The sine and cosine rules · As leis do seno e do cosseno
| English | Português |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | regra do seno |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | regra do cosseno |
| included angle/ɪnˈkluːdɪd ˈæŋɡl/ | ângulo incluído |
When the triangle isn't right-angled
- Pythagoras and SOH-CAH-TOA only work for right-angled triangles.
- For any other triangle, you need the sine rule 正弦定理 or the cosine rule 余弦定理.
Quando o triângulo não é retângulo
- Pitágoras e SOH-CAH-TOA só funcionam para triângulos retângulos.
- Para qualquer outro triângulo, você precisa da lei dos senos ou da lei dos cossenos.
The sine rule
- For any triangle with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$:
- Use it when you know: a side and its opposite angle, plus one other piece.
$a = 10$, $A = 30^{\circ}$, $B = 50^{\circ}$: $\;\dfrac{10}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{b}{\sin 50^{\circ}} \Rightarrow b = \dfrac{10 \sin 50^{\circ}}{0.5} = 15.3$.
$y=\sin x$ and $y=\cos x$ are smooth waves between $-1$ and $1$; cosine is sine shifted left by $90^\circ$
A lei dos senos
- Para qualquer triângulo com lados $a, b, c$ opostos a ângulos $A, B, C$:
- Use-o quando souber: um lado e seu ângulo oposto, além de outra peça.
$a = 10$, $A = 30^{\circ}$, $B = 50^{\circ}$: $\;\dfrac{10}{\sin 30^{\circ}} = \dfrac{b}{\sin 50^{\circ}} \Rightarrow b = \dfrac{10 \sin 50^{\circ}}{0.5} = 15.3$.
$y=\sin x$ e $y=\cos x$ são ondas suaves entre $-1$ e $1$; cosseno é seno deslocado para a esquerda por $90^\circ$
Sine & cosine rule · Lei do Seno & Lei do Cosseno
Two sides and the angle between them fix the triangle: the cosine rule finds the third side, the sine rule the other angles. · Dois lados e o ângulo entre eles fixam o triângulo: a lei do cosseno encontra o terceiro lado, a lei do seno os outros ângulos.
What sin and cos mean · O que sin e cos significam
Spin the angle on the unit circle: the horizontal leg is cos θ and the vertical leg is sin θ — the same ratios the sine and cosine rules use. · Gire o ângulo na circunferência unitária: o cateto horizontal é cos θ e o cateto vertical é sin θ — as mesmas razões que as leis do seno e do cosseno usam.
You know all three sides and want an angle. Which rule do you use? · Você conhece os três lados e quer um ângulo. Qual regra você usa?
With three sides (or two sides and the included angle), use the cosine rule. · Com três lados (ou dois lados e o ângulo incluído), use a regra do cosseno.
The sine rule requires a side and its opposite angle to be known. · A regra do seno exige que se conheça um lado e seu ângulo oposto.
You need at least one side paired with its opposite angle to apply the sine rule. · Você precisa ter pelo menos um lado pareado com seu ângulo oposto para aplicar a regra do seno.
In a triangle, a = 10, A = 30°, B = 50°. Using the sine rule, b = 10 sin 50° / sin 30°. Find b (1 dp). · Em um triângulo, a = 10, A = 30°, B = 50°. Usando a regra do seno, b = 10 sin 50° / sin 30°. Encontre b (1 casa decimal).
b = 10 × sin 50° / 0.5 = 10 × 0.766 / 0.5 = 15.3.
The cosine rule
- Use it when you know: two sides and the included angle 夹角 (to find the third side), or all three sides (to find an angle).
Included angle only. The angle $A$ in the cosine rule must be the angle between sides $b$ and $c$. If it's not the included angle, the formula doesn't apply directly.
In any triangle, sides $a,b,c$ lie opposite angles $A,B,C$; the sine and cosine rules use these
A lei dos cossenos
- Use-a quando souber: dois lados e o ângulo compreendido (para encontrar o terceiro lado) ou os três lados (para encontrar um ângulo).
Só ângulo incluído. O ângulo $A$ na lei dos cossenos deve ser o ângulo entre os lados $b$ e $c$. Se não for o ângulo incluído, a fórmula não se aplica diretamente.
