Manipulating Logarithmic Expressions · Manipulação de Expressões Logarítmicas
| English | Português |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | regra do quociente |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | regra do produto |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | regra da potência |
| change-of-base/tʃeɪndʒ ɒv beɪs/ | mudança de base |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | equivalente |
Turning products into sums
- Before calculators, people multiplied huge numbers by adding their logarithms.
- That magic works because a log turns multiplication into addition.
- Three simple laws let you expand, condense, or re-base any log expression.
- They are just the exponent rules, viewed through the log's mirror.
Transformando produtos em somas
- Antes das calculadoras, as pessoas multiplicavam números enormes somando seus logaritmos.
- Essa magia funciona porque um logaritmo transforma multiplicação em adição.
- Três leis simples permitem expandir, condensar ou rebasear qualquer expressão logarítmica.
- Elas são apenas as regras dos expoentes, vistas através do espelho do logaritmo.
Product and quotient rules
- The product rule 乘法法则 splits a product: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
- The quotient rule 除法法则 splits a quotient: $\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
- Multiplication inside becomes addition outside; division becomes subtraction.
- These mirror "multiply powers → add exponents" and "divide → subtract".
Regras do produto e quociente
- A lei do produto 乘法法则 divide um produto: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
- A lei do quociente 除法法则 divide um quociente: $\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
- Multiplicação dentro vira adição fora; divisão vira subtração.
- Elas refletem "multiplicar potências → somar expoentes" e "dividir → subtrair".
The logarithm behind the laws · O logaritmo por trás das leis
y = a·log(x − b) + c
These laws come from the exponent rules in reverse. Explore the log curve whose algebra they describe. · Essas leis vêm das regras de expoentes ao contrário. Explore a curva log cuja álgebra elas descrevem.
The · A product rule for logs says $\log_b(xy) =$ · A lei do produto para logs diz $\log_b(xy) =$
A log of a product is a sum · soma of logs — the mirror of "multiplying powers adds exponents". · O log de um produto é uma soma de logs — o espelho de "multiplicar potências soma expoentes".
The · A quotient rule says $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$. · A regra do quociente diz $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
A log of a quotient is a difference of logs — the mirror of "dividing powers subtracts exponents". · O log de um quociente é uma diferença de logs — o espelho de "dividir potências subtrai expoentes".
The power rule
- The power rule 幂法则 brings an exponent out front: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
- So $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$.
- A power buried inside a log becomes a simple multiplier.
- Together, the three rules can fully expand or condense a log expression.
A regra da potência
- A lei da potência 幂法则 traz um expoente para frente: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
- Então $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$.
- Uma potência embutida dentro de um logaritmo vira um multiplicador simples.
- Juntas, as três leis podem expandir ou condensar completamente uma expressão logarítmica.
The · A power rule for logs says $\log_b(x^n) =$ · A lei da potência para logs diz $\log_b(x^n) =$
A power inside a log comes out front as a multiplier: $\log_b(x^n) = n\log_b x$. · Uma potência dentro de um log sai na frente como multiplicador: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
Change of base
- Calculators only have $\log$ (base 10) and $\ln$ (base $e$) buttons.
- The change-of-base 换底 formula handles any other base: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$.
- So $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$.
- Pick whichever base your tools support, then divide.
Mudança de base
- Calculadoras só têm botões para $\log$ (base 10) e $\ln$ (base $e$).
- A fórmula de mudança de base 换底 lida com qualquer outra base: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$.
- Então $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$.
- Escolha a base que suas ferramentas suportam, depois divida.
The ____ formula lets you compute $\log_2 7$ as $\dfrac{\log 7}{\log 2}$ on a calculator. · A fórmula ____ permite calcular $\log_2 7$ como $\dfrac{\log 7}{\log 2}$ em uma calculadora.
The · A change-of-base formula $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$ works with any convenient base. · A fórmula de mudança de base $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$ funciona com qualquer base conveniente.
Expand and condense
- Expanding uses the rules left-to-right to break one log into many.
- Condensing runs them right-to-left to combine many logs into one.
- Two expressions are equivalent 等价 if the rules convert one into the other.
- Choose the form that best fits the problem — solving usually wants a single log.
Expandir e condensar
- Expandir usa as regras da esquerda para a direita para quebrar um logaritmo em vários.
- Condensar as executa da direita para a esquerda para combinar vários logaritmos em um.
- Duas expressões são equivalentes 等价 se as regras convertem uma na outra.
- Escolha a forma que melhor se adapta ao problema — resolver geralmente quer um único logaritmo.
Select all · todos correct log laws. · Selecione todas as leis de log corretas.
There is no · nenhuma rule for $\log(x+y)$ — the laws apply to products, quotients, and powers, not sums. The other three are correct. · Não há nenhuma regra para $\log(x+y)$ — as leis aplicam-se a produtos, quocientes e potências, não a somas. As outras três estão corretas.
There is no rule for the log of a sum: $\log(x + y)$ does not equal $\log x + \log y$. The laws only apply to products, quotients, and powers inside the log. Splitting a sum is one of the most common log mistakes.
Não há nenhuma regra para o logaritmo de uma soma: $\log(x + y)$ não é igual a $\log x + \log y$. As leis só se aplicam a produtos, quocientes e potências dentro do logaritmo. Dividir uma soma é um dos erros mais comuns de logaritmo.
Condense $2\log x + \log y - \log z$ into one logarithm.
- Power rule: $2\log x = \log x^2$.
- Product then quotient: $\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$.
- One clean logarithm, ready to solve or evaluate.
Condense $2\log x + \log y - \log z$ em um único logaritmo.
- Lei da potência: $2\log x = \log x^2$.
- Produto depois quociente: $\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$.
- Um único logaritmo limpo, pronto para resolver ou avaliar.
The log laws mirror the exponent rules: the product rule makes a sum, the quotient rule a difference, and the power rule a multiplier. The change-of-base formula evaluates any base with a calculator, and the rules show when two forms are equivalent — but never split $\log(x+y)$.
As leis do logaritmo refletem as regras dos expoentes: a lei do produto cria uma soma, a lei do quociente uma diferença, e a lei da potência um multiplicador. A fórmula de mudança de base avalia qualquer base com uma calculadora, e as leis mostram quando duas formas são equivalentes — mas nunca dividam $\log(x+y)$.