Discharging a capacitor · Descarga de um capacitor
| English | Português |
|---|---|
| discharge/dɪsˈtʃɑːdʒ/ | descarga |
| time constant/taɪm ˈkɒnstənt/ | constante de tempo |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | decaimento exponencial |
The decay that never quite finishes
- A discharging capacitor loses 63% of its charge in the first time constant, then 63% of what remains in the next, and so on for ever.
- After five time constants less than 1% is left, but the curve never reaches zero. It cannot, because the rate of loss is always proportional to how much is left.
- Every quantity that behaves that way, radioactive decay included, gives the same curve, so learning it once serves twice.
- This lesson is the discharge 放电 equations, the time constant 时间常数, and the log plot that turns the curve into a straight line.
O decaimento que nunca termina completamente
- Um capacitor em descarga perde 63% de sua carga no primeiro tempo constante, depois 63% do restante no próximo, e assim por diante para sempre.
- Após cinco tempos constantes, resta menos de 1%, mas a curva nunca atinge zero. Isso não pode acontecer, porque a taxa de perda é sempre proporcional ao que resta.
- Toda grandeza que se comporta dessa maneira, incluindo o decaimento radioativo, produz a mesma curva, portanto aprender uma vez serve para duas coisas.
- Esta lição aborda as equações de descarga 放电, a constante de tempo 时间常数 e o gráfico logarítmico que transforma a curva em uma linha reta.
Where the exponential comes from
- Close the switch and the capacitor's p.d. drives a current through the resistor. Kirchhoff's second law gives $V_C = V_R$, and with $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ and $I = -dQ/dt$:
- The rate of loss is proportional to the charge remaining. That is the defining property of exponential decay 指数衰减, and it is why the curve flattens as it falls.
A origem do exponencial
- Feche o interruptor e a d.d.p. do capacitor impulsiona uma corrente através do resistor. A segunda lei de Kirchhoff fornece $V_C = V_R$, e com $V_C = Q/C$, $V_R = IR$ e $I = -dQ/dt$:
- A taxa de perda é proporcional à carga restante. Essa é a propriedade definidora do decaimento exponencial 指数衰减, e é por isso que a curva fica mais plana conforme desce.
During discharge through a resistor, the charge on a capacitor: · Durante a descarga através de um resistor, a carga em um capacitor:
The bigger the charge, the bigger the current — giving an exponential decay. · Quanto maior a carga, maior a corrente — resultando em um decaimento exponencial.
Why is a capacitor's discharge exponential? · Por que a descarga de um capacitor é exponencial?
Q/C = -R dQ/dt says exactly that. Every quantity with this property, radioactive decay included, gives the same curve. · Q/C = -R dQ/dt diz exatamente isso. Toda quantidade com essa propriedade, incluindo o decaimento radioativo, produz a mesma curva.
The three equations
- Charge, p.d. and current all decay together, with the same time constant:
- The current is largest at the instant the switch closes, $I_0 = V_0/R$, because the full initial p.d. is then across the resistor. It falls as the p.d. falls.
- The area under the current-time graph is the charge that has flowed. All three curves have the same shape, so measuring $\tau$ from any one of them gives $RC$.
Steep at first, then ever flatter, and never quite zero
As três equações
- Carga, d.d.p. e corrente decaem juntas, com a mesma constante de tempo:
- A corrente é máxima no instante em que o interruptor fecha, $I_0 = V_0/R$, porque toda a d.d.p. inicial está sobre o resistor. Ela diminui à medida que a d.d.p. cai.
- A área sob o gráfico de corrente-tempo é a carga que fluiu. Todas as três curvas têm a mesma forma, portanto medir $\tau$ em qualquer uma delas dá $RC$.
Íngreme no início, depois cada vez mais plana e nunca exatamente zero
Charge / discharge curve · Curva de carga / descarga
The voltage rises (or decays) exponentially with time constant τ = RC. · A tensão sobe (ou decai) exponencialmente com a constante de tempo τ = RC.
Discharging a capacitor · Descarga de um capacitor
Q = Q₀·bᵗ
Charge · Carga decays · decai exponentially through the resistor. · A carga decai exponencialmente através do resistor.
The charge during discharge is given by: · A carga durante a descarga é dada por:
Discharge falls toward zero: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (the $1 - e^{-t/RC}$ form is for charging · carregando). · A descarga cai em direção a zero: $Q = Q_0 e^{-t/RC}$ (a forma $1 - e^{-t/RC}$ é para carga).
The time constant
- The time constant is:
- Its unit is the second, since an ohm times a farad is a second.
- It is the time for the decaying quantity to fall to $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ of its starting value. After $2\tau$ about 13.5% remains, and after $5\tau$ less than 1%.
- A large $R$ or a large $C$ means a slow discharge: a big store emptying through a narrow pipe.
A constante de tempo
- A constante de tempo é:
- Sua unidade é o segundo, já que ohm vezes farad resulta em segundo.
- É o tempo necessário para que a quantidade em decaimento caia para $\dfrac{1}{e} \approx 37\%$ de seu valor inicial. Após $2\tau$, resta aproximadamente 13.5%, e após $5\tau$, menos de 1%.
