Logarithmic Functions · Funções Logarítmicas
| English | Português |
|---|---|
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | função logarítmica |
| base/beɪs/ | fundamentais |
| domain/dəˈmeɪn/ | domínio |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota vertical |
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | comportamento final |
The slow-and-steady curve
- The exponential rockets upward; its mirror, the logarithm, does the opposite.
- A logarithm rises forever but slower and slower, never flattening to a stop.
- It clings to the y-axis on the left and creeps upward on the right.
- This gentle shape models sound loudness, acidity, and the "feel" of big numbers.
A curva lenta e constante
- A exponencial dispara para cima; seu espelho, o logaritmo, faz o oposto.
- Um logaritmo sobe para sempre, mas cada vez mais devagar, nunca aplanando até parar.
- Ele se agarra ao eixo y à esquerda e rasteja para cima à direita.
- Essa forma suave modela o volume sonoro, acidez e a "sensação" de números grandes.
The graph of a logarithm
- A logarithmic function 对数函数 is $f(x) = \log_b x$, the inverse of $b^x$.
- Its graph passes through $(1, 0)$, since $\log_b 1 = 0$ for every base.
- To the right of $1$ it is positive; between $0$ and $1$ it is negative.
- Read the shape as the exponential's reflection across $y = x$.
O gráfico de um logaritmo
- Uma função logarítmica 对数函数 é $f(x) = \log_b x$, o inverso de $b^x$.
- Seu gráfico passa por $(1, 0)$, já que $\log_b 1 = 0$ para toda base.
- À direita de $1$ ela é positiva; entre $0$ e $1$ é negativa.
- Leia a forma como o reflexo da exponencial através de $y = x$.
Shape the logarithmic curve · Dar forma à curva logarítmica
y = a·log(x − b) + c
This log curve climbs slowly and clings to the y-axis. It exists only for x greater than its vertical asymptote. · Esta curva log sobe lentamente e adere ao eixo y. Ela existe apenas para x maior que sua assíntota vertical.
Domain and vertical asymptote
- The domain 定义域 is $x > 0$ — you cannot take the log of zero or a negative.
- As $x \to 0^+$, the output plunges to $-\infty$: a vertical asymptote 竖直渐近线 at $x = 0$.
- The graph never touches the y-axis, only hugs it more and more tightly.
- Its range, by contrast, is all real numbers.
Domínio e assíntota vertical
- O domínio 定义域 é $x > 0$ — você não pode tirar o logaritmo de zero ou de algo negativo.
- Quando $x \to 0^+$, a saída mergulha para $-\infty$: uma assíntota vertical 竖直渐近线 em $x = 0$.
- O gráfico nunca toca o eixo y, apenas o abraça cada vez mais apertado.
- Sua imagem, por outro lado, são todos os números reais.
The domain of $f(x) = \log_b x$ is… · O domínio de $f(x) = \log_b x$ é…
You can only take the log of a positive number, so the domain is $x > 0$. · Você só pode tirar o log de um número positivo, então o domínio é $x > 0$.
A logarithmic function has a ____ asymptote at $x = 0$. · Uma função logarítmica possui uma ____ assíntota em $x = 0$.
As $x \to 0^+$ the output dives to $-\infty$, so $x = 0$ is a vertical asymptote. · Quando $x \to 0^+$, a saída mergulha em $-\infty$, então $x = 0$ é uma assíntota vertical.
The graph of $y = \log_b x$ crosses the x-axis at… · O gráfico de $y = \log_b x$ cruza o eixo x em…
Since $b^0 = 1$, we have $\log_b 1 = 0$: the x-intercept is always at $x = 1$. · Como $b^0 = 1$, temos $\log_b 1 = 0$: o intercepto x é sempre em $x = 1$.
Select all · todos true statements about $y = \log_b x$ (with $b > 1$). · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre $y = \log_b x$ (com $b > 1$).
It rises without bound, so it has no maximum. The other three are correct. · Ela cresce sem limite, então não possui máximo. As outras três estão corretas.
The base sets the direction
- If the base 底数 $b > 1$, the log function is increasing (slowly rising).
- If $0 < b < 1$, it is decreasing instead.
- A bigger base makes the curve climb even more gently.
- Whatever the base, the curve still passes through $(1, 0)$ and has the same asymptote.
A base define a direção
- Se a base 底数 $b > 1$, a função logarítmica é crescente (subindo lentamente).
- Se $0 < b < 1$, ela é decrescente.
- Uma base maior faz a curva subir ainda mais suavemente.
- Independentemente da base, a curva ainda passa por $(1, 0)$ e tem a mesma assíntota.
A logarithmic function keeps increasing forever, but more and more slowly. · Uma função logarítmica continua aumentando para sempre, mas cada vez mais lentamente.
It rises without bound as $x \to \infty$, yet its slope flattens — the opposite of exponential speed-up. · Ela cresce sem limite quando $x \to \infty$, porém sua inclinação se achatou — o oposto do aumento de velocidade exponencial.
End behavior: unbounded but slow
- As $x \to \infty$, the end behavior 末端行为 is $\log_b x \to \infty$ — it never levels off.
- But it grows so slowly that reaching $y = 10$ can take an enormous $x$.
- Compared with an exponential's explosion, the logarithm barely moves.
- That is exactly why logs are used to compress huge ranges of numbers.
Comportamento assintótico: ilimitado, mas lento
- Quando $x \to \infty$, o comportamento assintótico 末端行为 é $\log_b x \to \infty$ — ele nunca se aplaina.
- Mas cresce tão devagar que alcançar $y = 10$ pode levar um enorme $x$.
- Comparado com a explosão de uma exponencial, o logaritmo mal se move.
- É exatamente por isso que logaritmos são usados para comprimir faixas imensas de números.
A logarithm's slow growth is not the same as "having a ceiling". It keeps rising forever — there is no horizontal asymptote and no maximum. It just takes longer and longer to climb each additional unit.
O crescimento lento de um logaritmo não é o mesmo que "ter um teto". Ele continua subindo para sempre — não há assíntota horizontal nem máximo. Leva apenas cada vez mais tempo para subir cada unidade adicional.
Describe $y = \log_2 x$ at a few points.
- $\log_2 1 = 0$ (the x-intercept), $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$.
- To gain each $+1$ in output, the input must double — growth is slowing.
- Near $x = 0$ the curve dives down the vertical asymptote toward $-\infty$.
Descreva $y = \log_2 x$ em alguns pontos.
- $\log_2 1 = 0$ (intercepto x), $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$.
- Para ganhar cada $+1$ na saída, a entrada deve dobrar — o crescimento está desacelerando.
- Perto de $x = 0$ a curva mergulha pela assíntota vertical em direção a $-\infty$.
A logarithmic function $\log_b x$ has domain $x > 0$, a vertical asymptote at $x = 0$, and passes through $(1, 0)$. The base decides increasing vs decreasing, and its end behavior is unbounded but ever-slowing growth — the mirror of an exponential.
Uma função logarítmica $\log_b x$ tem domínio $x > 0$, uma assíntota vertical em $x = 0$, e passa por $(1, 0)$. A base decide entre crescente e decrescente, e seu comportamento assintótico é crescimento ilimitado, mas cada vez mais lento — o espelho de uma exponencial.