Energy stored in a capacitor · Energia armazenada em um capacitor
| English | Português |
|---|---|
| energy stored/ˈenədʒi stɔːd/ | energia armazenada |
| defibrillator/dɪˈfɪbrɪleɪtə/ | desfibrilador |
Half the energy never reaches the capacitor
- Connect an ideal battery of e.m.f. $V$ to a capacitor through a wire. The battery pushes charge $Q = CV$ through a p.d. of $V$, so it gives out $QV$ of energy.
- The capacitor ends up holding $\tfrac12 QV$. Exactly half the energy has gone, as heat in the wire, and it makes no difference how good the wire is.
- The missing half is not an inefficiency to be engineered away. It is a consequence of the fact that the p.d. across the capacitor starts at zero and only reaches $V$ at the end.
- This lesson is the energy stored 储存的能量, where the factor of a half comes from, and what happens when charge is shared.
Metade da energia nunca chega ao capacitor
- Conecte uma bateria ideal de f.e.m. $V$ a um capacitor através de um fio. A bateria empurra a carga $Q = CV$ através de uma d.d.p. de $V$, então ela libera $QV$ de energia.
- O capacitor termina retendo $\tfrac12 QV$. Exatamente metade da energia foi dissipada, como calor no fio, e não importa quão bom seja o fio.
- A metade faltante não é uma ineficiência a ser eliminada. É consequência do fato de que a d.d.p. no capacitor começa em zero e só atinge $V$ no final.
- Esta aula é a energia armazenada 储存的能量, de onde vem o fator meio, e o que acontece quando a carga é compartilhada.
The three forms
- Charging a capacitor takes work, because each extra bit of charge must be pushed against the p.d. that is already there. Adding up all those bits gives:
- All three are the same expression with $Q = CV$ substituted differently. Choose the one that uses the two quantities the question gives you, and no rearranging is needed.
As três formas
- Carregar um capacitor exige trabalho, porque cada pedaço extra de carga deve ser empurrado contra a d.d.p. que já existe. Somando todos esses pedaços temos:
- As três são a mesma expressão com $Q = CV$ substituída de forma diferente. Escolha a que usa as duas quantidades que a questão te dá, e nenhum rearranjo é necessário.
The energy stored in a capacitor is: · A energia armazenada em um capacitor é:
Equivalent forms: $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \dfrac{Q^{2}}{2C}$. · Formas equivalentes: $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \dfrac{Q^{2}}{2C}$.
A $2.0\ \mu\text{F}$ capacitor is charged to $1000\ \text{V}$. How much energy does it store? · Um capacitor $2.0\ \mu\text{F}$ é carregado a $1000\ \text{V}$. Quanto energia ele armazena?
$W = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{-6} \times (1000)^{2} = 1.0\ \text{J}$.
The area under the graph
- A graph of $V$ against $Q$ for a capacitor is a straight line through the origin, of gradient $1/C$.
- The energy stored is the area under that line up to the charge $Q$, which is a triangle of area $\tfrac12 QV$.
- That is where the half comes from: the p.d. grows from zero to $V$ as the capacitor charges, so the average p.d. during charging is $V/2$, not $V$.
A triangle, not a rectangle, and that is the whole reason for the half
A área sob o gráfico
- Um gráfico de $V$ contra $Q$ para um capacitor é uma linha reta pela origem, de gradiente $1/C$.
- A energia armazenada é a área sob essa linha até a carga $Q$, que é um triângulo de área $\tfrac12 QV$.
- É daí que vem o meio: a d.d.p. cresce de zero até $V$ enquanto o capacitor carrega, então a d.d.p. média durante o carregamento é $V/2$, não $V$.
Um triângulo, não um retângulo, e essa é toda a razão para o meio
Energy in a capacitor · Energia em um capacitor
E = ½C·V²
Stored energy grows with the square of the voltage. · A energia armazenada cresce com o quadrado da tensão.
Why is there a factor of ½ in the stored-energy formula? · Por que há um fator de ½ na fórmula de energia armazenada?
The p.d. rises from 0 to V as it charges, so the average is V/2 — hence the triangle area $\tfrac{1}{2}QV$. · A d.d.p. sobe de 0 para V durante o carregamento, então a média é V/2 — daí a área do triângulo $\tfrac{1}{2}QV$.
The energy stored equals the ____ under the V–Q graph. · A energia armazenada é igual à ____ sob o gráfico V–Q.
The triangle under the line has area $\tfrac{1}{2}QV$ — the stored energy. · O triângulo sob a linha tem área $\tfrac{1}{2}QV$ — a energia armazenada.
Worked example: energy from a graph
- A graph of $Q$ against $V$ is a straight line through the origin passing through $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Find the capacitance, the energy at $10\ \text{V}$, and the extra energy needed to reach $12\ \text{V}$.
