Funções Exponenciais e Logarítmicas

Objetivo de Aprendizagem 2.1.A: Expressar sequências aritméticas encontradas em cenários matemáticos e contextuais como funções dos números inteiros.

• 2.1.A.1 Uma sequência é uma função dos números inteiros para os números reais. Consequentemente, o gráfico de uma sequência consiste em pontos discretos em vez de uma curva.
• 2.1.A.2 Termos sucessivos em uma sequência aritmética têm uma diferença comum, ou taxa de variação constante.
• 2.1.A.3 O termo geral de uma sequência aritmética com diferença comum $d$ é denotado por $a_n$ e é dado por $a_n = a_0 + dn$, onde $a_0$ é o valor inicial, ou por $a_n = a_k + d(n - k)$, onde $a_k$ é o ⟨$k$⟩-ésimo termo da sequência.

Objetivo de Aprendizagem 2.1.B: Expressar sequências geométricas encontradas em cenários matemáticos e contextuais como funções dos números inteiros.

• 2.1.B.1 Termos sucessivos em uma sequência geométrica têm uma razão comum, ou mudança proporcional constante.
• 2.1.B.2 O termo geral de uma sequência geométrica com razão comum $r$ é denotado por $g_n$ e é dado por $g_n = g_0 r^n$, onde $g_0$ é o valor inicial, ou por $g_n = g_k r^{(n-k)}$, onde $g_k$ é o ⟨$k$⟩-ésimo termo da sequência.
• 2.1.B.3 Sequências aritméticas crescentes aumentam igualmente a cada passo, enquanto sequências geométricas crescentes aumentam em uma quantidade maior a cada passo sucessivo.

Objetivo de Aprendizagem 2.2.A: Construir funções dos números reais que sejam comparáveis a sequências aritméticas e geométricas.

• 2.2.A.1 Funções lineares da forma $f(x) = b + mx$ são semelhantes a sequências aritméticas da forma $a_n = a_0 + dn$, pois ambas podem ser expressas como um valor inicial ($b$ ou $a_0$) mais a adição repetida de uma taxa de variação constante, a inclinação ($m$ ou $d$).
• 2.2.A.2 Semelhante às sequências aritméticas da forma $a_n = a_k + d(n - k)$, que se baseiam em uma diferença conhecida, $d$, e em um termo de ordem $k$, as funções lineares podem ser expressas na forma $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ com base em uma inclinação conhecida, $m$, e em um ponto, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Funções exponenciais da forma $f(x) = ab^x$ são semelhantes a sequências geométricas da forma $g_n = g_0 r^n$, pois ambas podem ser expressas como um valor inicial ($a$ ou $g_0$) vezes a multiplicação repetida por uma proporção constante ($b$ ou $r$).
• 2.2.A.4 Semelhante às sequências geométricas da forma $g_n = g_k r^{(n-k)}$, que se baseiam em uma razão conhecida, $r$, e em um termo de ordem $k$, as funções exponenciais podem ser expressas na forma $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ com base em uma razão conhecida, $r$, e em um ponto, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Sequências e suas funções correspondentes podem ter domínios diferentes.

Objetivo de Aprendizagem 2.3.A: Identificar características-chave das funções exponenciais.

• 2.3.A.1 A forma geral de uma função exponencial é $f(x) = ab^x$, com o valor inicial $a$, onde $a \neq 0$, e a base $b$, onde $b > 0$, e $b \neq 1$. Quando $a > 0$ e $b > 1$, diz-se que a função exponencial demonstra crescimento exponencial. Quando $a > 0$ e $0 < b < 1$, diz-se que a função exponencial demonstra decadência exponencial.
• 2.3.A.2 Quando os números naturais são valores de entrada em uma função exponencial, o valor de entrada especifica o número de fatores da base a serem aplicados ao valor inicial da função. O domínio de uma função exponencial é todos os números reais.
• 2.3.A.3 Como os valores de saída das funções exponenciais na forma geral são proporcionais em intervalos de valor de entrada de comprimento igual, as funções exponenciais estão sempre aumentando ou sempre diminuindo, e seus gráficos são sempre côncavos para cima ou sempre côncavos para baixo. Consequentemente, as funções exponenciais não têm extremos exceto em um intervalo fechado, e seus gráficos não têm pontos de inflexão.
• 2.3.A.4 Se os valores da função de transformação aditiva $g(x) = f(x) + k$ de qualquer função $f$ forem proporcionais em intervalos de valor de entrada de comprimento igual, então $f$ é exponencial.

