоты для значений области определения, где $\tan\theta = 0$, и является убывающей между последовательными асимптотами.

Цель обучения 3.12.A: Преобразовывать тригонометрические выражения в эквивалентные формы с использованием пифагорова тождества.

• 3.12.A.1 Теорему Пифагора можно применить к прямоугольным треугольникам с точками на единичной окружности с координатами $(\cos\theta, \sin\theta)$, что приводит к пифагорову тождеству: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 Пифагорово тождество можно алгебраически преобразовать в другие формы, включающие тригонометрические функции, такие как $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, и его можно использовать для установления других тригонометрических соотношений, таких как $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, с соответствующими ограничениями области определения.

Цель обучения 3.12.B: Преобразовывать тригонометрические выражения в эквивалентные формы с использованием формул сложения синуса и косинуса.

• 3.12.B.1 Формула сложения для синуса имеет вид $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 Формула сложения для косинуса имеет вид $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 Формулы сложения для синуса и косинуса также могут использоваться в качестве формул разности и двойного угла.
• 3.12.B.4 Свойства тригонометрических функций, известные тригонометрические тождества и другие алгебраические свойства могут быть использованы для проверки дополнительных тригонометрических тождеств.

Цель обучения 3.12.C: Решать уравнения, используя эквивалентные аналитические представления тригонометрических функций.

• 3.12.C.1 Конкретная эквивалентная форма, включающая тригонометрические выражения, может сделать информацию более доступной.
• 3.12.C.2 Эквивалентные тригонометрические формы могут быть полезны при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Цель обучения 3.13.A: Определять расположение точки на плоскости, используя как прямоугольные, так и полярные координаты.

• 3.13.A.1 Полярная система координат основана на сетке окружностей с центром в начале координат и прямых, проходящих через начало координат. Полярные координаты определяются как упорядоченная пара $(r, \theta)$, такая что $|r|$ представляет радиус окружности, на которой лежит точка, а $\theta$ представляет меру угла в стандартном положении, терминальный луч которого включает точку. В полярной системе координат одна и та же точка может быть представлена многими способами.
• 3.13.A.2 Координаты точки в полярной системе координат, $(r, \theta)$, можно преобразовать в координаты в прямоугольной системе координат, $(x, y)$, используя $x = r\cos\theta$ и $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 Координаты точки в прямоугольной системе координат, $(x, y)$, можно преобразовать в координаты в полярной системе координат, $(r, \theta)$, используя $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ и $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ для $x > 0$ или $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ для $x < 0$.
• 3.13.A.4 Комплексное число можно рассматривать как точку на комплексной плоскости и определить по соответствующим прямоугольным или полярным координатам. Когда комплексное число имеет прямоугольные координаты $(a, b)$, оно может быть записано как $a + bi$. Когда комплексное число имеет полярные координаты $(r, \theta)$, оно может быть записано как $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Цель обучения 3.14.A: Строить графики полярных функций.

• 3.14.A.1 График функции $r = f(\theta)$ в полярных координатах состоит из пар входных и выходных значений, где входные значения — это меры углов, а выходные значения — радиусы.
• 3.14.A.2 Область определения полярной функции $r = f(\theta)$, заданной графически, может быть ограничена до желаемой части функции путем выбора конечных точек, соответствующих所需的 углу и радиусу.
• 3.14.A.3 При построении графиков полярных функций вида $r = f(\theta)$ изменения входных значений соответствуют изменениям угловых величин от положительного $x$-оси, а изменения выходных значений соответствуют изменениям расстояния от начала координат.

Цель обучения 3.15.A: Описывать характеристики графика полярной функции.

• 3.15.A.1 Если полярная функция $r = f(\theta)$ положительна и возрастает или отрицательна и убывает, то расстояние между $f(\theta)$ и началом координат увеличивается.
• 3.15.A.2 Если полярная функция $r = f(\theta)$ положительна и убывает или отрицательна и возрастает, то расстояние между $f(\theta)$ и началом координат уменьшается.
• 3.15.A.3 Для полярной функции $r = f(\theta)$, если на промежутке происходит смена роста на убывание или убывания на рост, то функция имеет относительный экстремум на этом промежутке, соответствующий точке, относительно ближайшей к началу координат или наиболее удаленной от него.
• 3.15.A.4 Средняя скорость изменения $r$ по переменной $\theta$ на промежутке $\theta$ представляет собой отношение изменения значений радиуса к изменению $\theta$ на промежутке $\theta$. Графически средняя скорость изменения показывает скорость изменения радиуса на один радиан.
• 3.15.A.5 Средняя скорость изменения $r$ по переменной $\theta$ на промежутке $\theta$ может использоваться для оценки значений функции внутри этого промежутка.

