Pré-Cálculo do AP

Objetivo de Aprendizagem 1.1.A: Descrever como os valores de entrada e saída de uma função variam juntos comparando valores da função.

• 1.1.A.1 Uma função é uma relação matemática que mapeia um conjunto de valores de entrada para um conjunto de valores de saída de modo que cada valor de entrada seja mapeado para exatamente um valor de saída. O conjunto de valores de entrada é chamado de domínio da função, e o conjunto de valores de saída é chamado de contradomínio (ou imagem) da função. A variável que representa os valores de entrada é chamada de variável independente, e a variável que representa os valores de saída é chamada de variável dependente.
• 1.1.A.2 Os valores de entrada e saída de uma função variam conjuntamente de acordo com a regra da função, que pode ser expressa graficamente, numericamente, analiticamente ou verbalmente.
• 1.1.A.3 Uma função é crescente em um intervalo de seu domínio se, à medida que os valores de entrada aumentam, os valores de saída sempre aumentam. Ou seja, para todos $a$ e $b$ no intervalo, se $a < b$, então $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Uma função é decrescente em um intervalo de seu domínio se, à medida que os valores de entrada aumentam, os valores de saída sempre diminuem. Ou seja, para todos $a$ e $b$ no intervalo, se $a < b$, então $f(a) > f(b)$.

Objetivo de Aprendizagem 1.1.B: Construir um gráfico representando duas quantidades que variam em relação uma à outra em um cenário contextual.

• 1.1.B.1 O gráfico de uma função exibe um conjunto de pares de entrada-saída e mostra como os valores de entrada e saída da função variam.
• 1.1.B.2 Uma descrição verbal da maneira como aspectos de fenômenos mudam juntos pode servir de base para a construção de um gráfico.
• 1.1.B.3 O gráfico de uma função é côncavo para cima em intervalos nos quais a taxa de variação está aumentando.
• 1.1.B.4 O gráfico de uma função é côncavo para baixo em intervalos nos quais a taxa de variação está diminuindo.
• 1.1.B.5 O gráfico intersecta o eixo $x$ quando o valor de saída é zero. Os valores de entrada correspondentes são ditos ser zeros da função.

Objetivo de Aprendizagem 1.2.A: Comparar as taxas de variação em dois pontos usando taxas de variação médias próximas aos pontos.

• 1.2.A.1 A taxa de variação média de uma função sobre um intervalo do domínio da função é a taxa de variação constante que produz a mesma mudança nos valores de saída que a função produziu naquele intervalo do seu domínio. É a razão entre a mudança nos valores de saída e a mudança nos valores de entrada sobre esse intervalo.
• 1.2.A.2 A taxa de variação de uma função em um ponto quantifica a taxa na qual os valores de saída mudariam se os valores de entrada changessem naquele ponto. A taxa de variação em um ponto pode ser aproximada pelas taxas de variação médias da função sobre pequenos intervalos contendo o ponto, se tais valores existirem.
• 1.2.A.3 As taxas de variação em dois pontos podem ser comparadas usando aproximações de taxa de variação média sobre intervalos suficientemente pequenos contendo cada ponto, se tais valores existirem.

Objetivo de Aprendizagem 1.2.B: Descrever como duas quantidades variam juntas em diferentes pontos e sobre diferentes intervalos de uma função.

• 1.2.B.1 Taxas de variação quantificam como duas quantidades variam juntas.
• 1.2.B.2 Uma taxa de variação positiva indica que, à medida que uma quantidade aumenta ou diminui, a outra quantidade faz o mesmo.
• 1.2.B.3 Uma taxa de variação negativa indica que, à medida que uma quantidade aumenta, a outra diminui.

Objetivo de Aprendizagem 1.3.A: Determinar as taxas de variação médias para sequências e funções, incluindo funções lineares, quadráticas e outros tipos de função.

• 1.3.A.1 Para uma função linear, a taxa de variação média sobre qualquer intervalo de comprimento de valor de entrada é constante.
• 1.3.A.2 Para uma função quadrática, as taxas de variação média sobre intervalos consecutivos de comprimento igual de valores de entrada podem ser dadas por uma função linear.
• 1.3.A.3 A taxa de variação média sobre o intervalo fechado $[a, b]$ é a inclinação da reta secante do ponto $(a, f(a))$ até $(b, f(b))$.

Objetivo de Aprendizagem 1.3.B: Determinar a mudança nas taxas de variação médias para funções lineares, quadráticas e outros tipos de função.

• 1.3.B.1 Para uma função linear, já que as taxas de variação média sobre intervalos consecutivos de comprimento igual de valores de entrada podem ser dadas por uma função constante, essas taxas de variação média para uma função linear estão mudando a uma taxa de zero.
• 1.3.B.2 Para uma função quadrática, já que as taxas de variação média sobre intervalos consecutivos de comprimento igual de valores de entrada podem ser dadas por uma função linear, essas taxas de variação média para uma função quadrática estão mudando a uma taxa constante.
• 1.3.B.3 Quando a taxa média de variação sobre intervalos de valor de entrada de comprimento igual aumenta para todos os pequenos intervalos, o gráfico da função é côncavo para cima. Quando a taxa média de variação sobre intervalos de valor de entrada de comprimento igual diminui para todos os pequenos intervalos, o gráfico da função é côncavo para baixo.

Objetivo de Aprendizagem 1.4.A: Identificar características-chave de funções polinomiais relacionadas às taxas de variação.

• 1.4.A.1 Uma função polinomial não constante de $x$ é qualquer representação funcional que seja equivalente à forma analítica $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, onde $n$ é um inteiro positivo, $a_i$ é um número real para cada $i$ de $1$ a $n$, e $a_n$ é diferente de zero. O polinômio tem grau $n$, o termo líder é $a_n x^n$, e o coeficiente líder é $a_n$. Uma constante também é uma função polinomial de grau zero.
• 1.4.A.2 Onde uma função polinomial alterna entre crescimento e decrescimento, ou na extremidade incluída de um polinômio com domínio restrito, a função polinomial terá um valor de saída local ou relativo máximo ou mínimo. De todos os máximos locais, o maior é chamado de global ou absoluto máximo. Da mesma forma, o menor de todos os mínimos locais é chamado de global ou absoluto mínimo.
• 1.4.A.3 Entre cada dois zeros reais distintos de uma função polinomial não constante, deve haver pelo menos um valor de entrada correspondente a um máximo local ou mínimo local.
• 1.4.A.4 Funções polinomiais de grau par terão um máximo global ou um mínimo global.
• 1.4.A.5 Pontos de inflexão de uma função polinomial ocorrem em valores de entrada onde a taxa de variação da função muda de aumento para diminuição ou de diminuição para aumento. Isso ocorre onde o gráfico de uma função polinomial muda de côncavo para cima para côncavo para baixo ou de côncavo para baixo para côncavo para cima.

Objetivo de Aprendizagem 1.5.A: Identificar características-chave de uma função polinomial relacionadas aos seus zeros quando fatorações adequadas estão disponíveis ou com tecnologia.

• 1.5.A.1 Se $a$ é um número complexo e $p(a) = 0$, então $a$ é chamado de zero da função polinomial $p$, ou raiz de $p(x) = 0$. Se $a$ é um número real, então $(x - a)$ é um fator linear de $p$ se, e somente se, $a$ for um zero de $p$.
• 1.5.A.2 Se um fator linear $(x - a)$ for repetido $n$ vezes, o zero correspondente da função polinomial terá uma multiplicidade $n$. Uma função polinomial de grau $n$ tem exatamente $n$ zeros complexos quando contados multiplicidades.
• 1.5.A.3 Se $a$ é um zero real de uma função polinomial $p$, então o gráfico de $y = p(x)$ tem uma interceptação $x$ no ponto $(a, 0)$. Consequentemente, zeros reais de um polinômio podem ser extremos para intervalos satisfazendo desigualdades polinomiais.
• 1.5.A.4 Se $a + bi$ é um zero não-real de uma função polinomial $p$, então seu conjugado $a - bi$ também é um zero de $p$.
• 1.5.A.5 Se o zero real, $a$, de uma função polinomial tem multiplicidade par, então os sinais dos valores de saída são os mesmos para valores de entrada próximos a $x = a$. Para essas funções polinomiais, o gráfico será tangente ao eixo-$x$ em $x = a$.
• 1.5.A.6 O grau de uma função polinomial pode ser encontrado examinando as diferenças sucessivas dos valores de saída sobre valores de entrada de intervalo igual. O grau da função polinomial é igual ao menor valor $n$ para o qual as diferenças $n$-ésimas sucessivas são constantes.

Objetivo de Aprendizagem 1.5.B: Determinar se uma função polinomial é par ou ímpar.

• 1.5.B.1 Uma função par é graficamente simétrica em relação à linha $x = 0$ e analiticamente tem a propriedade $f(-x) = f(x)$. Se $n$ é par, então um polinômio da forma $p(x) = a_n x^n$, onde $n \geq 1$ e $a_n \neq 0$, é uma função par.
• 1.5.B.2 Uma função ímpar é graficamente simétrica em relação ao ponto $(0, 0)$ e analiticamente possui a propriedade $f(-x) = -f(x)$. Se $n$ é ímpar, então um polinômio da forma $p(x) = a_n x^n$, onde $n \geq 1$ e $a_n \neq 0$, é uma função ímpar.

Objetivo de Aprendizagem 1.6.A: Descrever comportamentos extremos de funções polinomiais.