- Um grande $R$ ou um grande $C$ significa uma descarga lenta: um grande reservatório esvaziando através de um tubo estreito.
A capacitor of $500\ \mu\text{F}$ discharges through a $2000\ \Omega$ resistor. What is the time constant? · Um capacitor de $500\ \mu\text{F}$ se descarrega através de um resistor de $2000\ \Omega$. Qual é a constante de tempo?
$\tau = RC = 2000 \times 500 \times 10^{-6} = 1.0\ \text{s}$.
After one time constant, the charge falls to about ____ % of its starting value. · Após uma constante de tempo, a carga cai para cerca de ____ % de seu valor inicial.
It falls to $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, i.e. about 37%. · Cai para $\dfrac{1}{e} \approx 0.37$, ou seja, cerca de 37%.
After 5 time constants, less than 1% of the charge remains. · Após 5 constantes de tempo, menos de 1% da carga permanece.
$e^{-5} \approx 0.0067$, so under 1% is left — effectively fully discharged. · $e^{-5} \approx 0.0067$, portanto menos de 1% fica — efetivamente totalmente descarregado.
A capacitor charged to 24 V discharges through a 5.6 kilo-ohm resistor. What is the initial current, in mA? · Um capacitor carregado a 24 V descarrega através de um resistor de 5.6 quilo-ohm. Qual é a corrente inicial, em mA?
At the instant the switch closes the whole p.d. is across the resistor, so I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. It then decays with the same time constant as the charge. · No instante em que a chave é fechada, toda a d.d.p. está sobre o resistor, então I0 = V0/R = 24/5600 = 4.3 mA. Em seguida, decai com a mesma constante de tempo da carga.
Worked example: a full discharge question
- A $470\ \mu\text{F}$ capacitor charged to $24\ \text{V}$ discharges through a $5.6\ \text{k}\Omega$ resistor. Find the time constant, the initial current, the p.d. after $4.0\ \text{s}$, and the time for the p.d. to fall to $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, and $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- After $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- For the time, take logarithms: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- Keep $\tau$ unrounded inside the calculation and round only at the end. And note that $\ln(V/V_0)$ is negative, so the minus sign makes $t$ positive: that rearrangement is the most often asked and the most often botched.
Exemplo resolvido: questão de descarga completa
- Um capacitor de $470\ \mu\text{F}$ carregado até $24\ \text{V}$ descarrega através de um resistor de $5.6\ \text{k}\Omega$. Encontre a constante de tempo, a corrente inicial, a d.d.p. após $4.0\ \text{s}$ e o tempo para a d.d.p. cair para $6.0\ \text{V}$.
- $\tau = RC = (5.6 \times 10^3)(470 \times 10^{-6}) = 2.6\ \text{s}$, e $I_0 = V_0/R = 24/5600 = 4.3\ \text{mA}$.
- Após $4.0\ \text{s}$: $V = V_0 e^{-t/RC} = 24\,e^{-4.0/2.63} = 5.3\ \text{V}$.
- Para o tempo, use logaritmos: $t = -RC\ln(V/V_0) = -2.63\ln(6.0/24) = 3.6\ \text{s}$.
- Mantenha $\tau$ sem arredondamento dentro do cálculo e arredonde apenas no final. E note que $\ln(V/V_0)$ é negativo, então o sinal de menos torna $t$ positivo: esse rearranjo é o mais frequentemente perguntado e o mais frequentemente falhado.
After one time constant, about 37% of the original charge remains on the capacitor. · Após uma constante de tempo, cerca de 37% da carga original permanece no capacitor.
It falls to 1/e of its starting value, about 37%. After two it is at about 13.5%, and after five below 1%, though it never quite reaches zero. · Cai para 1/e do seu valor inicial, cerca de 37%. Após dois, está em cerca de 13.5%, e após cinco, abaixo de 1%, embora nunca atinja exatamente zero.
Worked example: reading $\tau$ off a graph
- The p.d. across a $2200\ \mu\text{F}$ capacitor falls from $6.0\ \text{V}$ to $2.2\ \text{V}$ in $4.5\ \text{s}$. Find the resistance.
- Check the ratio first: $2.2/6.0 = 0.367$, which is $1/e$. So $4.5\ \text{s}$ is one time constant.
- Then $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- If the fall is not to $1/e$, use $RC = -t/\ln(V/V_0)$ instead. The answer is the same either way, but spotting the $1/e$ saves a step.
Exemplo resolvido: lendo $\tau$ de um gráfico
- A d.d.p. sobre um capacitor de $2200\ \mu\text{F}$ cai de $6.0\ \text{V}$ para $2.2\ \text{V}$ em $4.5\ \text{s}$. Encontre a resistência.
- Verifique a razão primeiro: $2.2/6.0 = 0.367$, que é $1/e$. Então $4.5\ \text{s}$ é uma constante de tempo.
- Então $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^3\ \Omega$.