Цель обучения 4.1.A: Построить график или таблицу значений для параметрической функции, заданной аналитически.

• 4.1.A.1 Параметрическая функция в $\mathbb{R}^2$, множестве всех упорядоченных пар вещественных чисел, состоит из набора двух параметрических уравнений, в которых две зависимые переменные, $x$ и $y$, зависят от одной независимой переменной, $t$, называемой параметром.
• 4.1.A.2 Поскольку переменные $x$ и $y$ зависят от независимой переменной $t$, координаты $(x_i,\, y_i)$ в момент времени $t_i$ можно записать как функции от $t$ и выразить как единую параметрическую функцию $f(t) = (x(t),\, y(t))$, где в данном случае $x$ и $y$ — названия двух функций.
• 4.1.A.3 Численную таблицу значений можно построить для параметрической функции $f(t) = (x(t),\, y(t))$, вычисляя значения $x_i$ и $y_i$ при нескольких значениях параметра $t_i$ из области определения.
• 4.1.A.4 График параметрической функции можно нарисовать, соединив несколько точек из числовой таблицы значений в порядке возрастания значения $t$.
• 4.1.A.5 Множество определения параметрической функции $f$ часто ограничено, что приводит к появлению начальной и конечной точек на графике $f$.

Цель обучения 4.2.A: Определять ключевые характеристики параметрической функции плоского движения, связанные с положением.

• 4.2.A.1 Параметрическая функция, заданная выражением $f(t) = (x(t),\, y(t))$, может использоваться для моделирования движения частицы в плоскости. График этой функции показывает положение частицы в момент времени $t$.
• 4.2.A.2 Горизонтальные и вертикальные экстремумы движения частицы можно определить, найдя максимальные и минимальные значения функций $x(t)$ и $y(t)$ соответственно.
• 4.2.A.3 Действительные нули функции $x(t)$ соответствуют точкам пересечения с осью $y$, а действительные нули функции $y(t)$ соответствуют точкам пересечения с осью $x$.

Цель обучения 4.3.A: Определять ключевые характеристики параметрической функции плоского движения, связанные с направлением и скоростью изменения.

• 4.3.A.1 По мере увеличения параметра направление плоского движения частицы можно анализировать независимо по компонентам $x$ и $y$. Если $x(t)$ увеличивается или уменьшается, направление движения — вправо или влево соответственно. Если $y(t)$ увеличивается или уменьшается, направление движения — вверх или вниз соответственно.
• 4.3.A.2 В данной точке плоскости направление плоского движения может различаться для разных значений параметра $t$.
• 4.3.A.3 Одна и та же кривая в плоскости может быть задана параметрически различными способами и может проходиться в разных направлениях с использованием различных параметрических функций.
• 4.3.A.4 На заданном интервале $[t_1,\, t_2]$ области определения среднюю скорость изменения можно вычислить для компонент $x(t)$ и $y(t)$ независимо. Отношение средней скорости изменения компоненты $y$ к средней скорости изменения компоненты $x$ дает наклон графика между точками на кривой, соответствующими параметрам $t_1$ и $t_2$, при условии, что средняя скорость изменения компоненты $x(t) \neq 0$ не равна нулю.

Цель обучения 4.4.A: Выражать движение по окружности или вдоль отрезка прямой параметрически.

• 4.4.A.1 Полный оборот против часовой стрелки вокруг единичной окружности, начинающийся и заканчивающийся в точке $(1,\, 0)$ и имеющий центр в начале координат, может быть смоделирован функцией $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ с областью определения $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.4.A.2 Преобразования параметрической функции $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ могут моделировать любую круговую траекторию, проходимую в плоскости.
• 4.4.A.3 Линейный путь вдоль отрезка прямой от точки $(x_1,\, y_1)$ до точки $(x_2,\, y_2)$ может быть задан параметрически множеством способов, включая использование начального положения $(x_1,\, y_1)$ и скоростей изменения для компоненты $x$ по переменной $t$ и для компоненты $y$ по переменной $t$.