• 1.6.A.1 À medida que os valores de entrada de uma função polinomial não constante aumentam sem limite, os valores de saída aumentarão ou diminuirão sem limite. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 À medida que os valores de entrada de uma função polinomial não constante diminuem sem limite, os valores de saída aumentarão ou diminuirão sem limite. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 O grau e o sinal do termo líder de um polinômio determinam o comportamento extremo da função polinomial, pois, à medida que os valores de entrada aumentam ou diminuem sem limite, os valores do termo líder dominam os valores de todos os termos de graus inferiores.

Objetivo de Aprendizagem 1.7.A: Descrever comportamentos extremos de funções racionais.

• 1.7.A.1 Uma função racional é representada analiticamente como um quociente de duas funções polinomiais e fornece uma medida do tamanho relativo da função polinomial no numerador comparado à função polinomial no denominador para cada valor no domínio da função racional.
• 1.7.A.2 O comportamento extremo de uma função racional será mais afetado pelo polinômio com maior grau, pois seus valores dominarão os valores da função racional para valores de entrada de grande magnitude. Para valores de entrada de grande magnitude, um polinômio é dominado por seu termo líder. Portanto, o comportamento extremo de uma função racional pode ser compreendido examinando o quociente correspondente dos termos líderes.
• 1.7.A.3 Se o polinômio no numerador domina o polinômio no denominador para valores de entrada de grande magnitude, então o quociente dos termos líderes é um polinômio não constante, e a função racional original tem o comportamento extremo desse polinômio. Se esse polinômio for linear, então o gráfico da função racional terá uma assíntota oblíqua paralela ao gráfico da reta.
• 1.7.A.4 Se nenhum polinômio em uma função racional domina o outro para valores de entrada de grande magnitude, então o quociente dos termos líderes é uma constante, e essa constante indica a localização de uma assíntota horizontal do gráfico da função racional original.
• 1.7.A.5 Se o polinômio no denominador domina o polinômio no numerador para valores de entrada de grande magnitude, então o quociente dos termos líderes é uma função racional com uma constante no numerador e um polinômio não constante no denominador, e o gráfico da função racional original tem uma assíntota horizontal em $y = 0$.
• 1.7.A.6 Quando o gráfico de uma função racional $r$ tem uma assíntota horizontal em $y = b$, onde $b$ é uma constante, os valores de saída da função racional aproximam-se arbitrariamente de $b$ e permanecem arbitrariamente próximos de $b$ à medida que os valores de entrada aumentam ou diminuem sem limite. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ ou $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Objetivo de Aprendizagem 1.8.A: Determinar os zeros de funções racionais.

• 1.8.A.1 Os zeros reais de uma função racional correspondem aos zeros reais do numerador para tais valores em seu domínio.
• 1.8.A.2 Os zeros reais de ambas as funções polinomiais de uma função racional $r$ são extremos ou assíntotas para intervalos que satisfazem as desigualdades da função racional $r(x) \geq 0$ ou $r(x) \leq 0$.

Objetivo de Aprendizagem 1.9.A: Determinar as assíntotas verticais de gráficos de funções racionais.

• 1.9.A.1 Se o valor $a$ é um zero real da função polinomial no denominador de uma função racional e não é também um zero real da função polinomial no numerador, então o gráfico da função racional tem uma assíntota vertical em $x = a$. Além disso, uma assíntota vertical também ocorre em $x = a$ se a multiplicidade de $a$ como um zero real no denominador for maior do que sua multiplicidade como um zero real no numerador.
• 1.9.A.2 Perto de uma assíntota vertical, $x = a$, de uma função racional, os valores da função polinomial no denominador são arbitrariamente próximos de zero, portanto os valores da função racional $r$ aumentam ou diminuem sem limite. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ para valores de entrada próximos a $a$ e maiores que $a$, e $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ para valores de entrada próximos a $a$ e menores que $a$.

Objetivo de Aprendizagem 1.10.A: Determinar buracos em gráficos de funções racionais.

• 1.10.A.1 Se a multiplicidade de um zero real no numerador for maior ou igual à sua multiplicidade no denominador, então o gráfico da função racional possui um buraco no valor de entrada correspondente.
• 1.10.A.2 Se o gráfico de uma função racional $r$ tem um buraco em $x = c$, então a localização do buraco pode ser determinada examinando os valores de saída correspondentes a valores de entrada suficientemente próximos de $c$. Se valores de entrada suficientemente próximos de $c$ correspondem a valores de saída arbitrariamente próximos de $L$, então o buraco está localizado no ponto com coordenadas $(c, L)$. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Deve-se notar que $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Objetivo de Aprendizagem 1.11.A: Reescrever expressões polinomiais e racionais em formas equivalentes.

• 1.11.A.1 Como a forma fatorada de um polinômio ou função racional fornece prontamente informações sobre zeros reais, ela pode revelar informações sobre interceptações $x$, assíntotas, buracos, domínio e intervalo.
• 1.11.A.2 A forma padrão de um polinômio ou função racional pode revelar informações sobre os comportamentos nos extremos da função.
• 1.11.A.3 As informações extraídas de diferentes representações analíticas do mesmo polinômio ou função racional podem ser usadas para responder a questões em contexto.

Objetivo de Aprendizagem 1.11.B: Determinar o quociente de duas funções polinomiais usando divisão longa.

• 1.11.B.1 A divisão longa de polinômios é um processo algébrico semelhante à divisão longa numérica, envolvendo um quociente e um resto. Se o polinômio $f$ é dividido pelo polinômio $g$, então $f$ pode ser reescrito como $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, onde $q$ é o quociente, $r$ é o resto, e o grau de $r$ é menor que o grau de $g$.
• 1.11.B.2 O resultado da divisão longa de polinômios é útil para encontrar equações de assíntotas oblíquas para gráficos de funções racionais.

Objetivo de Aprendizagem 1.11.C: Reescrever o produto repetido de binômios usando o teorema do binômio.

• 1.11.C.1 O teorema do binômio utiliza as entradas de uma única linha do Triângulo de Pascal para expandir mais facilmente expressões da forma $(a + b)^n$, incluindo funções polinomiais da forma $p(x) = (x + c)^n$, onde $c$ é uma constante.

Objetivo de Aprendizagem 1.12.A: Construir uma função que seja uma transformação aditiva e/ou multiplicativa de outra função.

• 1.12.A.1 A função $g(x) = f(x) + k$ é uma transformação aditiva da função $f$ que resulta em uma translação vertical do gráfico de $f$ por $k$ unidades.
• 1.12.A.2 A função $g(x) = f(x + h)$ é uma transformação aditiva da função $f$ que resulta em uma translação horizontal do gráfico de $f$ por $-h$ unidades.
• 1.12.A.3 A função $g(x) = a f(x)$, onde $a \neq 0$, é uma transformação multiplicativa da função $f$ que resulta em uma dilatação vertical do gráfico de $f$ por um fator de $|a|$. Se $a < 0$, a transformação envolve uma reflexão sobre o eixo $x$.
• 1.12.A.4 A função $g(x) = f(bx)$, onde $b \neq 0$, é uma transformação multiplicativa da função $f$ que resulta em uma dilatação horizontal do gráfico de $f$ por um fator de $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Se $b < 0$, a transformação envolve uma reflexão sobre o eixo $y$.
• 1.12.A.5 Transformações aditivas e multiplicativas podem ser combinadas, resultando em combinações de translações horizontais e verticais e dilatações.
• 1.12.A.6 O domínio e a imagem de uma função que é uma transformação de uma função pai podem ser diferentes daqueles da função pai.

Objetivo de Aprendizagem 1.13.A: Identificar um tipo de função adequado para construir um modelo de função para um cenário dado.

• 1.13.A.1 Funções lineares modelam conjuntos de dados ou aspectos de cenários contextuais que demonstram taxas de variação aproximadamente constantes.
• 1.13.A.2 Funções quadráticas modelam conjuntos de dados ou aspectos de cenários contextuais que demonstram taxas de variação aproximadamente lineares, ou conjuntos de dados que são aproximadamente simétricos com um valor máximo ou mínimo único.
• 1.13.A.3 Contextos geométricos envolvendo área ou duas dimensões podem frequentemente ser modelados por funções quadráticas. Contextos geométricos envolvendo volume ou três dimensões podem frequentemente ser modelados por funções cúbicas.
• 1.13.A.4 Funções polinomiais modelam conjuntos de dados ou cenários contextuais com múltiplos zeros reais ou múltiplos máximos ou mínimos.
• 1.13.A.5 Uma função polinomial de grau $n$ modela conjuntos de dados ou cenários contextuais que demonstram diferenças de ordem $n$ aproximadamente constantes e não nulas.
• 1.13.A.6 Uma função polinomial de grau $n$ ou menos pode ser usada para modelar um gráfico de $n + 1$ pontos com valores de entrada distintos.
• 1.13.A.7 Uma função definida por partes consiste em um conjunto de funções definidas sobre intervalos de domínio não sobrepostos e é útil para modelar um conjunto de dados ou cenário contextual que demonstra características diferentes em diferentes intervalos.

Objetivo de Aprendizagem 1.13.B: Descrever suposições e restrições relacionadas à construção de um modelo de função.

• 1.13.B.1 Um modelo pode ter suposições subjacentes sobre o que é consistente no modelo.
• 1.13.B.2 Um modelo pode ter suposições subjacentes sobre como as quantidades mudam juntas.
• 1.13.B.3 Um modelo pode exigir restrições de domínio baseadas em pistas matemáticas, pistas contextuais ou valores extremos no conjunto de dados.
• 1.13.B.4 Um modelo pode exigir restrições de imagem, como arredondamento de valores, baseadas em pistas matemáticas, pistas contextuais ou valores extremos no conjunto de dados.

Objetivo de Aprendizagem 1.14.A: Construir um modelo linear, quadrático, cúbico, quártico, polinomial de grau $n$, ou função definida por partes relacionada.