Objetivo de Aprendizagem 2.4.A: Reescrever expressões exponenciais em formas equivalentes.

• 2.4.A.1 A propriedade do produto para expoentes afirma que $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Graficamente, essa propriedade implica que toda translação horizontal de uma função exponencial, $f(x) = b^{(x+k)}$, é equivalente a uma dilatação vertical, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, onde $a = b^k$.
• 2.4.A.2 A propriedade da potência para expoentes afirma que $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Graficamente, essa propriedade implica que toda dilatação horizontal de uma função exponencial, $f(x) = b^{(cx)}$, é equivalente a uma mudança da base de uma função exponencial, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, onde $b^c$ é uma constante e $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 A propriedade do expoente negativo afirma que $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 O valor de uma expressão exponencial envolvendo uma fração unitária exponencial, como $b^{(1/k)}$ onde $k$ é um número natural, é a raiz de ordem $k$ de $b$, quando existe.

Objetivo de Aprendizagem 2.5.A: Construir um modelo para situações envolvendo valores de saída proporcionais em intervalos de valor de entrada de comprimento igual.

• 2.5.A.1 Funções exponenciais modelam padrões de crescimento nos quais os valores de saída sucessivos em intervalos de valor de entrada de comprimento igual são proporcionais. Quando os valores de entrada são números inteiros, funções exponenciais modelam situações de multiplicação repetida de uma constante por um valor inicial.
• 2.5.A.2 Pode ser necessário adicionar uma constante aos valores da variável dependente de um conjunto de dados para revelar um padrão de crescimento proporcional.
• 2.5.A.3 Um modelo de função exponencial pode ser construído a partir de uma razão e valor inicial adequados ou de dois pares de entrada-saída. O valor inicial e a base podem ser encontrados resolvendo um sistema de equações resultante dos dois pares de entrada-saída.
• 2.5.A.4 Modelos de função exponencial podem ser construídos aplicando transformações a $f(x) = ab^x$ com base nas características de um cenário contextual ou conjunto de dados.
• 2.5.A.5 Modelos de função exponencial podem ser construídos para um conjunto de dados usando tecnologia por meio de regressão exponencial.
• 2.5.A.6 A base natural $e$, que é aproximadamente $2.718$, é frequentemente usada como base em funções exponenciais que modelam cenários contextuais.

Objetivo de Aprendizagem 2.6.A: Construir modelos lineares, quadráticos e exponenciais com base em um conjunto de dados.

• 2.6.A.1 Duas variáveis em um conjunto de dados que demonstram uma taxa de variação ligeiramente alterada podem ser modeladas por funções lineares, quadráticas e exponenciais.
• 2.6.A.2 Os modelos podem ser comparados com base em pistas contextuais e aplicabilidade para determinar qual modelo é mais apropriado.

Objetivo de Aprendizagem 2.6.B: Validar um modelo construído a partir de um conjunto de dados.

• 2.6.B.1 Um modelo é justificado como apropriado para um conjunto de dados se o gráfico dos resíduos de uma regressão, o gráfico de resíduos, aparecer sem padrão.
• 2.6.B.2 A diferença entre os valores previstos e os valores reais é o erro no modelo. Dependendo do conjunto de dados e do contexto, pode ser mais apropriado ter uma subestimação ou superestimação para qualquer intervalo dado.

Objetivo de Aprendizagem 2.7.A: Avaliar a composição de duas ou mais funções para valores dados.

