The ideal gas equation · A equação dos gases ideais
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|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | volume |
| pressure/ˈpreʃə/ | pressão |
| equation of state/ɪˈkweɪʒn ɒv steɪt/ | equação de estado |
| ideal gas/aɪˈdɪəl ɡæs/ | gás ideal |
| thermodynamic temperature/ˌθɜːməʊdaɪˈnæmɪk ˈtemprɪtʃə/ | temperatura termodinâmica |
| molar gas constant/ˈməʊlə ɡæs ˈkɒnstənt/ | constante dos gases moles |
| Boltzmann constant/ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | constante de Boltzmann |
| Boyle's law/bɔɪlz lɔː/ | Lei de Boyle |
| Charles's law/ˈtʃɑːlzɪz lɔː/ | Lei de Charles |
| pressure law/ˈpreʃə lɔː/ | lei de Boyle |
The tank that must not be filled at noon
- A scuba tank is filled to 200 bar on a cool morning and left in a car in the sun. Nothing is added and nothing escapes, yet by afternoon the gauge reads far higher.
- The gas has not changed. Its temperature has, and for a fixed amount in a fixed volume, pressure and temperature move together in strict proportion.
- Divers are taught this as a safety rule. The exam asks for it as an equation, and one equation covers every case of it.
- This lesson is the equation of state 状态方程 $pV = nRT$, its per-molecule twin, and the three special cases that fall out of it.
O tanque que não deve ser enchido ao meio-dia
- Um tanque de mergulho é preenchido a 200 bar em uma manhã fresca e deixado em um carro ao sol. Nada é adicionado e nada escapa, mas à tarde o manômetro marca muito mais alto.
- O gás não mudou. Sua temperatura mudou, e para uma quantidade fixa em um volume fixo, pressão e temperatura variam juntas em proporção estrita.
- Os mergulhadores aprendem isso como uma regra de segurança. A prova pede isso como uma equação, e uma equação cobre todos os casos dela.
- Esta lição é a equação de estado 状态方程 $pV = nRT$, seu par em nível molecular, e os três casos especiais que derivam dela.
What makes a gas ideal
- An ideal gas 理想气体 is one that obeys $pV \propto T$, where $T$ is the thermodynamic temperature 热力学温度, at all values of pressure, volume and temperature.
- The examiner's two-mark definition needs both halves: the relationship, and "at all values of $p$, $V$ and $T$". Stating the equation alone earns one.
- Real gases approach this behaviour at low pressure and high temperature, and depart from it when the molecules are crowded or slow.
O que torna um gás ideal
- Um gás ideal 理想气体 é aquele que obedece $pV \propto T$, onde $T$ é a temperatura termodinâmica 热力学温度, em todos os valores de pressão, volume e temperatura.
- A definição de dois pontos do examinador precisa de ambas as partes: a relação, e "em todos os valores de $p$, $V$ e $T$". Apenas declarar a equação ganha um ponto.
- Gases reais aproximam-se desse comportamento em baixa pressão e alta temperatura, e divergem dele quando as moléculas estão aglomeradas ou lentas.
A two-mark definition of an ideal gas needs which elements? Select all · todos that apply. · Uma definição de dois pontos de um gás ideal requer quais elementos? Selecione todos os que se aplicam.
The relationship alone earns one mark; "at all values" earns the second. Being monatomic is not part of the definition. · A relação sozinha ganha um ponto; "em todos os valores" ganha o segundo. Ser monoatômico não faz parte da definição.
The equation of state, both forms
- $p$ is the pressure 压强 in Pa, $V$ the volume 体积 in m³, $T$ the thermodynamic temperature in kelvin, never °C.
- $n$ is the number of moles and $R = 8.31\ \text{J/(mol K)}$ the molar gas constant 摩尔气体常量. $N$ is the number of molecules and $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ the Boltzmann constant 玻尔兹曼常量.
- The two forms are the same equation: since $N = nN_{\text{A}}$, it follows that $k = R/N_{\text{A}}$. Choose the form that matches the "amount" the question gives you: moles go with $R$, molecules with $k$.
A fixed amount in a fixed volume: only temperature is left to change the pressure
A equação de estado, ambas as formas
- $p$ é a pressão 压强 em Pa, $V$ o volume 体积 em m³, $T$ a temperatura termodinâmica em kelvin, nunca °C.