• 1.14.A.1 Um modelo pode ser construído com base em restrições identificadas em um cenário matemático ou contextual.
• 1.14.A.2 Um modelo de um conjunto de dados ou cenário contextual pode ser construído usando transformações da função pai.
• 1.14.A.3 Um modelo de um conjunto de dados pode ser construído usando tecnologia e regressões, incluindo regressões lineares, quadráticas, cúbicas e quárticas.
• 1.14.A.4 Um modelo de função definida por partes pode ser construído através de uma combinação de técnicas de modelagem.

Objetivo de Aprendizagem 1.14.B: Construir um modelo de função racional baseado em um contexto.

• 1.14.B.1 Conjuntos de dados e aspectos de cenários contextuais envolvendo quantidades que são inversamente proporcionais podem frequentemente ser modelados por funções racionais. Por exemplo, as magnitudes tanto da força gravitacional quanto da força eletromagnética entre objetos são inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre os objetos.

Objetivo de Aprendizagem 1.14.C: Aplicar um modelo de função para responder a perguntas sobre um conjunto de dados ou cenário contextual.

• 1.14.C.1 Um modelo pode ser usado para tirar conclusões sobre o conjunto de dados ou cenário contextual modelado, incluindo responder a perguntas principais e prever valores, taxas de variação, taxas de variação médias e taxas de variação changeantes. Unidades de medida apropriadas devem ser extraídas ou inferidas do contexto fornecido.

Objetivo de Aprendizagem 2.1.A: Expressar sequências aritméticas encontradas em cenários matemáticos e contextuais como funções dos números inteiros.

• 2.1.A.1 Uma sequência é uma função dos números inteiros para os números reais. Consequentemente, o gráfico de uma sequência consiste em pontos discretos em vez de uma curva.
• 2.1.A.2 Termos sucessivos em uma sequência aritmética têm uma diferença comum, ou taxa de variação constante.
• 2.1.A.3 O termo geral de uma sequência aritmética com diferença comum $d$ é denotado por $a_n$ e é dado por $a_n = a_0 + dn$, onde $a_0$ é o valor inicial, ou por $a_n = a_k + d(n - k)$, onde $a_k$ é o ⟨$k$⟩-ésimo termo da sequência.

Objetivo de Aprendizagem 2.1.B: Expressar sequências geométricas encontradas em cenários matemáticos e contextuais como funções dos números inteiros.

• 2.1.B.1 Termos sucessivos em uma sequência geométrica têm uma razão comum, ou mudança proporcional constante.
• 2.1.B.2 O termo geral de uma sequência geométrica com razão comum $r$ é denotado por $g_n$ e é dado por $g_n = g_0 r^n$, onde $g_0$ é o valor inicial, ou por $g_n = g_k r^{(n-k)}$, onde $g_k$ é o ⟨$k$⟩-ésimo termo da sequência.
• 2.1.B.3 Sequências aritméticas crescentes aumentam igualmente a cada passo, enquanto sequências geométricas crescentes aumentam em uma quantidade maior a cada passo sucessivo.

Objetivo de Aprendizagem 2.2.A: Construir funções dos números reais que sejam comparáveis a sequências aritméticas e geométricas.

• 2.2.A.1 Funções lineares da forma $f(x) = b + mx$ são semelhantes a sequências aritméticas da forma $a_n = a_0 + dn$, pois ambas podem ser expressas como um valor inicial ($b$ ou $a_0$) mais a adição repetida de uma taxa de variação constante, a inclinação ($m$ ou $d$).
• 2.2.A.2 Semelhante às sequências aritméticas da forma $a_n = a_k + d(n - k)$, que se baseiam em uma diferença conhecida, $d$, e em um termo de ordem $k$, as funções lineares podem ser expressas na forma $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ com base em uma inclinação conhecida, $m$, e em um ponto, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Funções exponenciais da forma $f(x) = ab^x$ são semelhantes a sequências geométricas da forma $g_n = g_0 r^n$, pois ambas podem ser expressas como um valor inicial ($a$ ou $g_0$) vezes a multiplicação repetida por uma proporção constante ($b$ ou $r$).
• 2.2.A.4 Semelhante às sequências geométricas da forma $g_n = g_k r^{(n-k)}$, que se baseiam em uma razão conhecida, $r$, e em um termo de ordem $k$, as funções exponenciais podem ser expressas na forma $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ com base em uma razão conhecida, $r$, e em um ponto, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Sequências e suas funções correspondentes podem ter domínios diferentes.

Objetivo de Aprendizagem 2.3.A: Identificar características-chave das funções exponenciais.

• 2.3.A.1 A forma geral de uma função exponencial é $f(x) = ab^x$, com o valor inicial $a$, onde $a \neq 0$, e a base $b$, onde $b > 0$, e $b \neq 1$. Quando $a > 0$ e $b > 1$, diz-se que a função exponencial demonstra crescimento exponencial. Quando $a > 0$ e $0 < b < 1$, diz-se que a função exponencial demonstra decadência exponencial.
• 2.3.A.2 Quando os números naturais são valores de entrada em uma função exponencial, o valor de entrada especifica o número de fatores da base a serem aplicados ao valor inicial da função. O domínio de uma função exponencial é todos os números reais.
• 2.3.A.3 Como os valores de saída das funções exponenciais na forma geral são proporcionais em intervalos de valor de entrada de comprimento igual, as funções exponenciais estão sempre aumentando ou sempre diminuindo, e seus gráficos são sempre côncavos para cima ou sempre côncavos para baixo. Consequentemente, as funções exponenciais não têm extremos exceto em um intervalo fechado, e seus gráficos não têm pontos de inflexão.
• 2.3.A.4 Se os valores da função de transformação aditiva $g(x) = f(x) + k$ de qualquer função $f$ forem proporcionais em intervalos de valor de entrada de comprimento igual, então $f$ é exponencial.

Objetivo de Aprendizagem 2.4.A: Reescrever expressões exponenciais em formas equivalentes.

• 2.4.A.1 A propriedade do produto para expoentes afirma que $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Graficamente, essa propriedade implica que toda translação horizontal de uma função exponencial, $f(x) = b^{(x+k)}$, é equivalente a uma dilatação vertical, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, onde $a = b^k$.
• 2.4.A.2 A propriedade da potência para expoentes afirma que $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Graficamente, essa propriedade implica que toda dilatação horizontal de uma função exponencial, $f(x) = b^{(cx)}$, é equivalente a uma mudança da base de uma função exponencial, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, onde $b^c$ é uma constante e $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 A propriedade do expoente negativo afirma que $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 O valor de uma expressão exponencial envolvendo uma fração unitária exponencial, como $b^{(1/k)}$ onde $k$ é um número natural, é a raiz de ordem $k$ de $b$, quando existe.

Objetivo de Aprendizagem 2.5.A: Construir um modelo para situações envolvendo valores de saída proporcionais em intervalos de valor de entrada de comprimento igual.

• 2.5.A.1 Funções exponenciais modelam padrões de crescimento nos quais os valores de saída sucessivos em intervalos de valor de entrada de comprimento igual são proporcionais. Quando os valores de entrada são números inteiros, funções exponenciais modelam situações de multiplicação repetida de uma constante por um valor inicial.
• 2.5.A.2 Pode ser necessário adicionar uma constante aos valores da variável dependente de um conjunto de dados para revelar um padrão de crescimento proporcional.
• 2.5.A.3 Um modelo de função exponencial pode ser construído a partir de uma razão e valor inicial adequados ou de dois pares de entrada-saída. O valor inicial e a base podem ser encontrados resolvendo um sistema de equações resultante dos dois pares de entrada-saída.
• 2.5.A.4 Modelos de função exponencial podem ser construídos aplicando transformações a $f(x) = ab^x$ com base nas características de um cenário contextual ou conjunto de dados.
• 2.5.A.5 Modelos de função exponencial podem ser construídos para um conjunto de dados usando tecnologia por meio de regressão exponencial.
• 2.5.A.6 A base natural $e$, que é aproximadamente $2.718$, é frequentemente usada como base em funções exponenciais que modelam cenários contextuais.

Objetivo de Aprendizagem 2.6.A: Construir modelos lineares, quadráticos e exponenciais com base em um conjunto de dados.

• 2.6.A.1 Duas variáveis em um conjunto de dados que demonstram uma taxa de variação ligeiramente alterada podem ser modeladas por funções lineares, quadráticas e exponenciais.
• 2.6.A.2 Os modelos podem ser comparados com base em pistas contextuais e aplicabilidade para determinar qual modelo é mais apropriado.

Objetivo de Aprendizagem 2.6.B: Validar um modelo construído a partir de um conjunto de dados.

• 2.6.B.1 Um modelo é justificado como apropriado para um conjunto de dados se o gráfico dos resíduos de uma regressão, o gráfico de resíduos, aparecer sem padrão.
• 2.6.B.2 A diferença entre os valores previstos e os valores reais é o erro no modelo. Dependendo do conjunto de dados e do contexto, pode ser mais apropriado ter uma subestimação ou superestimação para qualquer intervalo dado.

Objetivo de Aprendizagem 2.7.A: Avaliar a composição de duas ou mais funções para valores dados.

