Funções Polinomiais e Racionais

Objetivo de Aprendizagem 1.1.A: Descrever como os valores de entrada e saída de uma função variam juntos comparando valores da função.

• 1.1.A.1 Uma função é uma relação matemática que mapeia um conjunto de valores de entrada para um conjunto de valores de saída de modo que cada valor de entrada seja mapeado para exatamente um valor de saída. O conjunto de valores de entrada é chamado de domínio da função, e o conjunto de valores de saída é chamado de contradomínio (ou imagem) da função. A variável que representa os valores de entrada é chamada de variável independente, e a variável que representa os valores de saída é chamada de variável dependente.
• 1.1.A.2 Os valores de entrada e saída de uma função variam conjuntamente de acordo com a regra da função, que pode ser expressa graficamente, numericamente, analiticamente ou verbalmente.
• 1.1.A.3 Uma função é crescente em um intervalo de seu domínio se, à medida que os valores de entrada aumentam, os valores de saída sempre aumentam. Ou seja, para todos $a$ e $b$ no intervalo, se $a < b$, então $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Uma função é decrescente em um intervalo de seu domínio se, à medida que os valores de entrada aumentam, os valores de saída sempre diminuem. Ou seja, para todos $a$ e $b$ no intervalo, se $a < b$, então $f(a) > f(b)$.

Objetivo de Aprendizagem 1.1.B: Construir um gráfico representando duas quantidades que variam em relação uma à outra em um cenário contextual.

• 1.1.B.1 O gráfico de uma função exibe um conjunto de pares de entrada-saída e mostra como os valores de entrada e saída da função variam.
• 1.1.B.2 Uma descrição verbal da maneira como aspectos de fenômenos mudam juntos pode servir de base para a construção de um gráfico.
• 1.1.B.3 O gráfico de uma função é côncavo para cima em intervalos nos quais a taxa de variação está aumentando.
• 1.1.B.4 O gráfico de uma função é côncavo para baixo em intervalos nos quais a taxa de variação está diminuindo.
• 1.1.B.5 O gráfico intersecta o eixo $x$ quando o valor de saída é zero. Os valores de entrada correspondentes são ditos ser zeros da função.

Objetivo de Aprendizagem 1.2.A: Comparar as taxas de variação em dois pontos usando taxas de variação médias próximas aos pontos.

• 1.2.A.1 A taxa de variação média de uma função sobre um intervalo do domínio da função é a taxa de variação constante que produz a mesma mudança nos valores de saída que a função produziu naquele intervalo do seu domínio. É a razão entre a mudança nos valores de saída e a mudança nos valores de entrada sobre esse intervalo.
• 1.2.A.2 A taxa de variação de uma função em um ponto quantifica a taxa na qual os valores de saída mudariam se os valores de entrada changessem naquele ponto. A taxa de variação em um ponto pode ser aproximada pelas taxas de variação médias da função sobre pequenos intervalos contendo o ponto, se tais valores existirem.
• 1.2.A.3 As taxas de variação em dois pontos podem ser comparadas usando aproximações de taxa de variação média sobre intervalos suficientemente pequenos contendo cada ponto, se tais valores existirem.

Objetivo de Aprendizagem 1.2.B: Descrever como duas quantidades variam juntas em diferentes pontos e sobre diferentes intervalos de uma função.

• 1.2.B.1 Taxas de variação quantificam como duas quantidades variam juntas.
• 1.2.B.2 Uma taxa de variação positiva indica que, à medida que uma quantidade aumenta ou diminui, a outra quantidade faz o mesmo.
• 1.2.B.3 Uma taxa de variação negativa indica que, à medida que uma quantidade aumenta, a outra diminui.

Objetivo de Aprendizagem 1.3.A: Determinar as taxas de variação médias para sequências e funções, incluindo funções lineares, quadráticas e outros tipos de função.

• 1.3.A.1 Para uma função linear, a taxa de variação média sobre qualquer intervalo de comprimento de valor de entrada é constante.
• 1.3.A.2 Para uma função quadrática, as taxas de variação média sobre intervalos consecutivos de comprimento igual de valores de entrada podem ser dadas por uma função linear.
• 1.3.A.3 A taxa de variação média sobre o intervalo fechado $[a, b]$ é a inclinação da reta secante do ponto $(a, f(a))$ até $(b, f(b))$.

