Connecting Position, Velocity, and Acceleration of Functions Using Integrals · Conectando Posição, Velocidade e Aceleração de Funções Usando Integrais
| English | Português |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | posição |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | Deslocamento |
Motion, now run through integrals
- Unit 4 went position → velocity → acceleration by differentiating. Integration goes backward.
- Integrate acceleration to recover velocity; integrate velocity to recover position 位置.
- Each step adds up a rate to get the quantity it changes.
- So integrals rebuild the motion story from the rates.
Movimento, agora através de integrais
- A Unidade 4 foi posição → velocidade → aceleração por diferenciação. A integração vai na direção oposta.
- Integre a aceleração para recuperar a velocidade; integre a velocidade para recuperar a posição 位置.
- Cada passo soma uma taxa para obter a quantidade que ela altera.
- Então integrais reconstróem a história do movimento a partir das taxas.
To recover position from velocity you... · Para recuperar a posição a partir da velocidade você...
Position · Posição $=$ initial $+\int v\,dt$. · Posição $=$ inicial $+\int v\,dt$.
Going up the chain
- Velocity from acceleration: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Position from velocity: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Each needs an initial value (the constant of integration in disguise).
- Integrate the rate, then add where you started.
Subindo na cadeia
- Velocidade a partir da aceleração: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- Posição a partir da velocidade: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- Cada uma precisa de um valor inicial (a constante de integração disfarçada).
- Integre a taxa, depois adicione onde começou.
Recovering position from velocity requires an ____ value to fix the constant. · Recuperar a posição a partir da velocidade requer um valor ____ para fixar a constante.
Position · Posição $=$ initial position $+\int v\,dt$. · Posição $=$ posição inicial $+\int v\,dt$.
Displacement vs. distance
- Displacement 位移 over $[a,b]$ is the signed integral of velocity: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — net change in position.
- Total distance is the integral of speed $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — it never subtracts.
- If the object turns around, displacement and distance differ.
- Displacement can be zero after real motion; distance cannot (unless it never moved).
Deslocamento vs. distância
- Deslocamento 位移 em $[a,b]$ é a integral signada da velocidade: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — variação líquida na posição.
- Distância total é a integral da velocidade escalar $|v|$: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — ela nunca subtrai.
- Se o objeto inverter o sentido, deslocamento e distância diferirão.
- O deslocamento pode ser zero após movimento real; a distância não (a menos que nunca tenha se movido).
Signed area under velocity · Área assinada sob a velocidade
y = t − 2 (velocity) · y = t − 2 (velocidade)
The signed area under $v(t)$ is displacement; taking absolute value on each piece (split at $v=0$) gives distance. · A área assinada sob $v(t)$ é o deslocamento; tomar o valor absoluto em cada parte (dividido em $v=0$) dá a distância.
For · A favor $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, find the displacement $\int_0^3 (t-2)\,dt$. · Para $v(t)=t-2$ em $[0,3]$, encontre o deslocamento $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Displacement can be zero even when the object has actually moved. · O deslocamento pode ser zero mesmo quando o objeto realmente se moveu.
Out-and-back gives zero net displacement but positive distance. · Ida e volta resulta em deslocamento líquido zero, mas distância positiva.
Distance means splitting at the turns
- To get total distance, find where $v=0$ (the turning points) and integrate $|v|$ piece by piece.
- On each piece $v$ keeps one sign, so $|v|$ is just $\pm v$ there.
- Add the absolute areas of the pieces — no cancellation.
- This "split at $v=0$" step is exactly what makes distance $\neq$ displacement.
Distância significa dividir nos pontos de inversão
- Para obter a distância total, encontre onde $v=0$ (os pontos de inversão) e integre $|v|$ parte por parte.
- Em cada parte $v$ mantém um único sinal, então $|v|$ é apenas $\pm v$ ali.
- Some as áreas absolutas das partes — sem cancelamento.
- Este passo de "dividir em $v=0$" é exatamente o que faz a distância ser maior que o deslocamento $\neq$.
For · A favor $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, total distance is $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Compute it. · Para $v(t)=t-2$ em $[0,3]$, a distância total é $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Calcule-a.
Split at $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$. · Divida em $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
Total distance traveled over $[a,b]$ is... · Distância total percorrida sobre $[a,b]$ é...
Integrate speed $|v|$; splitting at turning points is required. · Integre a velocidade escalar $|v|$; dividir nos pontos de inversão é necessário.
Displacement ($\int v\,dt$) is signed and can be zero even after moving; total distance ($\int|v|\,dt$) is never negative. To get distance, split the interval where $v=0$ and add the absolute values — do not just integrate $v$ and take its absolute value at the end. And recovering position/velocity needs the initial value.
Deslocamento ($\int v\,dt$) é signado e pode ser zero mesmo após mover; distância total ($\int|v|\,dt$) nunca é negativa. Para obter a distância, divida o intervalo onde $v=0$ e some os valores absolutos — não basta integrar $v$ e tirar o módulo no final. E recuperar posição/velocidade exige o valor inicial.
A particle has $v(t)=t-2$ (m/s) on $[0,3]$. Find displacement and total distance.
- Displacement: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ at $t=2$: negative on $[0,2)$, positive on $(2,3]$.
- Distance: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Uma partícula tem $v(t)=t-2$ (m/s) em $[0,3]$. Encontre deslocamento e distância total.
- Deslocamento: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ em $t=2$: negativo em $[0,2)$, positivo em $(2,3]$.
- Distância: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
Integrals rebuild motion: velocity $=$ initial $+\int a\,dt$, position $=$ initial $+\int v\,dt$. Displacement over $[a,b]$ is the signed $\int_a^b v\,dt$; total distance is $\int_a^b|v|\,dt$ — split at the turning points ($v=0$) and add absolute values.
Integrais reconstróem o movimento: velocidade $=$ inicial $+\int a\,dt$, posição $=$ inicial $+\int v\,dt$. Deslocamento em $[a,b]$ é a integral signada $\int_a^b v\,dt$; distância total é $\int_a^b|v|\,dt$ — divida nos pontos de inversão ($v=0$) e some os módulos.