• 2.7.A.1 Se $f$ e $g$ são funções, a função composta $f \circ g$ mapeia um conjunto de valores de entrada para um conjunto de valores de saída de modo que os valores de saída de $g$ são usados como valores de entrada de $f$. Por esse motivo, o domínio da função composta é restrito àqueles valores de entrada de $g$ para os quais o valor de saída correspondente está no domínio de $f$. $(f \circ g)(x)$ também pode ser representado como $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Valores para a função composta $f \circ g$ podem ser calculados ou estimados a partir das representações gráfica, numérica, analítica ou verbal de $f$ e $g$ usando valores de saída de $g$ como valores de entrada para $f$.
• 2.7.A.3 A composição de funções não é comutativa; isto é, $f \circ g$ e $g \circ f$ são tipicamente funções diferentes; portanto, $f(g(x))$ e $g(f(x))$ são tipicamente valores diferentes.
• 2.7.A.4 Se a função $f(x) = x$ for composta com qualquer função $g$, a função composta resultante será a mesma que $g$; isto é, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. A função $f(x) = x$ é chamada de função identidade. Ao compor duas funções, a função identidade atua da mesma forma que $0$, a identidade aditiva, ao somar dois números, e $1$, a identidade multiplicativa, ao multiplicar dois números.

Objetivo de Aprendizagem 2.7.B: Construir uma representação da composição de duas ou mais funções.

• 2.7.B.1 A composição de funções é útil para relacionar duas quantidades que não estão diretamente relacionadas por uma fórmula existente.
• 2.7.B.2 Quando as representações analíticas das funções $f$ e $g$ estiverem disponíveis, uma representação analítica de $f(g(x))$ pode ser construída substituindo $g(x)$ por cada instância de $x$ em $f$.
• 2.7.B.3 Uma representação numérica ou gráfica de $f \circ g$ pode ser frequentemente construída calculando ou estimando valores para $(x, f(g(x)))$.

Objetivo de Aprendizagem 2.7.C: Reescrever uma função dada como uma composição de duas ou mais funções.

• 2.7.C.1 Funções dadas analiticamente podem frequentemente ser decompostas em funções menos complexas. Quando devidamente decomposta, a variável em uma função deve substituir cada instância da função com a qual foi composta.
• 2.7.C.2 Uma transformação aditiva de uma função, $f$, que resulta em translações verticais e horizontais pode ser compreendida como a composição de $g(x) = x + k$ com $f$.
• 2.7.C.3 Uma transformação multiplicativa de uma função, $f$, que resulta em dilatações verticais e horizontais pode ser compreendida como a composição de $g(x) = kx$ com $f$.

Objetivo de Aprendizagem 2.8.A: Determinar os pares de entrada-saída da inversa de uma função.

• 2.8.A.1 Em um domínio especificado, uma função, $f$, possui uma função inversa, ou é invertível, se cada valor de saída de $f$ for mapeado a partir de um valor de entrada único. O domínio de uma função pode ser restringido de muitas maneiras para tornar a função invertível.
• 2.8.A.2 Uma função inversa pode ser pensada como um mapeamento reverso da função. Uma função inversa, $f^{-1}$, mapeia os valores de saída de uma função, $f$, em seu domínio invertível para seus respectivos valores de entrada; isto é, se $f(a) = b$, então $f^{-1}(b) = a$. Alternativamente, em seu domínio invertível, se uma função consiste em pares de entrada-saída $(a, b)$, então a função inversa consiste em pares de entrada-saída $(b, a)$.

Objetivo de Aprendizagem 2.8.B: Determinar a inversa de uma função em um domínio invertível.

• 2.8.B.1 A composição de uma função, $f$, e sua função inversa, $f^{-1}$, é a função identidade; isto é, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 No domínio invertível de uma função, o contradomínio e o domínio da função são, respectivamente, o domínio e o contradomínio da função inversa. A inversa da tabela de valores de $y = f(x)$ pode ser encontrada invertendo os pares de entrada-saída; isto é, $(a, b)$ corresponde a $(b, a)$.
• 2.8.B.3 A inversa do gráfico da função $y = f(x)$ pode ser encontrada invertendo os papéis dos eixos $x$ e $y$; isto é, refletindo o gráfico da função sobre o gráfico da função identidade $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 A inversa da função pode ser encontrada determinando as operações inversas para reverter o mapeamento. Um método para encontrar a inversa da função $f$ é inverter os papéis de $x$ e $y$ na equação $y = f(x)$, e então resolver para $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 Além de limitar o domínio de uma função para obter uma função inversa, restrições contextuais também podem limitar a aplicabilidade de uma função inversa.

Objetivo de Aprendizagem 2.9.A: Avaliar expressões logarítmicas.

• 2.9.A.1 A expressão logarítmica $\log_b c$ é igual a, ou representa, o valor pelo qual a base $b$ deve ser elevada exponencialmente para obter o valor $c$. Ou seja, $\log_b c = a$ se e somente se $b^a = c$, onde $a$ e $c$ são constantes, $b > 0$, e $b \neq 1$. (quando a base de uma expressão logarítmica não é especificada, entende-se como o logaritmo comum com base de $10$)
• 2.9.A.2 Os valores de algumas expressões logarítmicas são facilmente acessíveis através de aritmética básica, enquanto outros valores podem ser estimados através do uso de tecnologia.
• 2.9.A.3 Em uma escala logarítmica, cada unidade representa uma mudança multiplicativa da base do logaritmo. Por exemplo, em uma escala padrão, as unidades podem ser $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, enquanto em uma escala logarítmica, usando logaritmo de base $10$, as unidades podem ser $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Objetivo de Aprendizagem 2.10.A: Construir representações da inversa de uma função exponencial com valor inicial de 1.

• 2.10.A.1 A forma geral de uma função logarítmica é $f(x) = a\log_b x$, com base $b$, onde $b > 0$, $b \neq 1$ e $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 A maneira como os valores de entrada e saída variam juntos tem uma relação inversa em funções exponenciais e logarítmicas. Os valores de saída de funções exponenciais de forma geral mudam proporcionalmente à medida que os valores de entrada aumentam em intervalos de comprimento igual. No entanto, os valores de entrada de funções logarítmicas de forma geral mudam proporcionalmente à medida que os valores de saída aumentam em intervalos de comprimento igual. Alternativamente, o crescimento exponencial é caracterizado por valores de saída mudando multiplicativamente à medida que os valores de entrada mudam aditivamente, enquanto o crescimento logarítmico é caracterizado por valores de saída mudando aditivamente à medida que os valores de entrada mudam multiplicativamente.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ e $g(x) = b^x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$, são funções inversas. Ou seja, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 O gráfico da função logarítmica $f(x) = \log_b x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$, é um reflexo do gráfico da função exponencial $g(x) = b^x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$, sobre o gráfico da função identidade $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Se $(s, \; t)$ é um par ordenado da função exponencial $g(x) = b^x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$, então $(t, \; s)$ é um par ordenado da função logarítmica $f(x) = \log_b x$, onde $b > 0$ e $b \neq 1$.

Objetivo de Aprendizagem 2.11.A: Identificar características-chave das funções logarítmicas.

• 2.11.A.1 O domínio de uma função logarítmica na forma geral é qualquer número real maior que zero, e sua imagem é todos os números reais.
• 2.11.A.2 Como as funções logarítmicas são inversas das funções exponenciais, as funções logarítmicas também são sempre crescentes ou sempre decrescentes, e seus gráficos são sempre côncavos para cima ou sempre côncavos para baixo. Consequentemente, as funções logarítmicas não têm extremos exceto em um intervalo fechado, e seus gráficos não têm pontos de inflexão.
• 2.11.A.3 A função de transformação aditiva $g(x) = f(x + k)$, onde $k \neq 0$, de uma função logarítmica $f$ na forma geral não possui valores de entrada que são proporcionais em intervalos de valor de saída de comprimento igual. No entanto, se os valores de entrada da função de transformação aditiva, $g(x) = f(x + k)$, de qualquer função $f$ forem proporcionais em intervalos de valor de saída de comprimento igual, então $f$ é logarítmica.
• 2.11.A.4 Com seu domínio limitado, as funções logarítmicas na forma geral são assintóticas verticalmente a $x = 0$, com um comportamento final ilimitado. Ou seja, para uma função logarítmica na forma geral, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ e $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Objetivo de Aprendizagem 2.12.A: Reescrever expressões logarítmicas em formas equivalentes.

• 2.12.A.1 A propriedade do produto para logaritmos afirma que $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Graficamente, essa propriedade implica que toda dilatação horizontal de uma função logarítmica, $f(x) = \log_b(kx)$, é equivalente a uma translação vertical, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, onde $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 A propriedade da potência para logaritmos afirma que $\log_b x^n = n\log_b x$. Graficamente, essa propriedade implica que elevar a entrada de uma função logarítmica a uma potência, $f(x) = \log_b x^k$, resulta em uma dilatação vertical, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 A propriedade da mudança de base para logaritmos afirma que $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, onde $a > 0$ e $a \neq 1$. Isso implica que todas as funções logarítmicas são dilatações verticais umas das outras.
• 2.12.A.4 A função $f(x) = \ln x$ é uma função logarítmica com a base natural $e$; ou seja, $\ln x = \log_e x$.

Objetivo de Aprendizagem 2.13.A: Resolver equações e inequações exponenciais e logarítmicas.

• 2.13.A.1 Propriedades dos expoentes, propriedades dos logaritmos e a relação inversa entre funções exponenciais e logarítmicas podem ser usadas para resolver equações e inequações envolvendo expoentes e logaritmos.
• 2.13.A.2 Ao resolver equações exponenciais e logarítmicas encontradas por métodos analíticos ou gráficos, os resultados devem ser examinados quanto a soluções estranhas preteridas pelas limitações matemáticas ou contextuais.
• 2.13.A.3 Os logaritmos podem ser usados para reescrever expressões envolvendo funções exponenciais de maneiras diferentes que podem revelar informações úteis. Especificamente, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Objetivo de Aprendizagem 2.13.B: Construir a função inversa para funções exponenciais e logarítmicas.