Учебная цель 4.5.A: Построить график уравнения, содержащего две переменные.

• 4.5.A.1 Уравнение, содержащее две переменные, может неявно описывать одну или несколько функций.
• 4.5.A.2 Уравнение, содержащее две переменные, можно изобразить на графике, найдя решения этого уравнения.
• 4.5.A.3 Выражение одной из переменных в уравнении, содержащем две переменные, может определить функцию, график которой является частью или всем графиком данного уравнения.

Учебная цель 4.5.B: Определить, как изменяются вместе две величины, связанные неявно определенной функцией.

• 4.5.B.1 Для упорядоченных пар на графике неявно определенной функции, расположенных близко друг к другу, если отношение изменений двух переменных положительно, то обе переменные одновременно увеличиваются или уменьшаются; наоборот, если отношение отрицательно, то при увеличении одной переменной другая уменьшается.
• 4.5.B.2 Скорость изменения $x$ по отношению к $y$ или скорости изменения $y$ по отношению к $x$ может быть равна нулю, что указывает на вертикальные или горизонтальные интервалы соответственно.

Учебная цель 4.7.A: Представить кривую на плоскости параметрически.

• 4.7.A.1 Параметризация $(x(t),\, y(t))$ неявно определенной функции, при подстановке $x(t)$ и $y(t)$ вместо $x$ и $y$ соответственно, будет удовлетворять соответствующему уравнению для любого значения параметра $t$ из области определения.
• 4.7.A.2 Если $f$ является функцией от $x$, то $y = f(x)$ может быть параметризовано как $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$. Если $f$ обратима, её обратная функция может быть параметризована как $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ для соответствующего интервала $t$.

Учебная цель 4.7.B: Представить конические сечения параметрически.

• 4.7.B.1 Параболу можно параметризовать тем же способом, которым параметризуются любые уравнения, которые можно решить относительно $x$ или $y$. Уравнения, которые можно решить относительно $x$, можно параметризовать как $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$, выразив $x$ и заменив $y$ на $t$. Уравнения, которые можно решить относительно $y$, можно параметризовать как $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$, выразив $y$ и заменив $x$ на $t$.
• 4.7.B.2 Эллипс можно параметризовать с помощью тригонометрических функций $x(t) = h + a\cos t$ и $y(t) = k + b\sin t$ для переменной $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.7.B.3 Гиперболу можно параметризовать с помощью тригонометрических функций. Для гиперболы, раскрывающейся влево и вправо, используются функции $x(t) = h + a\sec t$ и $y(t) = k + b\tan t$ при $0 \leq t \leq 2\pi$. Для гиперболы, раскрывающейся вверх и вниз, используются функции $x(t) = h + a\tan t$ и $y(t) = k + b\sec t$ при $0 \leq t \leq 2\pi$.

Учебная цель 4.8.A: Определять характеристики вектора.

• 4.8.A.1 Вектор — это направленный отрезок прямой. Когда вектор помещается в координатную плоскость, точка в начале отрезка называется хвостом, а точка в конце отрезка называется головой. Длина отрезка является величиной (длиной) вектора.
• 4.8.A.2 Вектор $\overrightarrow{P_1 P_2}$ с двумя компонентами можно построить на координатной плоскости $xy$ от точки $P_1 = (x_1, y_1)$ до точки $P_2 = (x_2, y_2)$. Вектор определяется значениями $a$ и $b$, где $a = x_2 - x_1$ и $b = y_2 - y_1$. Вектор можно записать в виде $\langle a,\, b \rangle$. Нулевой вектор $\langle 0,\, 0 \rangle$ представляет тривиальный случай, когда выполняется условие $P_1 = P_2$.
• 4.8.A.3 Направление вектора параллельно отрезку прямой, соединяющему начало координат с точкой, имеющей координаты $(a,\, b)$. Величина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его компонент.
• 4.8.A.4 Для вектора, изображенного геометрически на плоскости, компоненты вектора можно найти, используя тригонометрию.