- The gradient of $Q$ against $V$ is the capacitance: $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$.
- Energy at $10\ \text{V}$: the area, $\tfrac12 QV = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- At $12\ \text{V}$: $\tfrac12 CV^2 = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-4})(144) = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, so the extra energy is $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- Note that a 20% rise in voltage costs a 44% rise in energy, because $W \propto V^2$.
Exemplo resolvido: energia de um gráfico
- Um gráfico de $Q$ contra $V$ é uma linha reta pela origem passando por $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Encontre a capacitância, a energia em $10\ \text{V}$, e a energia extra necessária para atingir $12\ \text{V}$.
- O gradiente de $Q$ contra $V$ é a capacitância: $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$.
- Energia em $10\ \text{V}$: a área, $\tfrac12 QV = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- Em $12\ \text{V}$: $\tfrac12 CV^2 = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-4})(144) = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, então a energia extra é $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- Note que um aumento de 20% na tensão custa um aumento de 44% na energia, porque $W \propto V^2$.
A graph of charge against p.d. for a capacitor is a straight line through the origin. What does its gradient give? · Um gráfico de carga versus d.d.p. para um capacitor é uma linha reta pela origem. O que sua inclinação fornece?
Q against V has gradient C, and the energy is the area under the V against Q line. Do not confuse the gradient with the area. · Q contra V tem inclinação C, e a energia é a área sob a linha de V contra Q. Não confunda a inclinação com a área.
Energy goes as the square
- Because $W = \tfrac12 CV^2$, doubling the p.d. quadruples the energy for the same capacitor.
- That is why a camera flash or a defibrillator 除颤器 charges its capacitor to hundreds or thousands of volts rather than using a larger capacitor at a low voltage: voltage is the cheaper way to buy energy.
- It is also why the same capacitor at half the voltage stores only a quarter of the energy, which is worth checking your answers against.
A energia vai ao quadrado
- Como $W = \tfrac12 CV^2$, dobrar a d.d.p. quadriplica a energia para o mesmo capacitor.
- É por isso que o flash de uma câmera ou um desfibrilador 除颤器 carrega seu capacitor até centenas ou milhares de volts em vez de usar um capacitor maior em baixa tensão: tensão é a maneira mais barata de comprar energia.
- É também por isso que o mesmo capacitor em metade da tensão armazena apenas um quarto da energia, o que vale a pena verificar suas respostas contra.
Charging a capacitor through a wire wastes about half the supplied energy as heat. · Carregar um capacitor através de um fio desperdiça cerca de metade da energia fornecida como calor.
The battery gives out $QV$ but the capacitor stores only $\tfrac{1}{2}QV$; the rest heats the wire, whatever its resistance. · A bateria entrega $QV$ mas o capacitor armazena apenas $\tfrac{1}{2}QV$; o resto aquece o fio, independentemente de sua resistência.
A 120 uF capacitor is charged to 12 V. What is the energy stored, in mJ? · Um capacitor de 120 uF é carregado a 12 V. Qual é a energia armazenada, em mJ?
W = C V^2 / 2 = 1.2e-4 x 144 / 2 = 8.6e-3 J. At 10 V it would store only 6.0 mJ, because energy goes as the square of the voltage. · W = C V^2 / 2 = 1.2e-4 x 144 / 2 = 8.6e-3 J. Em 10 V ele armazenaria apenas 6.0 mJ, porque a energia depende do quadrado da tensão.
Doubling the p.d. across a capacitor doubles the energy it stores. · Dobrar a d.d.p. através de um capacitor dobra a energia que ele armazena.
W is proportional to V squared, so doubling the p.d. gives four times the energy. That is why flash and defibrillator circuits use high voltages. · W é proporcional a V squared, então dobrar a d.d.p. dá quatro vezes a energia. É por isso que circuitos de flash e desfibriladores usam altas tensões.
Worked example: sharing charge
- A charged capacitor $C$ at p.d. $V$ is disconnected and then connected across an uncharged capacitor of capacitance $3C$. Find the final p.d. and the energy lost.
- Charge is conserved. The total charge is still $Q = CV$, now on a parallel pair of total capacitance $4C$, so the common p.d. is $V' = Q/4C = V/4$.
- Energy is not conserved. Before: $\tfrac12 CV^2$. After: $\tfrac12 (4C)(V/4)^2 = \tfrac18 CV^2$. Three-quarters of the energy has gone.
- It is dissipated as heat in the connecting wires, and as a spark or radiation, while the charge moves, however small the resistance. Saying where it went is the mark.
Exemplo resolvido: compartilhando carga
- Um capacitor carregado $C$ em d.d.p. $V$ é desconectado e depois conectado sobre um capacitor descarregado de capacitância $3C$. Encontre a d.d.p. final e a energia perdida.