Objetivo de Aprendizagem 1.3.B: Determinar a mudança nas taxas de variação médias para funções lineares, quadráticas e outros tipos de função.

• 1.3.B.1 Para uma função linear, já que as taxas de variação média sobre intervalos consecutivos de comprimento igual de valores de entrada podem ser dadas por uma função constante, essas taxas de variação média para uma função linear estão mudando a uma taxa de zero.
• 1.3.B.2 Para uma função quadrática, já que as taxas de variação média sobre intervalos consecutivos de comprimento igual de valores de entrada podem ser dadas por uma função linear, essas taxas de variação média para uma função quadrática estão mudando a uma taxa constante.
• 1.3.B.3 Quando a taxa média de variação sobre intervalos de valor de entrada de comprimento igual aumenta para todos os pequenos intervalos, o gráfico da função é côncavo para cima. Quando a taxa média de variação sobre intervalos de valor de entrada de comprimento igual diminui para todos os pequenos intervalos, o gráfico da função é côncavo para baixo.

Objetivo de Aprendizagem 1.4.A: Identificar características-chave de funções polinomiais relacionadas às taxas de variação.

• 1.4.A.1 Uma função polinomial não constante de $x$ é qualquer representação funcional que seja equivalente à forma analítica $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, onde $n$ é um inteiro positivo, $a_i$ é um número real para cada $i$ de $1$ a $n$, e $a_n$ é diferente de zero. O polinômio tem grau $n$, o termo líder é $a_n x^n$, e o coeficiente líder é $a_n$. Uma constante também é uma função polinomial de grau zero.
• 1.4.A.2 Onde uma função polinomial alterna entre crescimento e decrescimento, ou na extremidade incluída de um polinômio com domínio restrito, a função polinomial terá um valor de saída local ou relativo máximo ou mínimo. De todos os máximos locais, o maior é chamado de global ou absoluto máximo. Da mesma forma, o menor de todos os mínimos locais é chamado de global ou absoluto mínimo.
• 1.4.A.3 Entre cada dois zeros reais distintos de uma função polinomial não constante, deve haver pelo menos um valor de entrada correspondente a um máximo local ou mínimo local.
• 1.4.A.4 Funções polinomiais de grau par terão um máximo global ou um mínimo global.
• 1.4.A.5 Pontos de inflexão de uma função polinomial ocorrem em valores de entrada onde a taxa de variação da função muda de aumento para diminuição ou de diminuição para aumento. Isso ocorre onde o gráfico de uma função polinomial muda de côncavo para cima para côncavo para baixo ou de côncavo para baixo para côncavo para cima.

Objetivo de Aprendizagem 1.5.A: Identificar características-chave de uma função polinomial relacionadas aos seus zeros quando fatorações adequadas estão disponíveis ou com tecnologia.

• 1.5.A.1 Se $a$ é um número complexo e $p(a) = 0$, então $a$ é chamado de zero da função polinomial $p$, ou raiz de $p(x) = 0$. Se $a$ é um número real, então $(x - a)$ é um fator linear de $p$ se, e somente se, $a$ for um zero de $p$.
• 1.5.A.2 Se um fator linear $(x - a)$ for repetido $n$ vezes, o zero correspondente da função polinomial terá uma multiplicidade $n$. Uma função polinomial de grau $n$ tem exatamente $n$ zeros complexos quando contados multiplicidades.
• 1.5.A.3 Se $a$ é um zero real de uma função polinomial $p$, então o gráfico de $y = p(x)$ tem uma interceptação $x$ no ponto $(a, 0)$. Consequentemente, zeros reais de um polinômio podem ser extremos para intervalos satisfazendo desigualdades polinomiais.
• 1.5.A.4 Se $a + bi$ é um zero não-real de uma função polinomial $p$, então seu conjugado $a - bi$ também é um zero de $p$.
• 1.5.A.5 Se o zero real, $a$, de uma função polinomial tem multiplicidade par, então os sinais dos valores de saída são os mesmos para valores de entrada próximos a $x = a$. Para essas funções polinomiais, o gráfico será tangente ao eixo-$x$ em $x = a$.
• 1.5.A.6 O grau de uma função polinomial pode ser encontrado examinando as diferenças sucessivas dos valores de saída sobre valores de entrada de intervalo igual. O grau da função polinomial é igual ao menor valor $n$ para o qual as diferenças $n$-ésimas sucessivas são constantes.