• 2.13.B.1 A função $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ é uma combinação de transformações aditivas de uma função exponencial na forma geral. O inverso de $y = f(x)$ pode ser encontrado determinando as operações inversas para reverter o mapeamento.
• 2.13.B.2 A função $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ é uma combinação de transformações aditivas de uma função logarítmica na forma geral. A inversa de $y = f(x)$ pode ser encontrada determinando as operações inversas para inverter o mapeamento.

Objetivo de Aprendizagem 2.14.A: Construir um modelo de função logarítmica.

• 2.14.A.1 As funções logarítmicas são inversas das funções exponenciais e podem ser usadas para modelar situações envolvendo crescimento proporcional, ou multiplicação repetida, onde os valores de entrada mudam proporcionalmente em intervalos de valor de saída de comprimento igual. Alternativamente, se o valor de saída for um número inteiro, isso indica quantas vezes o valor inicial foi multiplicado pela proporção.
• 2.14.A.2 Um modelo de função logarítmica pode ser construído a partir de uma proporção adequada e de um zero real ou de dois pares de entrada-saída.
• 2.14.A.3 Modelos de funções logarítmicas podem ser construídos aplicando transformações a $f(x) = a\log_b x$ com base nas características de um contexto ou conjunto de dados.
• 2.14.A.4 Modelos de funções logarítmicas podem ser construídos para um conjunto de dados usando tecnologia com regressões logarítmicas.
• 2.14.A.5 A função logaritmo natural é frequentemente útil na modelagem de fenômenos do mundo real.
• 2.14.A.6 Modelos de funções logarítmicas podem ser usados para prever valores para a variável dependente.

Objetivo de Aprendizagem 2.15.A: Determinar se um modelo exponencial é apropriado examinando um gráfico semilog de um conjunto de dados.

• 2.15.A.1 Em um gráfico semilog, um dos eixos tem escala logarítmica. Quando o eixo $y$ de um gráfico semilog tem escala logarítmica, dados ou funções que demonstram características exponenciais parecerão lineares.
• 2.15.A.2 Uma vantagem dos gráficos semilog é que nunca é necessário adicionar uma constante aos valores da variável dependente para revelar que um modelo exponencial é apropriado.

Objetivo de Aprendizagem 2.15.B: Construir a linearização de dados exponenciais.

• 2.15.B.1 Técnicas usadas para modelar funções lineares podem ser aplicadas a um gráfico semilog.
• 2.15.B.2 Para um modelo exponencial da forma $y = ab^x$, o modelo linear correspondente para o gráfico semilog é $y = (\log_n b)x + \log_n a$, onde $n > 0$ e $n \neq 1$. Especificamente, a taxa de variação linear é $\log_n b$, e o valor linear inicial é $\log_n a$.

Objetivo de Aprendizagem 3.1.A: Construir gráficos de relações periódicas com base em representações verbais.

• 3.1.A.1 Uma relação periódica pode ser identificada entre dois aspectos de um contexto se, à medida que os valores de entrada aumentam, os valores de saída demonstram um padrão repetitivo em intervalos sucessivos de comprimento igual.
• 3.1.A.2 O gráfico de uma relação periódica pode ser construído a partir do gráfico de um único ciclo da relação.

Objetivo de Aprendizagem 3.1.B: Descrever características-chave de uma função periódica com base em uma representação verbal.

• 3.1.B.1 O período da função é o menor valor positivo $k$ tal que $f(x + k) = f(x)$ para todo $x$ no domínio. Consequentemente, o comportamento de uma função periódica é completamente determinado por qualquer intervalo de largura $k$.
• 3.1.B.2 O período pode ser estimado investigando valores de saída sucessivos de comprimento igual e encontrando onde o padrão começa a se repetir.
• 3.1.B.3 Funções periódicas assumem características de outras funções, como intervalos de aumento e diminuição, concavidades diferentes e várias taxas de variação. No entanto, com funções periódicas, todas as características encontradas em um período da função estarão em todos os períodos da função.

Objetivo de Aprendizagem 3.2.A: Determinar o seno, cosseno e tangente de um ângulo usando a circunferência unitária.

• 3.2.A.1 No plano cartesiano, um ângulo está em posição normal quando o vértice coincide com a origem e um dos raios coincide com o eixo $x$ positivo. O outro raio é chamado de raio terminal. Medidas de ângulo positivas e negativas indicam rotações a partir do eixo $x$ positivo no sentido anti-horário e horário, respectivamente. Ângulos em posição normal que compartilham um raio terminal diferem por um número inteiro de voltas completas.
• 3.2.A.2 A medida em radianos de um ângulo em posição normal é a razão entre o comprimento do arco de um círculo centrado na origem subtendido pelo ângulo e o raio desse mesmo círculo. Para uma circunferência unitária, que tem raio $1$, a medida em radianos é a mesma que o comprimento do arco subtendido.
• 3.2.A.3 Dado um ângulo em posição normal e um círculo centrado na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. O seno do ângulo é a razão entre o deslocamento vertical de $P$ em relação ao eixo $x$ à distância entre a origem e o ponto $P$. Portanto, para uma circunferência unitária, o seno do ângulo é a coordenada $y$ do ponto $P$.
• 3.2.A.4 Dado um ângulo em posição normal e um círculo centrado na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. O cosseno do ângulo é a razão entre o deslocamento horizontal de $P$ em relação ao eixo $y$ à distância entre a origem e o ponto $P$. Portanto, para uma circunferência unitária, o cosseno do ângulo é a coordenada $x$ do ponto $P$.
• 3.2.A.5 Dado um ângulo em posição normal, a tangente do ângulo é a inclinação (se existir) do raio terminal. Como a inclinação do raio terminal é a razão entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal sobre qualquer intervalo, a tangente do ângulo é a razão entre a coordenada $y$ e a coordenada $x$ do ponto em que o raio terminal intercepta a circunferência unitária; alternativamente, é a razão entre o seno e o cosseno do ângulo.

Objetivo de Aprendizagem 3.3.A: Determinar as coordenadas de pontos em um círculo centrado na origem.

• 3.3.A.1 Dado um ângulo de medida $\theta$ em posição normal e um círculo com raio $r$ centrado na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. As coordenadas do ponto $P$ são $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 A geometria de triângulos isósceles retângulos e equiláteros, considerando os sinais dos valores com base no quadrante do ângulo, pode ser usada para encontrar valores exatos para o cosseno e o seno de ângulos que são múltiplos de $\dfrac{\pi}{4}$ e $\dfrac{\pi}{6}$ radianos e cujos raios terminais não estão sobre um eixo.

Objetivo de Aprendizagem 3.4.A: Construir representações das funções seno e cosseno usando a circunferência unitária.

• 3.4.A.1 Dado um ângulo de medida $\theta$ em posição normal e uma circunferência unitária centrada na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. A função seno, $f(\theta) = \sin\theta$, fornece a coordenada $y$, ou o deslocamento vertical em relação ao eixo $x$, do ponto $P$. O domínio da função seno é todos os números reais.
• 3.4.A.2 À medida que os valores de entrada, ou medidas de ângulo, da função seno aumentam, os valores de saída oscilam entre $-1$ e $1$, assumindo todos os valores intermediários e rastreando a distância vertical dos pontos na circunferência unitária em relação ao eixo $x$.
• 3.4.A.3 Dado um ângulo de medida $\theta$ em posição normal e uma circunferência unitária centrada na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intercepta o círculo. A função cosseno, $f(\theta) = \cos\theta$, fornece a coordenada $x$, ou o deslocamento horizontal em relação ao eixo $y$, do ponto $P$. O domínio da função cosseno é todos os números reais.
• 3.4.A.4 À medida que os valores de entrada, ou medidas de ângulo, da função cosseno aumentam, os valores de saída oscilam entre $-1$ e $1$, assumindo todos os valores intermediários e rastreando a distância horizontal dos pontos na circunferência unitária em relação ao eixo $y$.

Objetivo de Aprendizagem 3.5.A: Identificar características principais das funções seno e cosseno.

• 3.5.A.1 Uma função senoidal é qualquer função que envolve transformações aditivas e multiplicativas de $f(\theta) = \sin\theta$. As funções seno e cosseno são ambas funções senoidais, com $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 O período e a frequência de uma função senoidal são recíprocos. O período de $f(\theta) = \sin\theta$ e $g(\theta) = \cos\theta$ é $2\pi$, e a frequência é $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 A amplitude de uma função senoidal é metade da diferença entre seus valores máximo e mínimo. A amplitude de $f(\theta) = \sin\theta$ e $g(\theta) = \cos\theta$ é $1$.
• 3.5.A.4 A linha central do gráfico de uma função senoidal é determinada pela média aritmética dos valores máximo e mínimo da função. A linha central dos gráficos de $y = \sin\theta$ e $y = \cos\theta$ é $y = 0$.
• 3.5.A.5 À medida que os valores de entrada aumentam, os gráficos de funções senoidais oscilam entre côncavo para baixo e côncavo para cima.
• 3.5.A.6 O gráfico de $y = \sin\theta$ possui simetria rotacional em relação à origem e, portanto, é uma função ímpar. O gráfico de $y = \cos\theta$ possui simetria reflexiva em relação ao eixo $y$ e, portanto, é uma função par.

Objetivo de Aprendizagem 3.6.A: Identificar a amplitude, o deslocamento vertical, o período e o deslocamento de fase de uma função senoidal.