- Carga é conservada. A carga total continua sendo $Q = CV$, agora em um par em paralelo de capacitância total $4C$, então a d.d.p. comum é $V' = Q/4C = V/4$.
- Energia não é conservada. Antes: $\tfrac12 CV^2$. Depois: $\tfrac12 (4C)(V/4)^2 = \tfrac18 CV^2$. Três quartos da energia foram dissipados.
- São dissipados como calor nos fios de conexão, e como faísca ou radiação, enquanto a carga se move, por menor que seja a resistência. Dizer para onde foi é o ponto.
A charged capacitor is connected across an uncharged one. Put the reasoning in order. · Um capacitor carregado é conectado em paralelo com um descarregado. Ordene o raciocínio.
Charge is conserved, energy is not. Naming where the lost energy goes is what the final mark is for. · A carga é conservada, a energia não. Nombrar onde a energia perdida vai é o que a última marca atribui.
Energy during a discharge falls twice as fast
- During a discharge the charge and the p.d. both decay as $e^{-t/RC}$, but the energy goes as $V^2$, so it decays as $e^{-2t/RC}$.
- After one time constant the p.d. has fallen to $37\%$ of its start, but the energy has fallen to $e^{-2} = 14\%$.
- After two time constants the p.d. is $14\%$ and the energy only $1.8\%$.
- So the energy has an effective half-life of half that of the charge. A question that gives you a time constant and asks for the remaining energy is testing exactly this factor of two.
- The same square is why a capacitor charged to twice the p.d. stores four times the energy.
A energia durante a descarga cai duas vezes mais rápido
- Durante uma descarga a carga e a d.d.p. decaem ambas conforme $e^{-t/RC}$, mas a energia vai conforme $V^2$, então decai conforme $e^{-2t/RC}$.
- Após um constante de tempo a d.d.p. caiu para $37\%$ de seu início, mas a energia caiu para $e^{-2} = 14\%$.
- Após dois constantes de tempo a d.d.p. é $14\%$ e a energia apenas $1.8\%$.
- Então a energia tem uma meia-vida efetiva de metade daquela da carga. Uma questão que te dá um constante de tempo e pede a energia restante testa exatamente esse fator de dois.
- O mesmo quadrado é por que um capacitor carregado a duas vezes a d.d.p. armazena quatro vezes a energia.
A capacitor discharges for exactly one time constant. What percentage of its stored energy remains? · Um capacitor se descarrega por exatamente uma constante de tempo. Que porcentagem de sua energia armazenada permanece?
The p.d. falls to 37%, but energy goes as V squared, so e^-2 = 13.5% remains. Quoting 37% for the energy is the trap this question is built on. · A d.d. cai para 37%, mas a energia varia com o quadrado de V, portanto e^-2 = 13.5% permanece. Citar 37% para a energia é a armadilha na qual esta questão se baseia.
Marks that slip away
- The factor of $\tfrac12$ comes from the average p.d. being $V/2$ during charging, or equivalently from the area of a triangle. Say one of those, not "it is in the formula".
- $W \propto V^2$, so doubling the voltage gives four times the energy, not twice.
- In a charge-sharing question, charge is conserved but energy is not. Name where the lost energy goes.
- Half the battery's energy is lost as heat during charging whatever the wire's resistance. It is not a fault in the circuit.
Marcas que escapam
- O fator de $\tfrac12$ vem da d.d.p. média sendo $V/2$ durante o carregamento, ou equivalentemente da área de um triângulo. Diga uma dessas, não "está na fórmula".
- $W \propto V^2$, então dobrar a tensão dá quatro vezes a energia, não duas.
- Em uma questão de compartilhamento de carga, carga é conservada mas energia não. Nomeie para onde a energia perdida vai.
- Metade da energia da bateria é perdida como calor durante o carregamento, independentemente da resistência do fio. Não se trata de um defeito no circuito.
You've got it
- energy stored $W = \tfrac12 QV = \tfrac12 CV^2 = \dfrac{Q^2}{2C}$; pick the form matching the quantities given
- it is the area under the $V$ against $Q$ line, a triangle, and the $\tfrac12$ is because the average p.d. while charging is $V/2$
- $W \propto V^2$: double the p.d., four times the energy
- when charge is shared, charge is conserved and energy is not: the difference is dissipated as heat in the wires, whatever their resistance
Entendeu?
- energia armazenada $W = \tfrac12 QV = \tfrac12 CV^2 = \dfrac{Q^2}{2C}$; escolha a forma que corresponda às grandezas fornecidas
- é a área sob a linha de $V$ contra $Q$, um triângulo, e o $\tfrac12$ é porque a d.d.p. média durante o carregamento é $V/2$
- $W \propto V^2$: dobrar a d.d.p., quadruplicar a energia
- quando a carga é compartilhada, a carga é conservada e a energia não: a diferença é dissipada como calor nos fios, independentemente de sua resistência