- $n$ é o número de mols e $R = 8.31\ \text{J/(mol K)}$ a constante molar dos gases 摩尔气体常量. $N$ é o número de moléculas e $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ a constante de Boltzmann 玻尔兹曼常量.
- As duas formas são a mesma equação: já que $N = nN_{\text{A}}$, segue-se que $k = R/N_{\text{A}}$. Escolha a forma que corresponda à "quantidade" que a questão lhe dá: mols vão com $R$, moléculas com $k$.
Uma quantidade fixa em um volume fixo: apenas a temperatura pode mudar a pressão
The equation of state of an ideal gas is: · A equação de estado de um gás ideal é:
$pV = nRT$ (moles) or $pV = NkT$ (molecules) — with $T$ in kelvin. · $pV = nRT$ (moles) ou $pV = NkT$ (moléculas) — com $T$ em kelvin.
You may use temperature in °C in the ideal gas equation. · Você pode usar temperatura em °C na equação dos gases ideais.
No — $pV \propto T$ only with $T$ in kelvin. Convert °C to K first. · Não — $pV \propto T$ apenas com $T$ em kelvin. Converta °C para K primeiro.
The Boltzmann constant equals $R / N_{\text{A}}$ — the gas constant per molecule. · A constante de Boltzmann é igual a $R / N_{\text{A}}$ — a constante dos gases por molécula.
Since $N = n N_{\text{A}}$, comparing $pV = nRT$ with $pV = NkT$ gives $k = \dfrac{R}{N_{\text{A}}}$. · Como $N = n N_{\text{A}}$, comparar $pV = nRT$ com $pV = NkT$ resulta em $k = \dfrac{R}{N_{\text{A}}}$.
Worked example: how much gas is in the cylinder
- A cylinder of volume $0.020\ \text{m}^3$ holds gas at $27\ ^\circ\text{C}$ and a pressure of $2.0 \times 10^5\ \text{Pa}$. How many moles are there?
- Convert first: $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$. The volume and pressure are already in SI units.
- Rearrange and substitute:
- Convert to kelvin before anything else. Using 27 in place of 300 gives an answer eleven times too large, and it is the single commonest error in this topic.
Exemplo resolvido: quanto gás há no cilindro
- Um cilindro de volume $0.020\ \text{m}^3$ contém gás a $27\ ^\circ\text{C}$ e uma pressão de $2.0 \times 10^5\ \text{Pa}$. Quantos mols existem?
- Converta primeiro: $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$. O volume e a pressão já estão em unidades SI.
- Reorganize e substitua:
- Converta para kelvin antes de qualquer outra coisa. Usar 27 em vez de 300 dá uma resposta onze vezes maior, e é o erro mais comum neste tópico.
A cylinder of volume 0.020 m^3 holds gas at 27 degrees C and 2.0 x 10^5 Pa. How many moles are there? (R = 8.31) · Um cilindro de volume 0.020 m^3 contém gás a 27 graus Celsius e 2.0 x 10^5 Pa. Quantos mols existem? (R = 8.31)
T must be 300 K, not 27. n = pV/RT = (2.0e5 x 0.020)/(8.31 x 300) = 1.6 mol. Using 27 gives an answer eleven times too large. · T deve ser 300 K, não 27. n = pV/RT = (2.0e5 x 0.020)/(8.31 x 300) = 1.6 mol. Usar 27 resulta em uma resposta onze vezes maior.
A fixed amount changing state
- If the amount of gas does not change, $nR$ is a constant, so $pV/T$ is the same before and after:
- Write down the six quantities, mark the one you want, and substitute. Any quantity that is unchanged cancels from both sides.
- Because it cancels, you do not need the volume in a constant-volume problem, nor the pressure in a constant-pressure one.
Uma quantidade fixa mudando de estado
- Se a quantidade de gás não muda, $nR$ é constante, então $pV/T$ é a mesma antes e depois:
- Escreva as seis quantidades, marque a que você quer, e substitua. Qualquer quantidade inalterada cancela de ambos os lados.
- Por cancelar, você não precisa do volume em um problema de volume constante, nem da pressão em um de pressão constante.
A gas at $200\ \text{kPa}$ and · e $300\ \text{K}$ is heated to $600\ \text{K}$ at constant volume. What is the new pressure? · Um gás a $200\ \text{kPa}$ e $300\ \text{K}$ é aquecido a $600\ \text{K}$ a volume constante. Qual é a nova pressão?