Em qualquer triângulo, lados $a,b,c$ ficam opostos a ângulos $A,B,C$; as leis dos senos e cossenos usam estas
A triangle has b = 7, c = 8 and the angle between them A = 40°. Using a² = 49 + 64 − 2(7)(8)cos40° ≈ 27.2, find a (1 dp). · Um triângulo tem b = 7, c = 8 e o ângulo entre eles A = 40°. Usando a² = 49 + 64 − 2(7)(8)cos40° ≈ 27.2, encontre a (1 casa decimal).
a = √27.2 ≈ 5.2 cm.
In the cosine rule a² = b² + c² − 2bc cos A, the angle A must be the ______ angle between sides b and c. · Na regra do cosseno a² = b² + c² − 2bc cos A, o ângulo A deve ser o ângulo ______ entre os lados b e c.
A must be the included angle (the angle between sides b and c). · A deve ser o ângulo incluído (o ângulo entre os lados b e c).
Area of any triangle
- This works for any triangle (not just right-angled ones), using two sides and the included angle.
Área de qualquer triângulo
- Isso funciona para qualquer triângulo (não apenas retângulos), usando dois lados e o ângulo incluído.
The area of any triangle (two sides a, b with angle C between them) is: · A área de qualquer triângulo (dois lados a, b com ângulo C entre eles) é:
Area = ½ab sin C uses two sides and the included angle. · Área = ½ab sin C usa dois lados e o ângulo incluído.
Worked example
- $b = 7$, $c = 8$, included angle $A = 40^{\circ}$.
- $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, so $a = 5.2$ cm.
The cosine rule generalises Pythagoras: when $A = 90^{\circ}$, $\cos A = 0$ and you get $a^2 = b^2 + c^2$.
Exemplo resolvido
- $b = 7$, $c = 8$, ângulo incluído $A = 40^{\circ}$.
- $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, logo $a = 5.2$ cm.
A lei dos cossenos generaliza Pitágoras: quando $A = 90^{\circ}$, $\cos A = 0$ e você obtém $a^2 = b^2 + c^2$.
Sides a = 5, b = 7, c = 8. Find angle A opposite a, to 1 dp. · Lados a = 5, b = 7, c = 8. Encontre o ângulo A oposto a a, com 1 casas decimais.
cos A = (49+64−25)/112 = 11/14, so A ≈ 38.2°. · cos A = (49+64−25)/112 = 11/14, logo A ≈ 38.2°.
Finding an angle and checking the other possibility
- With sides $a=5,b=7,c=8$, use $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. Thus $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$.
- In a sine-rule question, $a=10,A=30^{\circ},b=12$ gives $\sin B=b\sin A/a=0.6$. Both $B\approx36.9^{\circ}$ and $143.1^{\circ}$ leave a positive third angle, so two triangles are possible. Use any extra condition, such as B being obtuse, to choose.
Encontrando um ângulo e verificando a outra possibilidade
- Com lados $a=5,b=7,c=8$, use $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. Portanto, $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$.
- Em uma questão de lei dos senos, $a=10,A=30^{\circ},b=12$ resulta em $\sin B=b\sin A/a=0.6$. Tanto $B\approx36.9^{\circ}$ quanto $143.1^{\circ}$ deixam um terceiro ângulo positivo, portanto dois triângulos são possíveis. Use qualquer condição extra, como B ser obtuso, para escolher.
Two sides 7 cm and 8 cm include 40°. Find the area to 1 dp in cm². · Dois lados 7 cm e 8 cm formam um ângulo de 40°. Encontre a área com 1 casas decimais em cm².
Area = ½ × 7 × 8 × sin 40° ≈ 18.0 cm². · Área = ½ × 7 × 8 × sin 40° ≈ 18.0 cm².
Area with an included angle
- Two sides 7 cm and 8 cm include $40^{\circ}$. Use $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$.
- The angle must lie between the two sides used. Keep degree mode and full trigonometric values until the final rounding.
Área com um ângulo incluído
- Dois lados 7 cm e 8 cm incluem $40^{\circ}$. Use $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$.
- O ângulo deve estar entre os dois lados usados. Mantenha o modo em graus e valores trigonométricos completos até o arredondamento final.
You've got it
- sine rule: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ — side + its opposite angle
- cosine rule: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ — two sides + included angle (or three sides)
- area of any triangle $= \dfrac{1}{2}ab\sin C$
Entendeu?
- lei dos senos: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ — lado + seu ângulo oposto
- lei dos cossenos: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ — dois lados + ângulo incluído (ou três lados)
- área de qualquer triângulo $= \dfrac{1}{2}ab\sin C$