Using the Mean Value Theorem · Usando o Teorema do Valor Médio
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| Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | Teorema do Valor Médio |
Somewhere, the instant matches the average
- Drive $120$ km in $2$ hours: your average speed is $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- At some instant your speedometer must have read exactly $60$ — you can't average $60$ without hitting it.
- That intuitive fact is the Mean Value Theorem 中值定理 (MVT).
- It links the average rate of change over an interval to an instantaneous rate somewhere inside.
Em algum lugar, o instante corresponde à média
- Dirija $120$ km em $2$ horas: sua velocidade média é $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- Em algum instante seu velocímetro deve ter lido exatamente $60$ — você não pode ter uma média de $60$ sem passar por ela.
- Esse fato intuitivo é o Teorema do Valor Médio 中值定理 (MVT).
- Ele liga a taxa média de variação sobre um intervalo a uma taxa instantânea em algum lugar dentro dele.
The hypotheses come first
- MVT needs $f$ continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$.
- If both hold, there is at least one $c$ in $(a,b)$ with
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- The left side is an instantaneous rate; the right side is the average rate over $[a,b]$.
As hipóteses vêm primeiro
- MVT precisa de $f$ contínua em $[a,b]$ e derivável em $(a,b)$.
- Se ambas forem satisfeitas, existe pelo menos um $c$ em $(a,b)$ com
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- O lado esquerdo é uma taxa instantânea; o lado direito é a taxa média sobre $[a,b]$.
The MVT on $[a,b]$ requires which hypotheses? · O TVM em $[a,b]$ requer quais hipóteses?
Continuous on the closed interval and differentiable on the open one. ($f(a)=f(b)$ is the extra Rolle condition.) · Contínua no intervalo fechado e diferenciável no aberto. ($f(a)=f(b)$ é a condição extra de Rolle.)
The MVT guarantees a $c$ where $f'(c)$ equals the... · O TVM garante um $c$ onde $f'(c)$ é igual ao...
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, the average rate. · $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, a taxa média.
A tangent parallel to the secant
- The right-hand side is the slope of the secant line joining the endpoints.
- So MVT guarantees a point where the tangent line is parallel to that secant.
- Geometrically: somewhere the curve's slope equals the overall average slope.
- Like the IVT, it is an existence theorem — it promises $c$ exists, not its value.
Uma tangente paralela à secante
- O lado direito é a inclinação da reta secante que une as extremidades.
- Então MVT garante um ponto onde a reta tangente é paralela a essa secante.
- Geometricamente: em algum lugar a inclinação da curva iguala a inclinação média geral.
- Assim como o TVI, é um teorema de existência — ele promete que $c$ existe, não seu valor.
Tangent parallel to the secant · Tangente paralela à secante
y = x²
Somewhere inside the interval the tangent slope matches the average (secant) slope — that point is the MVT's guaranteed $c$. · Em algum lugar dentro do intervalo, a inclinação da tangente corresponde à inclinação média (secante) — esse ponto é o $c$ garantido pelo TVM.
Geometrically, the MVT guarantees a tangent line parallel to the ____ line. · Geometricamente, o TVM garante uma linha tangente paralela à linha ____.
The tangent at $c$ is parallel to the secant joining the endpoints. · A tangente em $c$ é paralela à secante que une as extremidades.
Finding the guaranteed $c$
- To find $c$: set $f'(c)$ equal to the average rate and solve for $c$ in $(a,b)$.
- First check the hypotheses (continuous + differentiable) — skip that and the theorem doesn't apply.
- Discard any solution outside the open interval $(a,b)$.
- The MVT is the engine behind many later results (like "if $f'=0$ everywhere, $f$ is constant").
Encontrando o $c$ garantido
- Para encontrar $c$: defina $f'(c)$ igual à taxa média e resolva para $c$ em $(a,b)$.
- Primeiro verifique as hipóteses (contínua + derivável) — pule isso e o teorema não se aplica.
- Descarte qualquer solução fora do intervalo aberto $(a,b)$.
- O TME é o motor por trás de muitos resultados posteriores (como "se $f'=0$ em toda parte, $f$ é constante").
For · A favor $f(x)=x^2$ on $[2,6]$, find the $c$ guaranteed by the MVT. · Para $f(x)=x^2$ em $[2,6]$, encontre a $c$ garantida pelo TME.
Average $=\frac{36-4}{4}=8$; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$. · Taxa média de $=\frac{36-4}{4}=8$; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$.
If $f$ has a corner inside $(a,b)$, the MVT is still guaranteed to apply. · Se $f$ tem um canto dentro de $(a,b)$, o TVM ainda é garantido para se aplicar.
A corner breaks differentiability, so the hypotheses fail and MVT may not apply. · Um canto quebra a diferenciabilidade, então as hipóteses falham e o TVM pode não se aplicar.
Like the IVT, the MVT is what kind of theorem? · Assim como o TVI, o TVM é que tipo de teorema?
It guarantees such a $c$ exists (though here you can often find it). · Ele garante que tal $c$ existe (embora aqui você possa muitas vezes encontrá-lo).
Both hypotheses are required. If $f$ has a corner (not differentiable) or a break (not continuous) on the interval, the MVT can fail — there may be no such $c$. Always confirm $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$ before applying it.
Ambas as hipóteses são necessárias. Se $f$ tem um canto (não diferenciável) ou uma quebra (não contínua) no intervalo, o TME pode falhar — pode não haver tal $c$. Sempre confirme que $f$ é contínuo em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$ antes de aplicá-lo.
For $f(x)=x^2$ on $[1,3]$, find the $c$ guaranteed by the MVT.
- Average rate: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- $f'(x)=2x$, so set $2c=4\Rightarrow c=2$.
- $c=2$ lies in $(1,3)$ ✓ — there the tangent slope equals the average slope $4$.
Para $f(x)=x^2$ em $[1,3]$, encontre a $c$ garantida pelo TME.
- Taxa média: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- $f'(x)=2x$, então defina $2c=4\Rightarrow c=2$.
- $c=2$ está em $(1,3)$ ✓ — ali a inclinação da tangente é igual à taxa média $4$.
The Mean Value Theorem: if $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on $(a,b)$, some $c\in(a,b)$ has $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — an instantaneous rate equal to the average rate, i.e. a tangent parallel to the secant. Check the hypotheses, then solve $f'(c)=$ average for $c$.
O Teorema do Valor Médio: se $f$ é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$, algum $c\in(a,b)$ tem $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — uma taxa instantânea igual à taxa média, ou seja, uma tangente paralela à secante. Verifique as hipóteses, depois resolva $f'(c)=$ para encontrar a taxa média de $c$.