Evaluating Improper Integrals · Avaliando Integrais Impróprias
| English | Português |
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| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | integral imprópria |
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | limite infinito |
| unbounded integrand/ʌnˈbaʊndɪd ˈɪntɪɡrænd/ | integrando não limitado |
Integrating over the infinite (or the unbounded)
- A normal definite integral has finite limits and a finite integrand. An improper integral 反常积分 breaks one of those.
- Two ways it goes improper: an infinite limit 无穷极限 of integration (like $\int_1^\infty$), or an unbounded integrand 无界被积函数 (a vertical asymptote inside the interval).
- We can't just "plug in $\infty$" or evaluate at a blow-up, so we use a limit.
- The integral converges if that limit is a finite number, and diverges otherwise.
Integrando sobre o infinito (ou o ilimitado)
- Uma integral definida normal tem limites finitos e um integrando finito. Uma integral imprópria 反常积分 viola uma dessas condições.
- Duas formas como fica imprópria: um limite infinito 无穷极限 de integração (como $\int_1^\infty$), ou um integrando ilimitado 无界被积函数 (uma assíntota vertical dentro do intervalo).
- Não podemos apenas "substituir $\infty$" ou avaliar num ponto de explosão, então usamos um limite.
- A integral converge se esse limite for um número finito, e diverge caso contrário.
An integral is improper when... · Uma integral é imprópria quando...
Infinite limit or unbounded integrand → improper. · Limite infinito ou integrando ilimitado → imprópria.
You can evaluate an improper integral by directly substituting $\infty$ into the antiderivative. · Você pode avaliar uma integral imprópria substituindo diretamente $\infty$ na antiderivada.
You must take a limit instead. · Você deve tomar um limite em vez disso.
Infinite limits → a limit
- Replace the infinite limit with a variable, integrate, then let it run to infinity:
-
$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Compute the ordinary integral up to $b$, then take the limit as $b\to\infty$.
- If the limit is finite, the improper integral converges to it.
Limites infinitos → um limite
- Substitua o limite infinito por uma variável, integre, depois deixe-a correr até o infinito:
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$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Calcule a integral ordinária até $b$, depois tome o limite quando $b\to\infty$.
- Se o limite for finito, a integral imprópria converge para ele.
The infinite tail under 1/x² · A cauda infinita sob 1/x²
y = 1/x²
The area under $1/x^2$ from $1$ to · até $\infty$ is finite ($=1$) even though the region never ends — a convergent improper integral. · A área sob $1/x^2$ de $1$ a $\infty$ é finita ($=1$) mesmo que a região nunca termine — uma integral imprópria convergente.
$\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ is defined as... · $\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ é definido como...
It is the limit of the proper integral. · É o limite da integral própria.
Unbounded integrand → a limit at the trouble point
- If $f$ blows up at an endpoint $c$, approach it with a limit instead of evaluating there:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (and similarly from the other side).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ is improper at $0$ — take $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$.
- Same principle: sneak up on the singularity with a limit.
Integrando ilimitado → um limite no ponto problemático
- Se $f$ explode em uma extremidade $c$, aproxime-se com um limite em vez de avaliar lá:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (e similarmente do outro lado).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ é impróprio em $0$ — tome $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$.
- Mesmo princípio: aproxime-se da singularidade com um limite.
Evaluate · Avaliar $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$. · Avalie $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
$\lim_{b\to\infty}(1-\tfrac1b)=1$.
Converge or diverge
- Converges: the limit is a finite number — that number is the value.
- Diverges: the limit is infinite or does not exist — the integral has no finite value.
- A famous pair: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ diverges, but $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ converges (to $1$).
- The difference — same-looking integrands, opposite fates — is the whole point.
Converge ou diverge
- Converge: o limite é um número finito — esse número é o valor.
- Diverge: o limite é infinito ou não existe — a integral não tem valor finito.
- Um par famoso: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ diverge, mas $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ converge (para $1$).
- A diferença — integrandos com aparência semelhante, destinos opostos — é o ponto central.
What happens to $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$? · O que acontece com $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$?
$\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → diverges. · $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → diverge.
An improper integral ____ if its defining limit is a finite number. · Uma integral imprópria ____ se seu limite definidor for um número finito.
Finite limit → converges. · Limite finito → converge.
You cannot treat an improper integral like a normal one — plugging in $\infty$ or a blow-up point is meaningless. Always rewrite it as a limit and evaluate that limit. And spot interior singularities: if the integrand blows up inside $[a,b]$, split the integral at that point and handle each piece separately.
Você não pode tratar uma integral imprópria como uma normal — substituir $\infty$ ou um ponto de explosão não tem sentido. Sempre reescreva como um limite e avalie esse limite. E identifique singularidades internas: se o integrando explode dentro de $[a,b]$, divida a integral nesse ponto e trate cada peça separadamente.
Evaluate $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
- Rewrite: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- The limit is finite, so the integral converges to $1$.
Avalie $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
- Reescreva: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- O limite é finito, então a integral converge para $1$.
An improper integral has an infinite limit or an unbounded integrand. Rewrite it as a limit of a proper integral: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (or a limit approaching a singularity). It converges if the limit is finite, and diverges otherwise.
Uma integral imprópria tem um limite infinito ou um integrando ilimitado. Reescreva-a como um limite de uma integral própria: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (ou um limite aproximando uma singularidade). Ela converge se o limite for finito, e diverge caso contrário.