• 2.7.A.1 Se $f$ e $g$ são funções, a função composta $f \circ g$ mapeia um conjunto de valores de entrada para um conjunto de valores de saída de modo que os valores de saída de $g$ são usados como valores de entrada de $f$. Por esse motivo, o domínio da função composta é restrito àqueles valores de entrada de $g$ para os quais o valor de saída correspondente está no domínio de $f$. $(f \circ g)(x)$ também pode ser representado como $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Valores para a função composta $f \circ g$ podem ser calculados ou estimados a partir das representações gráfica, numérica, analítica ou verbal de $f$ e $g$ usando valores de saída de $g$ como valores de entrada para $f$.
• 2.7.A.3 A composição de funções não é comutativa; isto é, $f \circ g$ e $g \circ f$ são tipicamente funções diferentes; portanto, $f(g(x))$ e $g(f(x))$ são tipicamente valores diferentes.
• 2.7.A.4 Se a função $f(x) = x$ for composta com qualquer função $g$, a função composta resultante será a mesma que $g$; isto é, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. A função $f(x) = x$ é chamada de função identidade. Ao compor duas funções, a função identidade atua da mesma forma que $0$, a identidade aditiva, ao somar dois números, e $1$, a identidade multiplicativa, ao multiplicar dois números.

Objetivo de Aprendizagem 2.7.B: Construir uma representação da composição de duas ou mais funções.

• 2.7.B.1 A composição de funções é útil para relacionar duas quantidades que não estão diretamente relacionadas por uma fórmula existente.
• 2.7.B.2 Quando as representações analíticas das funções $f$ e $g$ estiverem disponíveis, uma representação analítica de $f(g(x))$ pode ser construída substituindo $g(x)$ por cada instância de $x$ em $f$.
• 2.7.B.3 Uma representação numérica ou gráfica de $f \circ g$ pode ser frequentemente construída calculando ou estimando valores para $(x, f(g(x)))$.

Objetivo de Aprendizagem 2.7.C: Reescrever uma função dada como uma composição de duas ou mais funções.

• 2.7.C.1 Funções dadas analiticamente podem frequentemente ser decompostas em funções menos complexas. Quando devidamente decomposta, a variável em uma função deve substituir cada instância da função com a qual foi composta.
• 2.7.C.2 Uma transformação aditiva de uma função, $f$, que resulta em translações verticais e horizontais pode ser compreendida como a composição de $g(x) = x + k$ com $f$.
• 2.7.C.3 Uma transformação multiplicativa de uma função, $f$, que resulta em dilatações verticais e horizontais pode ser compreendida como a composição de $g(x) = kx$ com $f$.

Objetivo de Aprendizagem 2.8.A: Determinar os pares de entrada-saída da inversa de uma função.

• 2.8.A.1 Em um domínio especificado, uma função, $f$, possui uma função inversa, ou é invertível, se cada valor de saída de $f$ for mapeado a partir de um valor de entrada único. O domínio de uma função pode ser restringido de muitas maneiras para tornar a função invertível.
• 2.8.A.2 Uma função inversa pode ser pensada como um mapeamento reverso da função. Uma função inversa, $f^{-1}$, mapeia os valores de saída de uma função, $f$, em seu domínio invertível para seus respectivos valores de entrada; isto é, se $f(a) = b$, então $f^{-1}(b) = a$. Alternativamente, em seu domínio invertível, se uma função consiste em pares de entrada-saída $(a, b)$, então a função inversa consiste em pares de entrada-saída $(b, a)$.

Objetivo de Aprendizagem 2.8.B: Determinar a inversa de uma função em um domínio invertível.

• 2.8.B.1 A composição de uma função, $f$, e sua função inversa, $f^{-1}$, é a função identidade; isto é, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 No domínio invertível de uma função, o contradomínio e o domínio da função são, respectivamente, o domínio e o contradomínio da função inversa. A inversa da tabela de valores de $y = f(x)$ pode ser encontrada invertendo os pares de entrada-saída; isto é, $(a, b)$ corresponde a $(b, a)$.
• 2.8.B.3 A inversa do gráfico da função $y = f(x)$ pode ser encontrada invertendo os papéis dos eixos $x$ e $y$; isto é, refletindo o gráfico da função sobre o gráfico da função identidade $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 A inversa da função pode ser encontrada determinando as operações inversas para reverter o mapeamento. Um método para encontrar a inversa da função $f$ é inverter os papéis de $x$ e $y$ na equação $y = f(x)$, e então resolver para $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 Além de limitar o domínio de uma função para obter uma função inversa, restrições contextuais também podem limitar a aplicabilidade de uma função inversa.