At constant volume $\dfrac{p}{T}$ is constant: $p_2 = 200 \times \dfrac{600}{300} = 400\ \text{kPa}$. · A volume constante $\dfrac{p}{T}$ é constante: $p_2 = 200 \times \dfrac{600}{300} = 400\ \text{kPa}$.
The three special cases
- Boyle's law 玻意耳定律, constant temperature: $pV$ is constant, so $p_1V_1 = p_2V_2$. Halve the volume and the pressure doubles.
- Charles's law 查理定律, constant pressure: $V/T$ is constant. Volume rises linearly with absolute temperature and extrapolates to zero at absolute zero.
- The pressure law 气体压强定律, constant volume: $p/T$ is constant. This is the scuba tank in the sun.
- All three are the same equation with one quantity held fixed. Learn the parent equation and derive the case you need.
The line points at absolute zero, which is what makes the kelvin scale the natural one
Os três casos especiais
- Lei de Boyle 玻意耳定律, temperatura constante: $pV$ é constante, então $p_1V_1 = p_2V_2$. Metade o volume e a pressão dobra.
- Lei de Charles 查理定律, pressão constante: $V/T$ é constante. O volume aumenta linearmente com a temperatura absoluta e extrapola para zero no zero absoluto.
- Lei da pressão 气体压强定律, volume constante: $p/T$ é constante. Este é o tanque de mergulho ao sol.
- Todas as três são a mesma equação com uma quantidade mantida fixa. Aprenda a equação mãe e derive o caso que você precisa.
A linha aponta para o zero absoluto, que é o que torna a escala kelvin a natural
The ideal gas (Boyle) · O gás ideal (Boyle)
p = k / V
At constant temperature p ∝ 1/V — squeeze the volume and pressure rises. · A temperatura constante p ∝ 1/V — comprima o volume e a pressão aumenta.
At constant temperature, a gas at $100\ \text{kPa}$ is squeezed to half its volume. What is the new pressure? · A temperatura constante, um gás a $100\ \text{kPa}$ é comprimido a metade do seu volume. Qual é a nova pressão?
Boyle: $pV$ is constant, so halving $V$ doubles $p$ → $200\ \text{kPa}$. · Boyle: $pV$ é constante, logo reduzir $V$ ao dobro de $p$ → $200\ \text{kPa}$.
At constant pressure, $V$ divided by $T$ stays ____. · A pressão constante, $V$ dividido por $T$ permanece ____.
That is Charles's law: $\dfrac{V}{T} =$ constant at fixed pressure. · Essa é a lei de Charles: $\dfrac{V}{T} =$ constante a pressão fixa.
Match each gas law to what is held constant and what stays constant. · Associe cada lei dos gases ao que é mantido constante e o que permanece constante.
All three are the parent equation with one quantity fixed, so the fixed one cancels from p1V1/T1 = p2V2/T2. · Todas as três são a equação-mãe com uma quantidade fixa, então a fixa cancela-se em p1V1/T1 = p2V2/T2.
Worked example: heating at constant pressure
- A fixed mass of gas at $300\ \text{K}$ occupies $0.50\ \text{m}^3$. It is heated to $450\ \text{K}$ at constant pressure. Find the new volume.
- Pressure is constant, so it cancels from $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$, leaving $V/T$ constant.
- Both temperatures are already in kelvin here. Had they been in °C, the ratio would have been meaningless: $\tfrac{177}{27}$ is not $\tfrac{450}{300}$.
Exemplo resolvido: aquecimento a pressão constante
- Uma massa fixa de gás a $300\ \text{K}$ ocupa $0.50\ \text{m}^3$. É aquecida para $450\ \text{K}$ a pressão constante. Encontre o novo volume.
- A pressão é constante, então cancela de $p_1V_1/T_1 = p_2V_2/T_2$, deixando $V/T$ constante.
- Ambas as temperaturas já estão em kelvin aqui. Se tivessem sido em °C, a razão seria sem sentido: $\tfrac{177}{27}$ não é $\tfrac{450}{300}$.
A fixed mass of gas at 300 K occupies 0.50 m^3. It is heated to 450 K at constant pressure. What is the new volume in m^3? · Uma massa fixa de gás a 300 K ocupa 0.50 m^3. É aquecido a 450 K a pressão constante. Qual é o novo volume em m^3?