Учебная цель 4.8.B: Определять суммы и произведения, связанные с векторами.

• 4.8.B.1 Умножение скаляра (константы) на вектор дает новый вектор, компоненты которого находятся путем умножения скаляра на каждую компоненту исходного вектора. Новый вектор параллелен исходному вектору.
• 4.8.B.2 Сумма двух векторов из пространства $\mathbb{R}^2$ является новым вектором, компоненты которого находятся путем сложения соответствующих компонент исходных векторов. Новый вектор можно графически представить как вектор, чей хвост совпадает с хвостом первого вектора, а голова совпадает с головой второго вектора, когда хвост второго вектора расположен в голове первого вектора.
• 4.8.B.3 Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих компонент. То есть, $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$.

Учебная цель 4.8.C: Определять единичный вектор для заданного вектора.

• 4.8.C.1 Единичный вектор — это вектор величиной $1$. Единичный вектор того же направления, что и данный ненулевой вектор, можно найти, умножив вектор на скаляр, равный обратной величине его длины.
• 4.8.C.2 Вектор $\langle a,\, b \rangle$ может быть выражен как $a\vec{i} + b\vec{j}$ в $\mathbb{R}^2$, где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — единичные векторы в направлениях $x$ и $y$ соответственно. То есть, $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ и $\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$.

Учебная цель 4.8.D: Определять меры углов между векторами и величины векторов, участвующих в сложении векторов.

• 4.8.D.1 Скалярное произведение геометрически эквивалентно произведению длин двух векторов и косинуса угла между ними. Следовательно, если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
• 4.8.D.2 Закон синусов и закон косинусов могут использоваться для определения длин сторон и величин углов треугольников, образованных сложением векторов.

Цель обучения 4.9.A: Описывать движение в плоскости с помощью вектор-значных функций.

• 4.9.A.1 Положение частицы, движущейся в плоскости и заданной параметрической функцией $f(t) = (x(t),\, y(t))$, может быть выражено как вектор-значная функция, $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ или $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$. Длина вектора положения в момент времени $t$ определяет расстояние частицы от начала координат.
• 4.9.A.2 Вектор-значную функцию $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ можно использовать для описания скорости частицы, движущейся в плоскости, в различные моменты времени $t$. В момент времени $t$ знак компоненты $x(t)$ указывает направление движения частицы влево или вправо, а знак компоненты $y(t)$ указывает направление вверх или вниз. Длина вектора скорости в момент времени $t$ определяет скорость частицы.

Цель обучения 4.10.A: Найти произведение двух матриц.

• 4.10.A.1 Матрица размера $n \times m$ — это массив, состоящий из $n$ строк и $m$ столбцов.
• 4.10.A.2 Две матрицы можно перемножить, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Произведением матриц является новая матрица, элемент которой в строке $i$ и столбце $j$ равен скалярному произведению строки $i$ первой матрицы и столбца $j$ второй матрицы.

Цель обучения 4.11.A: Найти обратную матрицу для матрицы размера $2 \times 2$.

• 4.11.A.1 Единичная матрица $I$ — это квадратная матрица, состоящая из единиц $1$ на диагонали от левого верхнего угла к правому нижнему и нулей $0$ во всех остальных позициях.
• 4.11.A.2 Умножение квадратной матрицы на соответствующую ей единичную матрицу дает исходную квадратную матрицу.
• 4.11.A.3 Произведение квадратной матрицы и её обратной (если она существует) равно единичной матрице того же размера.
• 4.11.A.4 Обратную матрицу размера $2 \times 2$ (если она существует) можно вычислить с помощью технических средств или без них.

Цель обучения 4.11.B: Применить значение определителя для проверки обратимости и работы с векторами.

• 4.11.B.1 Определитель матрицы $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ равен $ad - bc$. Определитель можно вычислить с помощью технических средств или без них и обозначается как $\det(A)$.
• 4.11.B.2 Если матрица размера $2 \times 2$ состоит из двух столбцовых или строчных векторов из пространства $\mathbb{R}^2$, то ненулевое абсолютное значение определителя этой матрицы представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на векторы, представленные в столбцах или строках матрицы. Если определитель равен $0$, то векторы параллельны.
• 4.11.B.3 Квадратная матрица $A$ имеет обратную тогда и только тогда, когда $\det(A) \neq 0$.