• 3.6.A.1 Funções que podem ser escritas na forma $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ ou $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, onde $a, b, c,$ e $d$ são números reais e $a \neq 0$, são funções senoidais e representam transformações das funções seno e cosseno. As transformações aditivas e multiplicativas são as mesmas para o seno e o cosseno, pois a função cosseno é um deslocamento de fase da função seno em $-\dfrac{\pi}{2}$ unidades.
• 3.6.A.2 O gráfico da transformação aditiva $g(\theta) = \sin\theta + d$ da função seno $f(\theta) = \sin\theta$ é uma translação vertical do gráfico de $f$, incluindo sua linha central, em $d$ unidades. A mesma transformação aplicada à função cosseno produz o mesmo resultado.
• 3.6.A.3 O gráfico da transformação aditiva $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ da função seno $f(\theta) = \sin\theta$ é uma translação horizontal, ou deslocamento de fase, do gráfico de $f$ em $-c$ unidades. A mesma transformação aplicada à função cosseno produz o mesmo resultado.
• 3.6.A.4 O gráfico da transformação multiplicativa $g(\theta) = a\sin\theta$ da função seno $f(\theta) = \sin\theta$ é uma dilatação vertical do gráfico de $f$ e difere na amplitude por um fator de $|a|$. A mesma transformação aplicada à função cosseno produz o mesmo resultado.
• 3.6.A.5 O gráfico da transformação multiplicativa $g(\theta) = \sin(b\theta)$ da função seno $f(\theta) = \sin\theta$ é uma dilatação horizontal do gráfico de $f$ e difere no período por um fator de $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. A mesma transformação aplicada à função cosseno produz o mesmo resultado.
• 3.6.A.6 O gráfico de $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ tem amplitude de $|a|$ unidades, período de $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ unidades, deslocamento vertical da linha central de $d$ unidades a partir de $y = 0$, e deslocamento de fase de $-c$ unidades. As mesmas transformações aplicadas à função cosseno produzem os mesmos resultados.

Objetivo de Aprendizagem 3.7.A: Construir modelos de funções senoidais para fenômenos periódicos.

• 3.7.A.1 O menor intervalo de valores de entrada sobre o qual os valores de saída máximos ou mínimos começam a se repetir, ou seja, o intervalo de valores de entrada entre máximos consecutivos ou mínimos consecutivos, pode ser usado para determinar ou estimar o período e a frequência de um modelo de função senoidal.
• 3.7.A.2 Os valores de saída máximo e mínimo podem ser usados para determinar ou estimar a amplitude e o deslocamento vertical de um modelo de função senoidal.
• 3.7.A.3 Um par real de valores de entrada-saída pode ser comparado a pares de valores de entrada-saída gerados por um modelo de função senoidal para determinar ou estimar um deslocamento de fase para o modelo.
• 3.7.A.4 Modelos de funções senoidais podem ser construídos para um conjunto de dados usando tecnologia, estimando valores-chave ou utilizando regressão senoidal.
• 3.7.A.5 Funções senoidais que modelam um conjunto de dados frequentemente são úteis apenas dentro de seu domínio contextual e podem ser usadas para prever valores da variável dependente a partir de valores da variável independente.

Objetivo de Aprendizagem 3.8.A: Construir representações da função tangente usando o círculo unitário.

• 3.8.A.1 Dado um ângulo de medida $\theta$ na posição padrão e um círculo unitário centrado na origem, há um ponto, $P$, onde o raio terminal intersecta o círculo. A função tangente, $f(\theta) = \tan\theta$, fornece a inclinação (coeficiente angular) do raio terminal.
• 3.8.A.2 Como a inclinação do raio terminal é a razão entre a variação nos valores de $y$ e a variação nos valores de $x$ entre quaisquer dois pontos no raio, a função tangente também é a razão entre a função seno e a função cosseno. Portanto, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, onde $\cos\theta \neq 0$.

Objetivo de Aprendizagem 3.8.B: Descrever características-chave da função tangente.

• 3.8.B.1 Como os valores de inclinação do raio terminal se repetem a cada meia volta do círculo, a função tangente tem um período de $\pi$.
• 3.8.B.2 A função tangente demonstra comportamento assintótico periódico nos valores de entrada $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, para valores inteiros de $k$, porque $\cos\theta = 0$ nesses valores.
• 3.8.B.3 A função tangente cresce e seu gráfico muda de côncavo para baixo para côncavo para cima entre assíntotas consecutivas.

Objetivo de Aprendizagem 3.9.A: Construir representações analíticas e gráficas da inversa das funções seno, cosseno e tangente em um domínio restrito.

• 3.9.A.1 Para funções trigonométricas inversas, os valores de entrada e saída são invertidos em relação às suas funções trigonométricas correspondentes, de modo que o valor de saída de uma função trigonométrica inversa é frequentemente interpretado como uma medida de ângulo e a entrada é um valor no alcance da função trigonométrica correspondente.
• 3.9.A.2 As funções trigonométricas inversas são chamadas de arcosseno, arcocosseno e arcotangente (também representadas como $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ e $\tan^{-1}x$). Como as funções trigonométricas correspondentes são periódicas, elas são apenas invertíveis se tiverem domínios restritos.
• 3.9.A.3 A fim de definir suas respectivas funções inversas, o domínio da função seno é restringido a $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, o do cosseno a $[0, \pi]$, e o da tangente a $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Objetivo de Aprendizagem 3.10.A: Resolver equações e desigualdades envolvendo funções trigonométricas.

• 3.10.A.1 Funções trigonométricas inversas são úteis na resolução de equações e desigualdades envolvendo funções trigonométricas, mas as soluções podem precisar ser modificadas devido a restrições de domínio.
• 3.10.A.2 Como as funções trigonométricas são periódicas, há frequentemente infinitas soluções para equações trigonométricas.
• 3.10.A.3 Em equações e desigualdades trigonométricas originárias de um cenário contextual, há frequentemente uma restrição de domínio que pode ser implícita no contexto, o que limita o número de soluções.

Objetivo de Aprendizagem 3.11.A: Identificar características-chave de funções que envolvem quocientes das funções seno e cosseno.

• 3.11.A.1 A função secante, $f(\theta) = \sec\theta$, é o recíproco da função cosseno, onde $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 A função cossecante, $f(\theta) = \csc\theta$, é o recíproco da função seno, onde $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Os gráficos das funções secante e cossecante possuem assíntotas verticais onde o cosseno e o seno são zero, respectivamente, e possuem contradomínio de $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 A função cotaangente, $f(\theta) = \cot\theta$, é o recíproco da função tangente, onde $\tan\theta \neq 0$. Equivalentemente, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, onde $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 O gráfico da função cotaangente possui assíntotas verticais para valores do domínio onde $\tan\theta = 0$ e é decrescente entre assíntotas consecutivas.

Objetivo de Aprendizagem 3.12.A: Reescrever expressões trigonométricas em formas equivalentes usando a identidade pitagórica.

• 3.12.A.1 O Teorema de Pitágoras pode ser aplicado a triângulos retângulos com pontos na circunferência unitária nas coordenadas $(\cos\theta, \sin\theta)$, resultando na identidade pitagórica: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 A identidade pitagórica pode ser manipulada algebricamente em outras formas envolvendo funções trigonométricas, como $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, e pode ser usada para estabelecer outras relações trigonométricas, como $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, com restrições de domínio apropriadas.

Objetivo de Aprendizagem 3.12.B: Reescrever expressões trigonométricas em formas equivalentes usando identidades de soma de seno e cosseno.

• 3.12.B.1 A identidade de soma para o seno é $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 A identidade de soma para o cosseno é $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 As identidades de soma para seno e cosseno também podem ser usadas como identidades de diferença e de ângulo duplo.
• 3.12.B.4 Propriedades das funções trigonométricas, identidades trigonométricas conhecidas e outras propriedades algébricas podem ser usadas para verificar outras identidades trigonométricas.

Objetivo de Aprendizagem 3.12.C: Resolver equações usando representações analíticas equivalentes de funções trigonométricas.

• 3.12.C.1 Uma forma equivalente específica envolvendo expressões trigonométricas pode tornar informações mais acessíveis.
• 3.12.C.2 Formas trigonométricas equivalentes podem ser úteis na resolução de equações e desigualdades trigonométricas.

Objetivo de Aprendizagem 3.13.A: Determinar a localização de um ponto no plano usando coordenadas retangulares e polares.

• 3.13.A.1 O sistema de coordenadas polares baseia-se em uma grade de círculos centrados na origem e em linhas que passam pela origem. As coordenadas polares são definidas como um par ordenado, $(r, \theta)$, tal que $|r|$ representa o raio do círculo no qual o ponto está localizado, e $\theta$ representa a medida de um ângulo em posição normal cujo raio terminal inclui o ponto. No sistema de coordenadas polares, o mesmo ponto pode ser representado de muitas maneiras.
• 3.13.A.2 As coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares, $(r, \theta)$, podem ser convertidas em coordenadas no sistema de coordenadas retangulares, $(x, y)$, usando $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 As coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas retangulares, $(x, y)$, podem ser convertidas em coordenadas no sistema de coordenadas polares, $(r, \theta)$, usando $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ para $x > 0$ ou $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ para $x < 0$.
• 3.13.A.4 Um número complexo pode ser compreendido como um ponto no plano complexo e pode ser determinado por suas correspondentes coordenadas retangulares ou polares. Quando o número complexo tem as coordenadas retangulares $(a, b)$, ele pode ser expresso como $a + bi$. Quando o número complexo tem coordenadas polares $(r, \theta)$, ele pode ser expresso como $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Objetivo de Aprendizagem 3.14.A: Construir gráficos de funções polares.

• 3.14.A.1 O gráfico da função $r = f(\theta)$ em coordenadas polares consiste em pares entrada-saída de valores onde os valores de entrada são medidas de ângulo e os valores de saída são raios.
• 3.14.A.2 O domínio da função polar $r = f(\theta)$, dado graficamente, pode ser restrito a uma porção desejada da função selecionando pontos finais correspondentes ao ângulo e raio desejados.
• 3.14.A.3 Ao graficar funções polares na forma de $r = f(\theta)$, mudanças nos valores de entrada correspondem a mudanças na medida do ângulo a partir do eixo $x$ positivo, e mudanças nos valores de saída correspondem a mudanças na distância da origem.