Pressure cancels, leaving V/T constant: V2 = 0.50 x 450/300 = 0.75 m^3. The ratio only works because both temperatures are in kelvin. · A pressão se cancela, deixando V/T constante: V2 = 0.50 x 450/300 = 0.75 m^3. A razão só funciona porque ambas as temperaturas estão em kelvin.
Worked example: reading a p-V cycle
- A fixed amount of gas at temperature $T$ is in state X, with pressure $2p$ and volume $V$. It is cooled at constant volume to state Y at pressure $p$, then heated at constant pressure to state Z at volume $2V$.
- X to Y is at constant volume, so $p/T$ is constant. Halving the pressure halves the temperature: $T_{\text{Y}} = T/2$.
- Y to Z is at constant pressure, so $V/T$ is constant. Doubling the volume doubles the temperature: $T_{\text{Z}} = T$.
- On a $p$-$V$ diagram a vertical line is constant volume and a horizontal line is constant pressure, and $pV/T$ has the same value at every state on the cycle. That last fact is what lets you check your answers.
Exemplo resolvido: lendo um ciclo p-V
- Uma quantidade fixa de gás à temperatura $T$ está no estado X, com pressão $2p$ e volume $V$. É resfriado a volume constante até o estado Y à pressão $p$, então aquecido a pressão constante até o estado Z no volume $2V$.
- X para Y é a volume constante, então $p/T$ é constante. Metade a pressão reduz metade a temperatura: $T_{\text{Y}} = T/2$.
- Y para Z é a pressão constante, então $V/T$ é constante. Dobrar o volume dobra a temperatura: $T_{\text{Z}} = T$.
- Em um diagrama $p$-$V$, uma linha vertical é volume constante e uma horizontal é pressão constante, e $pV/T$ tem o mesmo valor em todo estado no ciclo. Esse último fato é o que permite verificar suas respostas.
A fixed amount of gas at temperature T, pressure 2p and volume V is cooled at constant volume to pressure p. What is its new temperature? · Uma quantidade fixa de gás a temperatura T, pressão 2p e volume V é resfriada à volume constante até pressão p. Qual é sua nova temperatura?
At constant volume p/T is constant, so halving the pressure halves the absolute temperature. On a p-V diagram this is a vertical line. · A volume constante p/T é constante, logo reduzir a pressão pela metade reduz a temperatura absoluta pela metade. Em um diagrama p-V, isso é uma linha vertical.
Marks that slip away
- Kelvin, always. $T(\text{K}) = \theta(^\circ\text{C}) + 273$. This is the most-penalised error in the topic.
- Match the form to the amount: moles with $R$, molecules with $k$. Mixing them is out by $N_{\text{A}}$.
- The two-mark definition of an ideal gas needs "at all values of $p$, $V$ and $T$" as well as the relationship.
- Volumes in m³ and pressures in Pa. A volume in litres or a pressure in kPa must be converted first.
Marcas que escapam
- Kelvin, sempre. $T(\text{K}) = \theta(^\circ\text{C}) + 273$. Este é o erro mais punido no tópico.
- Combine a forma com a quantidade: mols com $R$, moléculas com $k$. Misturá-los está errado em $N_{\text{A}}$.
- A definição de dois pontos de um gás ideal precisa de "em todos os valores de $p$, $V$ e $T$" além da relação.
- Volumes em m³ e pressões em Pa. Um volume em litros ou uma pressão em kPa deve ser convertido primeiro.
You've got it
- an ideal gas obeys $pV \propto T$ with $T$ thermodynamic, at all values of $p$, $V$ and $T$
- $pV = nRT$ with moles and $R$, or $pV = NkT$ with molecules and $k$, and $k = R/N_{\text{A}}$; temperature in kelvin and SI units throughout
- for a fixed amount, $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$, and anything held constant cancels
- the three cases: Boyle ($pV$ constant), Charles ($V/T$ constant), pressure law ($p/T$ constant)
Entendeu?
- um gás ideal obedece $pV \propto T$ com $T$ termodinâmica, em todos os valores de $p$, $V$ e $T$
- $pV = nRT$ com mols e $R$, ou $pV = NkT$ com moléculas e $k$, e $k = R/N_{\text{A}}$; temperatura em kelvin e unidades SI em toda parte
- para uma quantidade fixa, $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$, e qualquer coisa mantida constante cancela
- os três casos: Boyle ($pV$ constante), Charles ($V/T$ constante), lei da pressão ($p/T$ constante)