- Se a queda não for para $1/e$, use $RC = -t/\ln(V/V_0)$ em vez disso. A resposta é a mesma em qualquer caso, mas perceber o $1/e$ economiza um passo.
A capacitor with time constant 2.63 s is charged to 24 V. How long, in seconds, until the p.d. falls to 6.0 V? · Um capacitor com constante de tempo 2.63 s é carregado até 24 V. Quanto tempo, em segundos, leva para a d.d.p. cair para 6.0 V?
t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s. ln(0.25) is negative, so the minus sign makes t positive; that rearrangement is the most often botched. · t = -RC ln(V/V0) = -2.63 ln(0.25) = 3.6 s. ln(0.25) é negativo, portanto o sinal de menos torna t positivo; esse rearranjo é o mais frequentemente cometido erroneamente.
The log plot
- Take logarithms of $V = V_0 e^{-t/RC}$:
- So a graph of $\ln V$ against $t$ is a straight line with gradient $-1/RC$ and intercept $\ln V_0$.
- This is the standard experimental method: it turns a curve into a line, so $RC$ comes from a gradient rather than from a single reading, and any departure from a straight line shows the decay is not exponential.
O gráfico logarítmico
- Pegue os logaritmos de $V = V_0 e^{-t/RC}$:
- Então um gráfico de $\ln V$ contra $t$ é uma linha reta com declive $-1/RC$ e intercepto $\ln V_0$.
- Este é o método experimental padrão: ele transforma uma curva em uma linha, então $RC$ vem de um gradiente em vez de uma única leitura, e qualquer desvio de uma linha reta mostra que o decaimento não é exponencial.
The p.d. across a 2200 uF capacitor falls from 6.0 V to 2.2 V in 4.5 s. Put the steps of finding the resistance in order. · A d.d.p. em um capacitor de 2200 uF cai de 6.0 V para 2.2 V em 4.5 s. Ordene as etapas para encontrar a resistência.
If the fall is not to 1/e, use RC = -t/ln(V/V0) instead. The answer is the same, but spotting the 1/e saves a step. · Se a queda não for até 1/e, use RC = -t/ln(V/V0). A resposta é a mesma, mas identificar o 1/e economiza um passo.
Marks that slip away
- $\tau = RC$ is a time, in seconds, not a fraction. After one $\tau$ the quantity is at 37%, not 63% gone and stopped.
- The current is largest at the start, when the whole p.d. is across the resistor, and it decays with the same time constant as the charge.
- To find a time, take logs: $t = -RC\ln(V/V_0)$. Keep the time constant unrounded through the working.
- On a $\ln V$ against $t$ plot the gradient is $-1/RC$, so $RC$ is minus the reciprocal of the gradient.
Marcas que escapam
- $\tau = RC$ é um tempo, em segundos, não uma fração. Após um $\tau$ a quantidade está em 37%, não 63% desaparecida e parada.
- A corrente é maior no início, quando toda a d.d.p. está sobre o resistor, e ela decai com a mesma constante de tempo que a carga.
- Para encontrar um tempo, use logaritmos: $t = -RC\ln(V/V_0)$. Mantenha a constante de tempo sem arredondar durante o cálculo.
- Em um gráfico de $\ln V$ contra $t$ o gradiente é $-1/RC$, então $RC$ é o inverso do recíproco do gradiente.
A graph of ln V against t for a discharging capacitor is a straight line. What is its gradient? · Um gráfico de ln V contra t para um capacitor em descarga é uma linha reta. Qual é sua inclinação?
Taking logs of V = V0 exp(-t/RC) gives ln V = ln V0 - t/RC. So RC is minus the reciprocal of the gradient, and the straight line itself confirms the decay is exponential. · Tirando logaritmos de V = V0 exp(-t/RC), obtemos ln V = ln V0 - t/RC. Logo, RC é o negativo do recíproco da inclinação, e a própria linha reta confirma que o decaimento é exponencial.
You've got it
- the rate of loss is proportional to the charge left, so the decay is exponential: $Q = Q_0e^{-t/RC}$, and $V$ and $I$ decay identically
- the current starts at $I_0 = V_0/R$ and the area under the current-time graph is the charge that has flowed
- the time constant $\tau = RC$ is the time to fall to $1/e \approx 37\%$; after $5\tau$ less than 1% remains
- take logs to find a time, $t = -RC\ln(V/V_0)$, and a plot of $\ln V$ against $t$ is a straight line of gradient $-1/RC$
Entendeu?
- a taxa de perda é proporcional à carga restante, então o decaimento é exponencial: $Q = Q_0e^{-t/RC}$, e $V$ e $I$ decaem identicamente
- a corrente começa em $I_0 = V_0/R$ e a área sob o gráfico corrente-tempo é a carga que fluiu
- a constante de tempo $\tau = RC$ é o tempo para cair para $1/e \approx 37\%$; após $5\tau$ menos de 1% permanece
- tire logaritmos para encontrar um tempo, $t = -RC\ln(V/V_0)$, e um gráfico de $\ln V$ contra $t$ é uma linha reta de gradiente $-1/RC$