Objetivo de Aprendizagem 3.15.A: Descrever características do gráfico de uma função polar.

• 3.15.A.1 Se uma função polar, $r = f(\theta)$, é positiva e crescente ou negativa e decrescente, então a distância entre $f(\theta)$ e a origem está aumentando.
• 3.15.A.2 Se uma função polar, $r = f(\theta)$, é positiva e decrescente ou negativa e crescente, então a distância entre $f(\theta)$ e a origem está diminuindo.
• 3.15.A.3 Para uma função polar, $r = f(\theta)$, se a função muda de crescente para decrescente ou decrescente para crescente em um intervalo, então a função tem um extremo relativo no intervalo correspondente a um ponto relativamente mais próximo ou mais distante da origem.
• 3.15.A.4 A taxa média de variação de $r$ com respeito a $\theta$ sobre um intervalo de $\theta$ é a razão entre a mudança nos valores do raio e a mudança em $\theta$ sobre um intervalo de $\theta$. Graficamente, a taxa média de variação indica a taxa na qual o raio está mudando por radiano.
• 3.15.A.5 A taxa média de variação de $r$ com respeito a $\theta$ sobre um intervalo de $\theta$ pode ser usada para estimar valores da função dentro do intervalo.

Objetivo de Aprendizagem 4.1.A: Construir um gráfico ou tabela de valores para uma função paramétrica representada analyticamente.

• 4.1.A.1 Uma função paramétrica em $\mathbb{R}^2$, o conjunto de todos os pares ordenados de dois números reais, consiste em um conjunto de duas equações paramétricas nas quais duas variáveis dependentes, $x$ e $y$, dependem de uma única variável independente, $t$, chamada de parâmetro.
• 4.1.A.2 Porque as variáveis $x$ e $y$ são dependentes da variável independente, $t$, as coordenadas $(x_i,\, y_i)$ no tempo $t_i$ podem ser escritas como funções de $t$ e podem ser expressas como a única função paramétrica $f(t) = (x(t),\, y(t))$, onde neste caso $x$ e $y$ são nomes de duas funções.
• 4.1.A.3 Uma tabela numérica de valores pode ser gerada para a função paramétrica $f(t) = (x(t),\, y(t))$ avaliando $x_i$ e $y_i$ em vários valores de $t_i$ dentro do domínio.
• 4.1.A.4 Um gráfico de uma função paramétrica pode ser esboçado conectando vários pontos da tabela numérica de valores em ordem crescente de valor de $t$.
• 4.1.A.5 O domínio da função paramétrica $f$ frequentemente é restrito, o que resulta em pontos inicial e final no gráfico de $f$.

Objetivo de Aprendizagem 4.2.A: Identificar características-chave de uma função paramétrica de movimento plano relacionadas à posição.

• 4.2.A.1 Uma função paramétrica dada por $f(t) = (x(t),\, y(t))$ pode ser usada para modelar o movimento de uma partícula no plano. O gráfico dessa função indica a posição de uma partícula no tempo $t$.
• 4.2.A.2 Os extremos horizontais e verticais do movimento de uma partícula podem ser determinados identificando os valores máximos e mínimos das funções $x(t)$ e $y(t)$, respectivamente.
• 4.2.A.3 Os zeros reais da função $x(t)$ correspondem aos interceptos-$y$, e os zeros reais de $y(t)$ correspondem aos interceptos-$x$.

Objetivo de Aprendizagem 4.3.A: Identificar características-chave de uma função paramétrica de movimento plano relacionadas à direção e à taxa de variação.

• 4.3.A.1 À medida que o parâmetro aumenta, a direção do movimento plano de uma partícula pode ser analisada em termos de $x$ e $y$ independentemente. Se $x(t)$ está aumentando ou diminuindo, a direção do movimento é para a direita ou esquerda, respectivamente. Se $y(t)$ está aumentando ou diminuindo, a direção do movimento é para cima ou para baixo, respectivamente.
• 4.3.A.2 Em qualquer ponto dado no plano, a direção do movimento plano pode ser diferente para diferentes valores de $t$.
• 4.3.A.3 A mesma curva no plano pode ser parametrizada de diferentes maneiras e percorrida em diferentes direções com diferentes funções paramétricas.
• 4.3.A.4 Sobre um dado intervalo $[t_1,\, t_2]$ dentro do domínio, a taxa média de variação pode ser calculada para $x(t)$ e $y(t)$ independentemente. A razão da taxa média de variação de $y$ para a taxa média de variação de $x$ dá a inclinação do gráfico entre os pontos na curva correspondentes a $t_1$ e $t_2$, desde que a taxa média de variação de $x(t) \neq 0$.

Objetivo de Aprendizagem 4.4.A: Expressar o movimento ao redor de um círculo ou ao longo de um segmento de reta parametricamente.

• 4.4.A.1 Uma revolução completa anti-horária ao redor do círculo unitário que começa e termina em $(1,\, 0)$ e tem centro na origem pode ser modelada por $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ com domínio $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.4.A.2 Transformações da função paramétrica $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ podem modelar qualquer trajeto circular percorrido no plano.
• 4.4.A.3 Um trajeto linear ao longo do segmento de reta do ponto $(x_1,\, y_1)$ até o ponto $(x_2,\, y_2)$ pode ser parametrizado de muitas maneiras, incluindo o uso de uma posição inicial $(x_1,\, y_1)$ e taxas de variação para $x$ com respeito a $t$ e $y$ com respeito a $t$.

Objetivo de Aprendizagem 4.5.A: Construir um gráfico de uma equação envolvendo duas variáveis.

• 4.5.A.1 Uma equação envolvendo duas variáveis pode descrever implicitamente uma ou mais funções.
• 4.5.A.2 Uma equação envolvendo duas variáveis pode ser grafada encontrando soluções para a equação.
• 4.5.A.3 Resolver uma das variáveis em uma equação envolvendo duas variáveis pode definir uma função cujo gráfico é parte ou todo o gráfico da equação.

Objetivo de Aprendizagem 4.5.B: Determinar como as duas quantidades relacionadas em uma função definida implicitamente variam juntas.

• 4.5.B.1 Para pares ordenados no gráfico de uma função definida implicitamente que estão próximos uns dos outros, se a razão da mudança nas duas variáveis for positiva, então as duas variáveis aumentam simultaneamente ou ambas diminuem; inversamente, se a razão for negativa, então enquanto uma variável aumenta, a outra diminui.
• 4.5.B.2 A taxa de variação de $x$ com respeito a $y$ ou de $y$ com respeito a $x$ pode ser zero, indicando intervalos verticais ou horizontais, respectivamente.

Objetivo de Aprendizagem 4.6.A: Representar seções cônicas com simetria horizontal ou vertical analiticamente.

• 4.6.A.1 Uma parábola com vértice $(h,\, k)$ pode, se $a \neq 0$, ser representada analiticamente como $x - h = a(y - k)^2$ se abrir para a esquerda ou direita, ou como $y - k = a(x - h)^2$ se abrir para cima ou para baixo.
• 4.6.A.2 Uma elipse centrada em $(h,\, k)$ com raio horizontal $a$ e raio vertical $b$ pode ser representada analiticamente como $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$. Um círculo é um caso especial de elipse onde $a = b$.
• 4.6.A.3 Uma hipérbole centrada em $(h,\, k)$ com linhas de simetria vertical e horizontal pode ser representada algebricamente como $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ para uma hipérbole abrindo para a esquerda e direita, ou como $\dfrac{(y - k)^2}{b^2} - \dfrac{(x - h)^2}{a^2} = 1$ para uma hipérbole abrindo para cima e para baixo. As assíntotas são $y - k = \pm \dfrac{b}{a}(x - h)$.

Objetivo de Aprendizagem 4.7.A: Representar uma curva no plano parametricamente.

• 4.7.A.1 Uma parametrização $(x(t),\, y(t))$ para uma função definida implicitamente satisfará, quando $x(t)$ e $y(t)$ forem substituídas por $x$ e $y$, respectivamente, a equação correspondente para cada valor de $t$ no domínio.
• 4.7.A.2 Se $f$ é uma função de $x$, então $y = f(x)$ pode ser parametrizada como $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$. Se $f$ é invertível, sua inversa pode ser parametrizada como $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ para um intervalo apropriado de $t$.

Objetivo de Aprendizagem 4.7.B: Representar seções cônicas parametricamente.

• 4.7.B.1 Uma parábola pode ser parametrizada da mesma forma que qualquer equação que possa ser resolvida para $x$ ou $y$ pode ser parametrizada. Equações que podem ser resolvidas para $x$ podem ser parametrizadas como $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ resolvendo-se para $x$ e substituindo-se $y$ por $t$. Equações que podem ser resolvidas para $y$ podem ser parametrizadas como $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$ resolvendo-se para $y$ e substituindo-se $x$ por $t$.
• 4.7.B.2 Uma elipse pode ser parametrizada usando as funções trigonométricas $x(t) = h + a\cos t$ e $y(t) = k + b\sin t$ para $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.7.B.3 Uma hipérbole pode ser parametrizada usando funções trigonométricas. Para uma hipérbole que abre para a esquerda e direita, as funções são $x(t) = h + a\sec t$ e $y(t) = k + b\tan t$ para $0 \leq t \leq 2\pi$. Para uma hipérbole que abre para cima e para baixo, as funções são $x(t) = h + a\tan t$ e $y(t) = k + b\sec t$ para $0 \leq t \leq 2\pi$.

Objetivo de Aprendizagem 4.8.A: Identificar características de um vetor.

