Exact values, graphs and trig equations · Valores exatos, gráficos e equações trigonométricas
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|---|---|
| exact values/eɡˈzækt ˈvæljuːz/ | valores exatos |
| trig graphs/trɪɡ ɡræfz/ | gráficos trigonométricos |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | assíntotas |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | simetria |
The values you must know by heart
- Some trig values are so important that you need them without a calculator. They come from two special right triangles: the $45$-$45$-$90$ and the $30$-$60$-$90$.
Os valores que você deve saber de cor
- Alguns valores trigonométricos são tão importantes que você precisa deles sem calculadora. Eles vêm de dois triângulos retângulos especiais: o $45$-$45$-$90$ e o $30$-$60$-$90$.
The exact values 精确值 table
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | undefined |
Memory trick for sine: $0, 1, 2, 3, 4$ under the root and over $2$: $\;\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. Cosine is the reverse.
A Ferris wheel: a point on the rim traces a sine curve
Tabela de valores exatos
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | indefinido |
Dica de memória para seno: $0, 1, 2, 3, 4$ sob a raiz e sobre $2$: $\;\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. Cosseno é o inverso.
Uma roda-gigante: um ponto na borda traça uma curva senoidal
Trig graphs & equations · Gráficos e equações trigonométricas
(cos θ, sin θ)
As θ turns, sin · seno and · e cos trace their waves — and repeat every 360°. · À medida que θ gira, sin · seno e cos traçam suas ondas — e repetem a cada 360°.
What is the exact value of sin 30°? (as a decimal) · Qual é o valor exato de sin 30°? (como decimal)
sin 30° = 1/2 = 0.5. · sin 30° = 1/2 = 0,5.
What is the exact value of tan 45°? · Qual é o valor exato de tan 45°?
tan 45° = 1 (opposite = adjacent in a 45-45-90 triangle). · tan 45° = 1 (oposto = adjacente em um triângulo 45-45-90).
cos 60° = 1/2.
cos 60° = 1/2 is one of the key exact values to memorise. · cos 60° = 1/2 é um dos valores exatos-chave para decorar.
Trig graphs 三角函数图
- $y = \sin x$ and $y = \cos x$ are waves oscillating between $-1$ and $1$.
- $y = \tan x$ repeats every $180^{\circ}$ and has vertical asymptotes 渐近线 at $90^{\circ}$ and $270^{\circ}$.
Trig graphs are waves — sine and cosine oscillate between $-1$ and $1$, tangent repeats every $180^{\circ}$.
Two solutions. A trig equation usually has two answers in $0^{\circ}$–$360^{\circ}$. For $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $x = 60^{\circ}$ or $x = 180 - 60 = 120^{\circ}$. Don't forget the second answer.
Gráficos trigonométricos
- $y = \sin x$ e $y = \cos x$ são ondas oscilando entre $-1$ e $1$.
- $y = \tan x$ repete-se a cada $180^{\circ}$ e possui assíntotas verticais em $90^{\circ}$ e $270^{\circ}$.
Gráficos trigonométricos são ondas — seno e cosseno oscilam entre $-1$ e $1$, tangente repete-se a cada $180^{\circ}$.
Duas soluções. Uma equação trigonométrica geralmente tem duas respostas em $0^{\circ}$–$360^{\circ}$. Para $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $x = 60^{\circ}$ ou $x = 180 - 60 = 120^{\circ}$. Não esqueça a segunda resposta.
Solving trig equations
- Find the first solution using the inverse function.
- Use the graph's symmetry 对称 to find the second:
- For a positive sine value in $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, the second solution is $180^{\circ}-x$; for negative values use the lower-half graph.
- $\cos x = k$: second solution is $360^{\circ} - x$.
The two special triangles give the exact values: the $45^\circ$ triangle and the $30^\circ$-$60^\circ$ triangle
Resolvendo equações trigonométricas
- Encontre a primeira solução usando a função inversa.
- Use a simetria do gráfico para encontrar a segunda solução:
- Para um valor positivo de seno em $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, a segunda solução é $180^{\circ}-x$; para valores negativos, use o gráfico inferior.
- $\cos x = k$: segunda solução é $360^{\circ} - x$.
Os dois triângulos especiais fornecem os valores exatos: o triângulo $45^\circ$ e o triângulo $30^\circ$-$60^\circ$
Solve sin x = √3/2 for 0–360°. One answer is 60°. What is the other (degrees)? · Resolva sin x = √3/2 para 0–360°. Uma resposta é 60°. Qual é a outra (graus)?
The sine wave is symmetric about 90°: 180 − 60 = 120°. · A onda senoidal é simétrica em torno de 90°: 180 − 60 = 120°.
Solve 2cos x + 1 = 0 for 0–360°. One answer is 120°. What is the other (degrees)? · Resolva 2cos x + 1 = 0 para 0–360°. Uma resposta é 120°. Qual é a outra (graus)?
cos x = −1/2 gives x = 120° or 360 − 120 = 240°. · cos x = −1/2 dá x = 120° ou 360 − 120 = 240°.
If sin x = k has one answer x = 40°, the second answer is 180 − ______ = ______°. · Se sin x = k tem uma resposta x = 40°, a segunda resposta é 180 − ______ = ______°.
The second sine solution is 180° − 40° = 140°. · A segunda solução do seno é 180° − 40° = 140°.
Worked examples
- $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 60^{\circ}$ or $120^{\circ}$.
- $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 120^{\circ}$ or $240^{\circ}$.
Exemplos resolvidos
- $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 60^{\circ}$ ou $120^{\circ}$.
- $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 120^{\circ}$ ou $240^{\circ}$.
Negative trig values and tangent equations
- In $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, $\sin x=-1/2$ is negative below the horizontal axis: $x=210^{\circ},330^{\circ}$. A calculator value $-30^{\circ}$ must be replaced by its equivalent $330^{\circ}$ inside the required interval.
- Tangent repeats after $180^{\circ}$: $\tan x=1$ gives $x=45^{\circ},225^{\circ}$ in this interval. At $0$, $90$, $180$, $270$, $360^{\circ}$ check endpoints and undefined values rather than assuming every equation has exactly two solutions.
Valores negativos de trigonometria e equações de tangente
- Em $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, $\sin x=-1/2$ é negativo abaixo do eixo horizontal: $x=210^{\circ},330^{\circ}$. Um valor obtido na calculadora $-30^{\circ}$ deve ser substituído pelo seu equivalente $330^{\circ}$ dentro do intervalo exigido.
- A tangente repete-se a cada $180^{\circ}$: $\tan x=1$ fornece $x=45^{\circ},225^{\circ}$ neste intervalo. Em $0$, $90$, $180$, $270$ e $360^{\circ}$, verifique os pontos extremos e valores indefinidos em vez de assumir que toda equação tem exatamente duas soluções.
Find the smaller solution of sin x = −1/2 for 0° ≤ x < 360°. · Encontre a solução menor de sin x = −1/2 para 0° ≤ x < 360°.
Sine is negative in quadrants III and IV; the solutions are 210° and 330°. · O seno é negativo nos quadrantes III e IV; as soluções são 210° e 330°.
You've got it
- know the exact values: $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\tan 45^{\circ} = 1$
- sine and cosine waves run between $-1$ and $1$
- a trig equation usually has two answers in $0^{\circ}$–$360^{\circ}$
Entendeu?
- conheça os valores exatos: $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\tan 45^{\circ} = 1$
- ondas de seno e cosseno correm entre $-1$ e $1$
- uma equação trigonométrica geralmente tem duas respostas em $0^{\circ}$–$360^{\circ}$