Exponential and Logarithmic Equations · Equações Exponenciais e Logarítmicas
| English | Português |
|---|---|
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | equação exponencial |
| logarithmic equation/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ɪˈkweɪʒn/ | equação logarítmica |
| extraneous/ekˈstreɪnɪəs/ | extrânea |
Finding a hidden exponent
- "$2$ to what power equals $5$?" is an equation with the unknown up in the exponent.
- You cannot just divide it out — the variable is trapped inside a power.
- Logarithms are the tool that frees it, and exponential form frees log equations.
- Between these two moves, you can solve almost any exponential or log equation.
Encontrando um expoente escondido
- "$2$ elevado a que potência resulta em $5$?" é uma equação com a incógnita no expoente.
- Você não pode simplesmente dividir para tirá-la — a variável está aprisionada dentro de uma potência.
- Logaritmos são a ferramenta que a liberta, e a forma exponencial liberta as equações logarítmicas.
- Entre esses dois movimentos, você pode resolver quase qualquer equação exponencial ou logarítmica.
Solving exponential equations
- An exponential equation 指数方程 has the variable in an exponent, like $2^x = 8$.
- If both sides can share a base, match them: $2^x = 2^3$ gives $x = 3$.
- If the bases will not match, take a logarithm of both sides.
- The power rule then brings the exponent down where you can solve for it.
Resolvendo equações exponenciais
- Uma equação exponencial 指数方程 tem a variável em um expoente, como $2^x = 8$.
- Se ambos os lados puderem compartilhar uma base, iguale-as: $2^x = 2^3$ resulta em $x = 3$.
- Se as bases não combinarem, tire um logaritmo de ambos os lados.
- A lei da potência então traz o expoente para baixo onde você pode resolvê-lo.
Find where the exponential reaches a target value · Encontrar onde a exponencial atinge um valor alvo
y = 2ˣ
Solving 2ˣ = 5 means finding the x where this curve hits height 5. A logarithm gives that x exactly. · Resolver 2ˣ = 5 significa encontrar o x onde esta curva atinge altura 5. Um logaritmo fornece esse x exatamente.
Solve $2^x = 8$ by matching bases. · Resolva $2^x = 8$ igualando as bases.
$8 = 2^3$, so $2^x = 2^3$ gives $x = 3$ — equal bases mean equal exponents. · $8 = 2^3$, então $2^x = 2^3$ dá $x = 3$ — bases iguais significam expoentes iguais.
To solve $2^x = 5$, where the bases will not match, you should… · Para resolver $2^x = 5$, onde as bases não coincidirão, você deve…
Taking $\log$ of both sides brings the exponent down: $x = \log_2 5 \approx 2.32$. · Tirar $\log$ de ambos os lados traz o expoente para baixo: $x = \log_2 5 \approx 2.32$.
Solving logarithmic equations
- A logarithmic equation 对数方程 has the variable inside a log, like $\log_2 x = 4$.
- Rewrite it in exponential form: $\log_2 x = 4$ means $x = 2^4 = 16$.
- If several logs appear, condense them into one first, then convert.
- Exponential form is the master key for any single-log equation.
Resolvendo equações logarítmicas
- Uma equação logarítmica 对数方程 tem a variável dentro de um logaritmo, como $\log_2 x = 4$.
- Reescreva-a na forma exponencial: $\log_2 x = 4$ significa $x = 2^4 = 16$.
- Se houver vários logaritmos, condense-os em um primeiro, depois converta.
- A forma exponencial é a chave mestra para qualquer equação de logaritmo único.
Solve the logarithmic equation $\log_2 x = 4$. · Resolva a equação logarítmica $\log_2 x = 4$.
Rewrite in exponential form: $x = 2^4 = 16$. · Reescreva na forma exponencial: $x = 2^4 = 16$.
Check for extraneous solutions
- Solving can produce a candidate that breaks the original equation's domain.
- A logarithm needs a positive argument, so any solution giving $\log(\text{negative})$ is rejected.
- Such a false answer is called an extraneous 增根 solution.
- Always substitute back and confirm every argument stays positive.
Verifique soluções extrañas
- Resolver pode gerar um candidato que viola o domínio da equação original.
- Um logaritmo precisa de um argumento positivo, então qualquer solução que resulte em $\log(\text{negative})$ é rejeitada.
- Tal resposta falsa é chamada de solução extraña 增根.
- Sempre substitua de volta e confirme que todos os argumentos permanecem positivos.
A candidate solution that makes a log argument negative must be rejected as ____. · Uma solução candidata que torne o argumento de um log negativo deve ser rejeitada como ____.
An extraneous solution satisfies the rearranged equation but breaks the original domain — always check. · Uma solução extrânea satisfaz a equação rearranjada, mas viola o domínio original — sempre verifique.
Select all · todos true statements about solving these equations. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre a resolução dessas equações.
Some candidates are extraneous and must be rejected. The other three are sound strategies. · Algumas candidatas são extraneas e devem ser rejeitadas. As outras três são estratégias sólidas.
Inequalities
- Exponential and logarithmic functions are monotonic — always increasing or always decreasing.
- So an inequality like $2^x > 8$ solves the same way, keeping the direction: $x > 3$.
- For a decreasing base ($0 < b < 1$), the inequality sign flips.
- Solve as an equation first, then decide which side of the boundary satisfies it.
Desigualdades
- Funções exponenciais e logarítmicas são monótonas — sempre crescentes ou sempre decrescentes.
- Então uma desigualdade como $2^x > 8$ resolve da mesma forma, mantendo a direção: $x > 3$.
- Para uma base decrescente ($0 < b < 1$), o sinal da desigualdade inverte.
- Resolva como uma equação primeiro, depois decida qual lado da fronteira satisfaz.
Never forget to check log-equation answers. Solving $\log(x) + \log(x-3) = 1$ may hand you $x = 5$ and $x = -2$, but $x = -2$ makes $\log(-2)$ undefined — it is extraneous and must be thrown out.
Nunca esqueça de verificar respostas de equações logarítmicas. Resolver $\log(x) + \log(x-3) = 1$ pode te entregar $x = 5$ e $x = -2$, mas $x = -2$ torna $\log(-2)$ indefinido — é extraño e deve ser descartado.
Solve $2^x = 5$.
- Bases will not match, so take $\log_2$ of both sides.
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$, and the left side simplifies to $x$.
- So $x = \log_2 5 \approx 2.32$ — the exponent the logarithm revealed.
Resolva $2^x = 5$.
- As bases não vão combinar, então tire $\log_2$ de ambos os lados.
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$, e o lado esquerdo simplifica para $x$.
- Então $x = \log_2 5 \approx 2.32$ — o expoente revelado pelo logaritmo.
Solve an exponential equation by matching bases, or by taking a logarithm to bring the exponent down. Solve a logarithmic equation by rewriting it in exponential form. Always check for extraneous solutions, since a log's argument must stay positive.
Resolva uma equação exponencial igualando bases, ou tirando um logaritmo para trazer o expoente para baixo. Resolva uma equação logarítmica reescrevendo-a na forma exponencial. Sempre verifique soluções extrañas, pois o argumento de um logaritmo deve permanecer positivo.