• 4.8.A.1 Um vetor é um segmento de reta orientado. Quando um vetor é colocado no plano, o ponto no início do segmento de reta é chamado de cauda, e o ponto no final do segmento de reta é chamado de cabeça. O comprimento do segmento de reta é a magnitude do vetor.
• 4.8.A.2 Um vetor $\overrightarrow{P_1 P_2}$ com duas componentes pode ser plotado no plano $xy$ de $P_1 = (x_1, y_1)$ a $P_2 = (x_2, y_2)$. O vetor é identificado por $a$ e $b$, onde $a = x_2 - x_1$ e $b = y_2 - y_1$. O vetor pode ser expresso como $\langle a,\, b \rangle$. Um vetor nulo $\langle 0,\, 0 \rangle$ é o caso trivial quando $P_1 = P_2$.
• 4.8.A.3 A direção do vetor é paralela ao segmento de reta da origem até o ponto com coordenadas $(a,\, b)$. A magnitude do vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
• 4.8.A.4 Para um vetor representado geometricamente no plano, as componentes do vetor podem ser encontradas usando trigonometria.

Objetivo de Aprendizagem 4.8.B: Determinar somas e produtos envolvendo vetores.

• 4.8.B.1 A multiplicação de uma constante por um vetor resulta em um novo vetor cujas componentes são encontradas multiplicando-se a constante por cada uma das componentes do vetor original. O novo vetor é paralelo ao vetor original.
• 4.8.B.2 A soma de dois vetores em $\mathbb{R}^2$ é um novo vetor cujas componentes são encontradas somando-se as componentes correspondentes dos vetores originais. O novo vetor pode ser representado graficamente como um vetor cuja cauda corresponde à cauda do primeiro vetor e cuja cabeça corresponde à cabeça do segundo vetor quando a cauda do segundo vetor está localizada na cabeça do primeiro vetor.
• 4.8.B.3 O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos de suas componentes correspondentes. Ou seja, $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$.

Objetivo de Aprendizagem 4.8.C: Determinar um vetor unitário para um vetor dado.

• 4.8.C.1 Um vetor unitário é um vetor de magnitude $1$. Um vetor unitário na mesma direção de um vetor não nulo dado pode ser encontrado multiplicando-se o vetor escalarmente pelo recíproco de sua magnitude.
• 4.8.C.2 O vetor $\langle a,\, b \rangle$ pode ser expresso como $a\vec{i} + b\vec{j}$ em $\mathbb{R}^2$, onde $\vec{i}$ e $\vec{j}$ são vetores unitários nas direções $x$ e $y$, respectivamente. Ou seja, $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ e $\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$.

Objetivo de Aprendizagem 4.8.D: Determinar medidas angulares entre vetores e magnitudes de vetores envolvidos na adição de vetores.

• 4.8.D.1 O produto escalar é geometricamente equivalente ao produto das magnitudes dos dois vetores e do cosseno do ângulo entre eles. Portanto, se o produto escalar de dois vetores não nulos for zero, então os vetores são perpendiculares.
• 4.8.D.2 A Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos podem ser usadas para determinar comprimentos de lados e medidas de ângulos de triângulos formados pela adição de vetores.

Objetivo de Aprendizagem 4.9.A: Representar o movimento plano em termos de funções vetoriais.

• 4.9.A.1 A posição de uma partícula em movimento num plano dada pela função paramétrica $f(t) = (x(t),\, y(t))$ pode ser expressa como uma função vetorial, $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ ou $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$. A magnitude do vetor posição no instante $t$ fornece a distância da partícula à origem.
• 4.9.A.2 A função vetorial $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ pode ser usada para expressar a velocidade de uma partícula em movimento num plano em diferentes instantes, $t$. No instante $t$, o sinal de $x(t)$ indica se a partícula está se movendo para a direita ou para a esquerda, e o sinal de $y(t)$ indica se a partícula está se movendo para cima ou para baixo. A magnitude do vetor velocidade no instante $t$ fornece a rapidez da partícula.

Objetivo de Aprendizagem 4.10.A: Determinar o produto de duas matrizes.

• 4.10.A.1 Uma matriz $n \times m$ é uma disposição organizada consistindo em $n$ linhas e $m$ colunas.
• 4.10.A.2 Duas matrizes podem ser multiplicadas se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. O produto das matrizes é uma nova matriz na qual o componente na $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna é o produto escalar da $i$-ésima linha da primeira matriz e da $j$-ésima coluna da segunda matriz.

Objetivo de Aprendizagem 4.11.A: Determinar a inversa de uma matriz $2 \times 2$.

• 4.11.A.1 A matriz identidade, $I$, é uma matriz quadrada que consiste em $1$s na diagonal da esquerda superior para a direita inferior e $0$s em todas as outras posições.
• 4.11.A.2 Multiplicar uma matriz quadrada pela sua matriz identidade correspondente resulta na matriz quadrada original.
• 4.11.A.3 O produto de uma matriz quadrada e sua inversa, quando existe, é a matriz identidade do mesmo tamanho.
• 4.11.A.4 A inversa de uma matriz $2 \times 2$, quando existe, pode ser calculada com ou sem o uso de tecnologia.

Objetivo de Aprendizagem 4.11.B: Aplicar o valor do determinante à invertibilidade e aos vetores.

• 4.11.B.1 O determinante da matriz $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ é $ad - bc$. O determinante pode ser calculado com ou sem tecnologia e é denotado $\det(A)$.
• 4.11.B.2 Se uma matriz $2 \times 2$ consiste em dois vetores de coluna ou linha de $\mathbb{R}^2$, então o valor absoluto não nulo do determinante da matriz é a área do paralelogramo definido pelos vetores representados nas colunas ou linhas da matriz. Se o determinante for igual a $0$, então os vetores são paralelos.
• 4.11.B.3 A matriz quadrada $A$ possui inversa se, e somente se, $\det(A) \neq 0$.

Objetivo de Aprendizagem 4.12.A: Determinar os vetores de saída de uma transformação linear usando uma matriz $2 \times 2$.

• 4.12.A.1 Uma transformação linear é uma função que mapeia um vetor de entrada para um vetor de saída tal que cada componente do vetor de saída é a soma de múltiplos constantes dos componentes do vetor de entrada.
• 4.12.A.2 Uma transformação linear mapeará o vetor zero no vetor zero.
• 4.12.A.3 Um único vetor em $\mathbb{R}^2$ pode ser expresso como uma matriz $2 \times 1$. Um conjunto de $n$ vetores em $\mathbb{R}^2$ pode ser expresso como uma matriz $2 \times n$.
• 4.12.A.4 Para uma transformação linear, $L$, de $\mathbb{R}^2$ para $\mathbb{R}^2$, existe uma única matriz $2 \times 2$, $A$, tal que $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ para vetores em $\mathbb{R}^2$. Por conseguinte, para uma dada matriz $2 \times 2$, $A$, a função $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ é uma transformação linear de $\mathbb{R}^2$ para $\mathbb{R}^2$.
• 4.12.A.5 A multiplicação de uma matriz de transformação $2 \times 2$, $A$, e uma matriz $2 \times n$ de $n$ vetores de entrada fornece uma matriz $2 \times n$ dos $n$ vetores de saída para a transformação linear $L(\vec{v}) = A\vec{v}$.

Objetivo de Aprendizagem 4.13.A: Determinar a associação entre uma transformação linear e uma matriz.

• 4.13.A.1 A transformação linear que mapeia $\langle x,\, y \rangle$ para $\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$ está associada à matriz $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
• 4.13.A.2 O mapeamento dos vetores unitários em uma transformação linear fornece informações valiosas para determinar a matriz associada.
• 4.13.A.3 A matriz $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ está associada a uma transformação linear de vetores que rotaciona todo vetor em um ângulo $\theta$ no sentido anti-horário em torno da origem.
• 4.13.A.4 O valor absoluto do determinante de uma matriz de transformação $2 \times 2$ dá a magnitude da dilatação de regiões em $\mathbb{R}^2$ sob a transformação.

Objetivo de Aprendizagem 4.13.B: Determinar a composição de duas transformações lineares.

• 4.13.B.1 A composição de duas transformações lineares é uma transformação linear.
• 4.13.B.2 A matriz associada à composição de duas transformações lineares é o produto das matrizes associadas a cada transformação linear.

Objetivo de Aprendizagem 4.13.C: Determinar a inversa de uma transformação linear.

• 4.13.C.1 Duas transformações lineares são inversas se sua composição mapeia qualquer vetor para ele mesmo.
• 4.13.C.2 Se uma transformação linear, $L$, é dada por $L(\vec{v}) = A\vec{v}$, então sua transformação inversa é dada por $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$, onde $A^{-1}$ é a inversa da matriz $A$.

Objetivo de Aprendizagem 4.14.A: Construir um modelo de um cenário envolvendo transições entre dois estados usando matrizes.

• 4.14.A.1 Um cenário contextual pode indicar a taxa de transições entre estados como variações percentuais. Uma matriz pode ser construída com base nessas taxas para modelar como os estados mudam em intervalos discretos.

Objetivo de Aprendizagem 4.14.B: Aplicar modelos matriciais para prever estados futuros e passados para $n$ passos de transição.

• 4.14.B.1 O produto de uma matriz que modela transições entre estados e um vetor de estado correspondente pode prever estados futuros.
• 4.14.B.2 A multiplicação repetida de uma matriz que modela as transições entre estados e vetores de estado resultantes correspondentes pode prever o estado estacionário, uma distribuição entre estados que não muda de um passo para o próximo.
• 4.14.B.3 O produto da inversa de uma matriz que modela transições entre estados e um vetor de estado correspondente pode prever estados passados.