Objetivo de Aprendizagem 1.5.B: Determinar se uma função polinomial é par ou ímpar.

• 1.5.B.1 Uma função par é graficamente simétrica em relação à linha $x = 0$ e analiticamente tem a propriedade $f(-x) = f(x)$. Se $n$ é par, então um polinômio da forma $p(x) = a_n x^n$, onde $n \geq 1$ e $a_n \neq 0$, é uma função par.
• 1.5.B.2 Uma função ímpar é graficamente simétrica em relação ao ponto $(0, 0)$ e analiticamente possui a propriedade $f(-x) = -f(x)$. Se $n$ é ímpar, então um polinômio da forma $p(x) = a_n x^n$, onde $n \geq 1$ e $a_n \neq 0$, é uma função ímpar.

Objetivo de Aprendizagem 1.6.A: Descrever comportamentos extremos de funções polinomiais.

• 1.6.A.1 À medida que os valores de entrada de uma função polinomial não constante aumentam sem limite, os valores de saída aumentarão ou diminuirão sem limite. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 À medida que os valores de entrada de uma função polinomial não constante diminuem sem limite, os valores de saída aumentarão ou diminuirão sem limite. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 O grau e o sinal do termo líder de um polinômio determinam o comportamento extremo da função polinomial, pois, à medida que os valores de entrada aumentam ou diminuem sem limite, os valores do termo líder dominam os valores de todos os termos de graus inferiores.

Objetivo de Aprendizagem 1.7.A: Descrever comportamentos extremos de funções racionais.

• 1.7.A.1 Uma função racional é representada analiticamente como um quociente de duas funções polinomiais e fornece uma medida do tamanho relativo da função polinomial no numerador comparado à função polinomial no denominador para cada valor no domínio da função racional.
• 1.7.A.2 O comportamento extremo de uma função racional será mais afetado pelo polinômio com maior grau, pois seus valores dominarão os valores da função racional para valores de entrada de grande magnitude. Para valores de entrada de grande magnitude, um polinômio é dominado por seu termo líder. Portanto, o comportamento extremo de uma função racional pode ser compreendido examinando o quociente correspondente dos termos líderes.
• 1.7.A.3 Se o polinômio no numerador domina o polinômio no denominador para valores de entrada de grande magnitude, então o quociente dos termos líderes é um polinômio não constante, e a função racional original tem o comportamento extremo desse polinômio. Se esse polinômio for linear, então o gráfico da função racional terá uma assíntota oblíqua paralela ao gráfico da reta.
• 1.7.A.4 Se nenhum polinômio em uma função racional domina o outro para valores de entrada de grande magnitude, então o quociente dos termos líderes é uma constante, e essa constante indica a localização de uma assíntota horizontal do gráfico da função racional original.
• 1.7.A.5 Se o polinômio no denominador domina o polinômio no numerador para valores de entrada de grande magnitude, então o quociente dos termos líderes é uma função racional com uma constante no numerador e um polinômio não constante no denominador, e o gráfico da função racional original tem uma assíntota horizontal em $y = 0$.
• 1.7.A.6 Quando o gráfico de uma função racional $r$ tem uma assíntota horizontal em $y = b$, onde $b$ é uma constante, os valores de saída da função racional aproximam-se arbitrariamente de $b$ e permanecem arbitrariamente próximos de $b$ à medida que os valores de entrada aumentam ou diminuem sem limite. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ ou $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Objetivo de Aprendizagem 1.8.A: Determinar os zeros de funções racionais.

• 1.8.A.1 Os zeros reais de uma função racional correspondem aos zeros reais do numerador para tais valores em seu domínio.
• 1.8.A.2 Os zeros reais de ambas as funções polinomiais de uma função racional $r$ são extremos ou assíntotas para intervalos que satisfazem as desigualdades da função racional $r(x) \geq 0$ ou $r(x) \leq 0$.

Objetivo de Aprendizagem 1.9.A: Determinar as assíntotas verticais de gráficos de funções racionais.