Objetivo de Aprendizagem 2.9.A: Avaliar expressões logarítmicas.

• 2.9.A.1 A expressão logarítmica $\log_b c$ é igual a, ou representa, o valor pelo qual a base $b$ deve ser elevada exponencialmente para obter o valor $c$. Ou seja, $\log_b c = a$ se e somente se $b^a = c$, onde $a$ e $c$ são constantes, $b > 0$, e $b \neq 1$. (quando a base de uma expressão logarítmica não é especificada, entende-se como o logaritmo comum com base de $10$)
• 2.9.A.2 Os valores de algumas expressões logarítmicas são facilmente acessíveis através de aritmética básica, enquanto outros valores podem ser estimados através do uso de tecnologia.
• 2.9.A.3 Em uma escala logarítmica, cada unidade representa uma mudança multiplicativa da base do logaritmo. Por exemplo, em uma escala padrão, as unidades podem ser $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, enquanto em uma escala logarítmica, usando logaritmo de base $10$, as unidades podem ser $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Objetivo de Aprendizagem 2.10.A: Construir representações da inversa de uma função exponencial com valor inicial de 1.

• 2.10.A.1 A forma geral de uma função logarítmica é $f(x) = a\log_b x$, com base $b$, onde $b > 0$, $b \neq 1$ e $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 A maneira como os valores de entrada e saída variam juntos tem uma relação inversa em funções exponenciais e logarítmicas. Os valores de saída de funções exponenciais de forma geral mudam proporcionalmente à medida que os valores de entrada aumentam em intervalos de comprimento igual. No entanto, os valores de entrada de funções logarítmicas de forma geral mudam proporcionalmente à medida que os valores de saída aumentam em intervalos de comprimento igual. Alternativamente, o crescimento exponencial é caracterizado por valores de saída mudando multiplicativamente à medida que os valores de entrada mudam aditivamente, enquanto o crescimento logarítmico é caracterizado por valores de saída mudando aditivamente à medida que os valores de entrada mudam multiplicativamente.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ e $g(x) = b^x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$, são funções inversas. Ou seja, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 O gráfico da função logarítmica $f(x) = \log_b x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$, é um reflexo do gráfico da função exponencial $g(x) = b^x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$, sobre o gráfico da função identidade $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Se $(s, \; t)$ é um par ordenado da função exponencial $g(x) = b^x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$, então $(t, \; s)$ é um par ordenado da função logarítmica $f(x) = \log_b x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$.

Objetivo de Aprendizagem 2.11.A: Identificar características-chave das funções logarítmicas.

• 2.11.A.1 O domínio de uma função logarítmica na forma geral é qualquer número real maior que zero, e sua imagem é todos os números reais.
• 2.11.A.2 Como as funções logarítmicas são inversas das funções exponenciais, as funções logarítmicas também são sempre crescentes ou sempre decrescentes, e seus gráficos são sempre côncavos para cima ou sempre côncavos para baixo. Consequentemente, as funções logarítmicas não têm extremos exceto em um intervalo fechado, e seus gráficos não têm pontos de inflexão.
• 2.11.A.3 A função de transformação aditiva $g(x) = f(x + k)$, onde $k \neq 0$, de uma função logarítmica $f$ na forma geral não possui valores de entrada que são proporcionais em intervalos de valor de saída de comprimento igual. No entanto, se os valores de entrada da função de transformação aditiva, $g(x) = f(x + k)$, de qualquer função $f$ forem proporcionais em intervalos de valor de saída de comprimento igual, então $f$ é logarítmica.
• 2.11.A.4 Com seu domínio limitado, as funções logarítmicas na forma geral são assintóticas verticalmente a $x = 0$, com um comportamento final ilimitado. Ou seja, para uma função logarítmica na forma geral, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ e $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Objetivo de Aprendizagem 2.12.A: Reescrever expressões logarítmicas em formas equivalentes.

