Область применения и требования
Фреймворк ACT, редакция февраля 2026. Приведенные здесь учебные случаи не являются официальной формой ACT.
- Считывайте центр, разброс и форму из размеченных диаграмм
- Интерпретируйте нормальное распределение, используя среднее значение и стандартное отклонение
- Различать ассоциацию двух переменных и доказательство причинности
Предварительные требования: упорядоченные данные; частота; среднее арифметическое и медиана.
Объясните и выберите метод
Среднее арифметическое учитывает все наблюдения; медиана использует их упорядоченное значение в центре. Гистограмма группирует числовые значения в интервалы, диаграмма размаха отображает квартили, а столбчатая диаграмма сравнивает категории. Перед сравнением видимой ширины или высоты проверяйте единицы измерения, шкалу и частоты. Используйте конвенцию вычисления квартилей, указанную в условии задачи.
Прибавление константы сдвигает среднее арифметическое и медиану, но не изменяет стандартное отклонение; умножение значений на положительный коэффициент масштабирует как центр, так и разброс. Для нормального распределения среднее арифметическое находится в симметричном центре; приблизительно 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения, а 95% — в пределах двух. Эти приближения относятся к заявленной модели нормального распределения, а не ко всем vaguely симметричным выборкам.
Точечная диаграмма связывает количественные измерения. Аппроксимирующая линия предсказывает ответ; остаток равен наблюдаемому значению минус предсказанное. Двустолбцовая таблица вместо этого сравнивает категории и условные доли. Тенденция может демонстрировать ассоциацию без доказательства причинности, поскольку другие переменные или особенности отбора могут объяснить эту связь.
Аппроксимирующую линию следует проводить по основному тренду, не соединяя каждую точку. Опишите направление, форму и необычные точки. Интерполяция внутри наблюдаемого диапазона обоснованнее, чем дальняя экстраполяция. Изменения графической шкалы могут сделать неизменную зависимость визуально более сильной или слабой, поэтому читайте фактические координаты и оси.
Частота отражает количество повторений наблюдений. Значения 1, 3, 7 с частотами 2, 1, 1 представляют четыре наблюдения: 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. Медиана равна $(1+3)/2=2$; она может не совпадать со средним значением.
Разобранное решение. Распределение оценок по нормальной модели со средним значением 50 и стандартным отклонением 5 содержит примерно 68% между 45 и 55, а также около 95% между 40 и 60. Прибавление 10 смещает среднее значение до 60, но сохраняет стандартное отклонение на уровне 5. Для функции y=2x+4 при x=3 прогнозируемое значение y равно 10; наблюдаемое значение 12 даёт остаток +2. Это гипотетические обучающие модели.
Практический материал
Каждый тренировочный вопрос ниже содержит все необходимые данные.
Тренировка с рассуждениями
Практика 1
Нормальная модель имеет среднее арифметическое 80 и стандартное отклонение 6. Укажите приблизительные центральные интервалы для 68% и 95%. Каждое значение преобразовано в $z=2x+5$; укажите преобразованное среднее арифметическое и стандартное отклонение.
Обоснование. Согласно заданной нормальной модели, примерно 68% значений лежат в диапазоне 74–86, а 95% — в диапазоне 68–92. Трансформированное среднее значение равно $2(80)+5=165$, стандартное отклонение — $2(6)=12$. Это доли модели, а не гарантии для конечной выборки.
Практика 2
Аппроксимирующая модель равна $y=4x+3$. При наблюдаемом значении $x=5$ результат составляет $y=20$. Найдите предсказанный выход и остаток. Может ли положительный наклон сам по себе доказать причинность?
Обоснование. Прогноз составляет $4(5)+3=23$. Остаток равен $e=y_{obs}-y_{pred}=20-23=-3$. Положительный наклон указывает на связь в рамках аппроксимации; конфаундинг или отбор данных могут объяснить эту зависимость без прямой причинно-следственной связи.
Практика 3
Данные представлены в виде 2,4,4,6,9,11,12,16. Используя медианы нижней и верхней половин, найдите пятичисловую сводку и межквартильный размах. Какой тип диаграммы сохраняет эту сводку: диаграмма размаха, столбчатая диаграмма категорий или точечная диаграмма?
Обоснование. Медиана $Q_2=(6+9)/2=7.5$. Нижняя половина 2,4,4,6 содержит ⟨$Q_1=4$⟩; верхняя половина 9,11,12,16 содержит ⟨$Q_3=11.5$⟩. Пятизначная сводка включает значения $(2,4,7.5,11.5,16)$ и $IQR=Q_3-Q_1=7.5$. Ящик с усами отображает эти данные. Столбчатая диаграмма для категорий сравнивает категориальные частоты; точечная диаграмма требует парных количественных измерений. Ни одна из них напрямую не отображает данную одновариантную пятизначную сводку. Указанная конвенция квартилей предотвращает разногласия с другими допустимыми методами расчёта квартилей.
Тренировка 4
Гипотетическая гистограмма имеет интервалы одинаковой ширины [0,10), [10,20), [20,30] с частотами 2,6,2. Укажите долю значений ниже 20 и определяется ли точное среднее арифметическое. Точечная диаграмма часов и выпуска растет по изогнутому тренду с одним высоким выбросом: объясните, почему прямая линия, проходящая через каждую точку, является неподходящей.
Обоснование. Ниже значения 20 находятся ⟨2⟩+6=8 из 10 наблюдений, что составляет 80%. Точные наблюдения внутри интервалов неизвестны, поэтому точное среднее значение определить нельзя; оценки по серединам классов должны помечаться как приблизительные. Точечная диаграмма представляет пары данных, а подогнанная функция должна описывать основную форму графика с учётом необычной точки. Соединение каждой отдельной точки создаёт искусственный путь между независимыми случаями и игнорирует криволинейный тренд. Перед аппроксимацией или экстраполяцией необходимо изучить реальные шкалы осей и наличие выбросов.
Ограничения и дальнейшее применение
Не используйте проценты нормального распределения без выполнения условия нормальности и не интерпретируйте наклон точечной диаграммы как автоматический причинный эффект.
Это оригинальные практические задания, написанные специально для данного курса, а не официальные экзаменационные вопросы.