• 1.9.A.1 Se o valor $a$ é um zero real da função polinomial no denominador de uma função racional e não é também um zero real da função polinomial no numerador, então o gráfico da função racional tem uma assíntota vertical em $x = a$. Além disso, uma assíntota vertical também ocorre em $x = a$ se a multiplicidade de $a$ como um zero real no denominador for maior do que sua multiplicidade como um zero real no numerador.
• 1.9.A.2 Perto de uma assíntota vertical, $x = a$, de uma função racional, os valores da função polinomial no denominador são arbitrariamente próximos de zero, portanto os valores da função racional $r$ aumentam ou diminuem sem limite. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ para valores de entrada próximos a $a$ e maiores que $a$, e $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ para valores de entrada próximos a $a$ e menores que $a$.

Objetivo de Aprendizagem 1.10.A: Determinar buracos em gráficos de funções racionais.

• 1.10.A.1 Se a multiplicidade de um zero real no numerador for maior ou igual à sua multiplicidade no denominador, então o gráfico da função racional possui um buraco no valor de entrada correspondente.
• 1.10.A.2 Se o gráfico de uma função racional $r$ tem um buraco em $x = c$, então a localização do buraco pode ser determinada examinando os valores de saída correspondentes a valores de entrada suficientemente próximos de $c$. Se valores de entrada suficientemente próximos de $c$ correspondem a valores de saída arbitrariamente próximos de $L$, então o buraco está localizado no ponto com coordenadas $(c, L)$. A notação matemática correspondente é $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Deve-se notar que $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Objetivo de Aprendizagem 1.11.A: Reescrever expressões polinomiais e racionais em formas equivalentes.

• 1.11.A.1 Como a forma fatorada de um polinômio ou função racional fornece prontamente informações sobre zeros reais, ela pode revelar informações sobre interceptações $x$, assíntotas, buracos, domínio e intervalo.
• 1.11.A.2 A forma padrão de um polinômio ou função racional pode revelar informações sobre os comportamentos nos extremos da função.
• 1.11.A.3 As informações extraídas de diferentes representações analíticas do mesmo polinômio ou função racional podem ser usadas para responder a questões em contexto.

Objetivo de Aprendizagem 1.11.B: Determinar o quociente de duas funções polinomiais usando divisão longa.

• 1.11.B.1 A divisão longa de polinômios é um processo algébrico semelhante à divisão longa numérica, envolvendo um quociente e um resto. Se o polinômio $f$ é dividido pelo polinômio $g$, então $f$ pode ser reescrito como $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, onde $q$ é o quociente, $r$ é o resto, e o grau de $r$ é menor que o grau de $g$.
• 1.11.B.2 O resultado da divisão longa de polinômios é útil para encontrar equações de assíntotas oblíquas para gráficos de funções racionais.

Objetivo de Aprendizagem 1.11.C: Reescrever o produto repetido de binômios usando o teorema do binômio.

• 1.11.C.1 O teorema do binômio utiliza as entradas de uma única linha do Triângulo de Pascal para expandir mais facilmente expressões da forma $(a + b)^n$, incluindo funções polinomiais da forma $p(x) = (x + c)^n$, onde $c$ é uma constante.

Objetivo de Aprendizagem 1.12.A: Construir uma função que seja uma transformação aditiva e/ou multiplicativa de outra função.

• 1.12.A.1 A função $g(x) = f(x) + k$ é uma transformação aditiva da função $f$ que resulta em uma translação vertical do gráfico de $f$ por $k$ unidades.
• 1.12.A.2 A função $g(x) = f(x + h)$ é uma transformação aditiva da função $f$ que resulta em uma translação horizontal do gráfico de $f$ por $-h$ unidades.
• 1.12.A.3 A função $g(x) = a f(x)$, onde $a \neq 0$, é uma transformação multiplicativa da função $f$ que resulta em uma dilatação vertical do gráfico de $f$ por um fator de $|a|$. Se $a < 0$, a transformação envolve uma reflexão sobre o eixo $x$.
• 1.12.A.4 A função $g(x) = f(bx)$, onde $b \neq 0$, é uma transformação multiplicativa da função $f$ que resulta em uma dilatação horizontal do gráfico de $f$ por um fator de $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Se $b < 0$, a transformação envolve uma reflexão sobre o eixo $y$.
• 1.12.A.5 Transformações aditivas e multiplicativas podem ser combinadas, resultando em combinações de translações horizontais e verticais e dilatações.
• 1.12.A.6 O domínio e a imagem de uma função que é uma transformação de uma função pai podem ser diferentes daqueles da função pai.