• 2.12.A.1 A propriedade do produto para logaritmos afirma que $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Graficamente, essa propriedade implica que toda dilatação horizontal de uma função logarítmica, $f(x) = \log_b(kx)$, é equivalente a uma translação vertical, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, onde $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 A propriedade da potência para logaritmos afirma que $\log_b x^n = n\log_b x$. Graficamente, essa propriedade implica que elevar a entrada de uma função logarítmica a uma potência, $f(x) = \log_b x^k$, resulta em uma dilatação vertical, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 A propriedade da mudança de base para logaritmos afirma que $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, onde $a > 0$ e $a \neq 1$. Isso implica que todas as funções logarítmicas são dilatações verticais umas das outras.
• 2.12.A.4 A função $f(x) = \ln x$ é uma função logarítmica com a base natural $e$; ou seja, $\ln x = \log_e x$.

Objetivo de Aprendizagem 2.13.A: Resolver equações e inequações exponenciais e logarítmicas.

• 2.13.A.1 Propriedades dos expoentes, propriedades dos logaritmos e a relação inversa entre funções exponenciais e logarítmicas podem ser usadas para resolver equações e inequações envolvendo expoentes e logaritmos.
• 2.13.A.2 Ao resolver equações exponenciais e logarítmicas encontradas por métodos analíticos ou gráficos, os resultados devem ser examinados quanto a soluções estranhas preteridas pelas limitações matemáticas ou contextuais.
• 2.13.A.3 Os logaritmos podem ser usados para reescrever expressões envolvendo funções exponenciais de maneiras diferentes que podem revelar informações úteis. Especificamente, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Objetivo de Aprendizagem 2.13.B: Construir a função inversa para funções exponenciais e logarítmicas.

• 2.13.B.1 A função $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ é uma combinação de transformações aditivas de uma função exponencial na forma geral. O inverso de $y = f(x)$ pode ser encontrado determinando as operações inversas para reverter o mapeamento.
• 2.13.B.2 A função $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ é uma combinação de transformações aditivas de uma função logarítmica na forma geral. A inversa de $y = f(x)$ pode ser encontrada determinando as operações inversas para inverter o mapeamento.

Objetivo de Aprendizagem 2.14.A: Construir um modelo de função logarítmica.

• 2.14.A.1 As funções logarítmicas são inversas das funções exponenciais e podem ser usadas para modelar situações envolvendo crescimento proporcional, ou multiplicação repetida, onde os valores de entrada mudam proporcionalmente em intervalos de valor de saída de comprimento igual. Alternativamente, se o valor de saída for um número inteiro, isso indica quantas vezes o valor inicial foi multiplicado pela proporção.
• 2.14.A.2 Um modelo de função logarítmica pode ser construído a partir de uma proporção adequada e de um zero real ou de dois pares de entrada-saída.
• 2.14.A.3 Modelos de funções logarítmicas podem ser construídos aplicando transformações a $f(x) = a\log_b x$ com base nas características de um contexto ou conjunto de dados.
• 2.14.A.4 Modelos de funções logarítmicas podem ser construídos para um conjunto de dados usando tecnologia com regressões logarítmicas.
• 2.14.A.5 A função logaritmo natural é frequentemente útil na modelagem de fenômenos do mundo real.
• 2.14.A.6 Modelos de funções logarítmicas podem ser usados para prever valores para a variável dependente.

Objetivo de Aprendizagem 2.15.A: Determinar se um modelo exponencial é apropriado examinando um gráfico semilog de um conjunto de dados.

• 2.15.A.1 Em um gráfico semilog, um dos eixos tem escala logarítmica. Quando o eixo $y$ de um gráfico semilog tem escala logarítmica, dados ou funções que demonstram características exponenciais parecerão lineares.
• 2.15.A.2 Uma vantagem dos gráficos semilog é que nunca é necessário adicionar uma constante aos valores da variável dependente para revelar que um modelo exponencial é apropriado.

Objetivo de Aprendizagem 2.15.B: Construir a linearização de dados exponenciais.

• 2.15.B.1 Técnicas usadas para modelar funções lineares podem ser aplicadas a um gráfico semilog.
• 2.15.B.2 Para um modelo exponencial da forma $y = ab^x$, o modelo linear correspondente para o gráfico semilog é $y = (\log_n b)x + \log_n a$, onde $n > 0$ e $n \neq 1$. Especificamente, a taxa de variação linear é $\log_n b$, e o valor linear inicial é $\log_n a$.