Цель обучения 4.12.A: Найти выходные векторы линейного преобразования с использованием матрицы размера $2 \times 2$.

• 4.12.A.1 Линейное преобразование — это функция, которая отображает входной вектор на выходной вектор так, что каждый компонент выходного вектора является суммой постоянных кратностей компонентов входного вектора.
• 4.12.A.2 Линейное преобразование отображает нулевой вектор в нулевой вектор.
• 4.12.A.3 Один вектор из пространства $\mathbb{R}^2$ может быть представлен в виде матрицы размера $2 \times 1$. Набор из $n$ векторов из пространства $\mathbb{R}^2$ может быть представлен в виде матрицы размера $2 \times n$.
• 4.12.A.4 Для линейного преобразования $L$ из пространства $\mathbb{R}^2$ в пространство $\mathbb{R}^2$ существует единственная матрица $2 \times 2$, обозначаемая как $A$, такая что $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ для векторов в пространстве $\mathbb{R}^2$. Наоборот, для заданной матрицы $2 \times 2$, обозначаемой как $A$, функция $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ является линейным преобразованием из пространства $\mathbb{R}^2$ в пространство $\mathbb{R}^2$.
• 4.12.A.5 Умножение матрицы преобразования $2 \times 2$, $A$, на матрицу из $2 \times n$ входных векторов размерности $n$ дает матрицу из $2 \times n$ выходных векторов размерности $n$ для линейного преобразования $L(\vec{v}) = A\vec{v}$.

Цель обучения 4.13.A: Установить связь между линейным преобразованием и матрицей.

• 4.13.A.1 Линейное преобразование, отображающее пространство $\langle x,\, y \rangle$ в пространство $\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$, связано с матрицей $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
• 4.13.A.2 Отображение единичных векторов при линейном преобразовании предоставляет ценную информацию для определения связанной с ним матрицы.
• 4.13.A.3 Матрица $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ связана с линейным преобразованием векторов, которое поворачивает каждый вектор на угол $\theta$ против часовой стрелки вокруг начала координат.
• 4.13.A.4 Абсолютная величина определителя матрицы преобразования $2 \times 2$ дает коэффициент растяжения областей в пространстве $\mathbb{R}^2$ при данном преобразовании.

Цель обучения 4.13.B: Определить композицию двух линейных преобразований.

• 4.13.B.1 Композиция двух линейных преобразований является линейным преобразованием.
• 4.13.B.2 Матрица, соответствующая композиции двух линейных преобразований, равна произведению матриц, связанных с каждым из этих линейных преобразований.

Цель обучения 4.13.C: Определить обратное преобразование линейного преобразования.

• 4.13.C.1 Два линейных преобразования являются взаимно обратными, если их композиция отображает любой вектор в него самого.
• 4.13.C.2 Если линейное преобразование $L$ задано формулой $L(\vec{v}) = A\vec{v}$, то его обратное преобразование задается формулой $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$, где $A^{-1}$ — это обратная матрица к матрице $A$.

Цель обучения 4.14.A: Построить модель сценария, включающего переходы между двумя состояниями, используя матрицы.

• 4.14.A.1 Контекстный сценарий может указывать скорость переходов между состояниями в виде процентных изменений. Матрица может быть составлена на основе этих скоростей для моделирования того, как состояния изменяются за дискретные интервалы времени.

Цель обучения 4.14.B: Применять матричные модели для прогнозирования будущих и прошлых состояний для $n$ шагов перехода.

• 4.14.B.1 Произведение матрицы, моделирующей переходы между состояниями, и соответствующего вектора состояния позволяет прогнозировать будущие состояния.
• 4.14.B.2 Повторное умножение матрицы, моделирующей переходы между состояниями, на соответствующие результирующие векторы состояний позволяет прогнозировать стационарное состояние — распределение между состояниями, которое не меняется от одного шага к следующему.
• 4.14.B.3 Произведение обратной матрицы, моделирующей переходы между состояниями, и соответствующего вектора состояния позволяет прогнозировать прошлые состояния.