Objetivo de Aprendizagem 1.13.A: Identificar um tipo de função adequado para construir um modelo de função para um cenário dado.

• 1.13.A.1 Funções lineares modelam conjuntos de dados ou aspectos de cenários contextuais que demonstram taxas de variação aproximadamente constantes.
• 1.13.A.2 Funções quadráticas modelam conjuntos de dados ou aspectos de cenários contextuais que demonstram taxas de variação aproximadamente lineares, ou conjuntos de dados que são aproximadamente simétricos com um valor máximo ou mínimo único.
• 1.13.A.3 Contextos geométricos envolvendo área ou duas dimensões podem frequentemente ser modelados por funções quadráticas. Contextos geométricos envolvendo volume ou três dimensões podem frequentemente ser modelados por funções cúbicas.
• 1.13.A.4 Funções polinomiais modelam conjuntos de dados ou cenários contextuais com múltiplos zeros reais ou múltiplos máximos ou mínimos.
• 1.13.A.5 Uma função polinomial de grau $n$ modela conjuntos de dados ou cenários contextuais que demonstram diferenças de ordem $n$ aproximadamente constantes e não nulas.
• 1.13.A.6 Uma função polinomial de grau $n$ ou menos pode ser usada para modelar um gráfico de $n + 1$ pontos com valores de entrada distintos.
• 1.13.A.7 Uma função definida por partes consiste em um conjunto de funções definidas sobre intervalos de domínio não sobrepostos e é útil para modelar um conjunto de dados ou cenário contextual que demonstra características diferentes em diferentes intervalos.

Objetivo de Aprendizagem 1.13.B: Descrever suposições e restrições relacionadas à construção de um modelo de função.

• 1.13.B.1 Um modelo pode ter suposições subjacentes sobre o que é consistente no modelo.
• 1.13.B.2 Um modelo pode ter suposições subjacentes sobre como as quantidades mudam juntas.
• 1.13.B.3 Um modelo pode exigir restrições de domínio baseadas em pistas matemáticas, pistas contextuais ou valores extremos no conjunto de dados.
• 1.13.B.4 Um modelo pode exigir restrições de imagem, como arredondamento de valores, baseadas em pistas matemáticas, pistas contextuais ou valores extremos no conjunto de dados.

Objetivo de Aprendizagem 1.14.A: Construir um modelo linear, quadrático, cúbico, quártico, polinomial de grau $n$, ou função definida por partes relacionada.

• 1.14.A.1 Um modelo pode ser construído com base em restrições identificadas em um cenário matemático ou contextual.
• 1.14.A.2 Um modelo de um conjunto de dados ou cenário contextual pode ser construído usando transformações da função pai.
• 1.14.A.3 Um modelo de um conjunto de dados pode ser construído usando tecnologia e regressões, incluindo regressões lineares, quadráticas, cúbicas e quárticas.
• 1.14.A.4 Um modelo de função definida por partes pode ser construído através de uma combinação de técnicas de modelagem.

Objetivo de Aprendizagem 1.14.B: Construir um modelo de função racional baseado em um contexto.

• 1.14.B.1 Conjuntos de dados e aspectos de cenários contextuais envolvendo quantidades que são inversamente proporcionais podem frequentemente ser modelados por funções racionais. Por exemplo, as magnitudes tanto da força gravitacional quanto da força eletromagnética entre objetos são inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre os objetos.

Objetivo de Aprendizagem 1.14.C: Aplicar um modelo de função para responder a perguntas sobre um conjunto de dados ou cenário contextual.

• 1.14.C.1 Um modelo pode ser usado para tirar conclusões sobre o conjunto de dados ou cenário contextual modelado, incluindo responder a perguntas principais e prever valores, taxas de variação, taxas de variação médias e taxas de variação changeantes. Unidades de medida apropriadas devem ser extraídas ou inferidas do contexto fornecido.