Numerical solution of equations · Solução numérica de equações
| English | Português |
|---|---|
| root/ruːt/ | raiz |
| numerical method/njuːˈmerɪkl ˈmeθəd/ | método numérico |
| accuracy/ˈækjʊrəsi/ | exatidão |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | mudança de sinal |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | iteração |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | convergir |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | fórmula iterativa |
| rearrangement/ˌriːəˈreɪndʒmənt/ | rearranjo |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | divergir |
The root 根 you can't see
- Some equations have no neat algebraic solution. $x^3 + x - 1 = 0$ can't be factorised.
- But you know a root exists between $0$ and $1$ because the function changes sign. Numerical methods 数值方法 let you find it to any accuracy 精度.
A raiz 根 que você não pode ver
- Algumas equações não têm solução algébrica simples. $x^3 + x - 1 = 0$ não pode ser fatorado.
- Mas você sabe que uma raiz existe entre $0$ e $1$ porque a função muda de sinal. Métodos numéricos 数值方法 permitem encontrá-la com qualquer precisão 精度.
Locating a root
- Many equations can't be solved exactly. A root is a solution.
- Sign change 变号: if $f(a)$ and $f(b)$ have opposite signs (and no break between them), a root lies between $a$ and $b$.
Worked example. $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0) = -1$ (negative), $f(1) = 1$ (positive). Sign change → root between $0$ and $1$.
Sign change doesn't guarantee exactly one root. There could be 3 roots (or any odd number) between $a$ and $b$. The sign change only tells you there's at least one.
Iteration 迭代: step up to the curve and across to y = x; the steps converge 收敛 to a root
Localizando uma raiz
- Muitas equações não podem ser resolvidas exatamente. Uma raiz é uma solução.
- Mudança de sinal 变号: se $f(a)$ e $f(b)$ tiverem sinais opostos (e não houver descontinuidade entre eles), uma raiz está entre $a$ e $b$.
Exemplo resolvido. $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0) = -1$ (negativo), $f(1) = 1$ (positivo). Mudança de sinal → raiz entre $0$ e $1$.
Mudança de sinal não garante exatamente uma raiz. Pode haver 3 raízes (ou qualquer número ímpar) entre $a$ e $b$. A mudança de sinal só diz que há pelo menos uma.
Iteração 迭代: sobe até a curva e vai horizontalmente até y = x; os passos convergem 收敛 para uma raiz
Where is the root? · Onde está a raiz?
y = ax³ + bx² + cx + d
A root · raiz is where the curve crosses zero. A sign change in f(x) traps a root between two x-values. · Uma raiz é onde a curva cruza zero. Uma mudança de sinal em f(x) aprisiona uma raiz entre dois valores de x.
If f(a) and f(b) have opposite signs (and f is continuous between them), then between a and b there is: · Se f(a) e f(b) têm sinais opostos (e f é contínua entre eles), então entre a e b há:
A sign change of a continuous function guarantees a root between a and b. · Uma mudança de sinal de uma função contínua garante uma raiz entre a e b.
f(x) = x³ + x − 1. f(0) = −1 and f(1) = 1. Between which two integers is the root? · f(x) = x³ + x − 1. f(0) = −1 e f(1) = 1. Entre quais dois inteiros está a raiz?
Sign change between 0 and 1 (f(0) < 0, f(1) > 0), so root is between 0 and 1. · Mudança de sinal entre 0 e 1 (f(0) < 0, f(1) > 0), logo a raiz está entre 0 e 1.
Iteration
- Rearrange the equation into the form $x = F(x)$.
- Use the iterative formula 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$ from a first guess $x_0$.
- If the values settle, they converge to a root. Keep going until steady to the asked accuracy.
Iteration: starting from $x_0$, each step applies $F$ and reflects in $y = x$. The cobweb spirals into the fixed point — the root.
Iteração
- Reorganize a equação na forma $x = F(x)$.
- Use a fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$ a partir de uma primeira chute $x_0$.
- Se os valores se estabilizarem, eles convergem para uma raiz. Continue até ficar estável na precisão pedida.
Iteração: começando de $x_0$, cada passo aplica $F$ e reflete em $y = x$. A teia espirala até o ponto fixo — a raiz.
An iterative formula has the form: · Uma fórmula iterativa tem a forma:
Iteration repeatedly applies x_{n+1} = F(x_n) from a first guess. · A iteração aplica repetidamente x_{n+1} = F(x_n) a partir de um primeiro palpite.
If the iteration values settle down to a steady number, they have converged to a root. · Se os valores da iteração se estabilizam em um número constante, eles convergiram para uma raiz.
Convergence means the sequence approaches a fixed value — a root of the equation. · Convergência significa que a sequência se aproxima de um valor fixo — uma raiz da equação.
Using x_{n+1} = ∛(1 − x_n) with x₀ = 0, what is x₁ (2 dp)? · Usando x_{n+1} = ∛(1 − x_n) com x₀ = 0, qual é x₁ (2 casas decimais)?
x₁ = ∛(1 − 0) = ∛1 = 1.
Worked example — iteration
- Solve $x^3 + x - 1 = 0$ using $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$, starting from $x_0 = 0.5$.
- $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
- The values converge to $x \approx 0.682$.
Exemplo resolvido — iteração
- Resolva $x^3 + x - 1 = 0$ usando $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$, partindo de $x_0 = 0.5$.
- $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
- Os valores convergem para $x \approx 0.682$.
An iteration x_{n+1} = F(x_n) always converges regardless of the starting value. · Uma iteração x_{n+1} = F(x_n) sempre converge independentemente do valor inicial.
Convergence requires |F′(x)| < 1 near the root. Poor rearrangements or starting values can diverge. · A convergência requer |F′(x)| < 1 perto da raiz. Rearranjos ou valores iniciais ruins podem divergir.
Choosing a rearrangement 重新排列
- Not all rearrangements converge. The iteration $x_{n+1} = F(x_n)$ converges when $|F'(x)| < 1$ near the root.
- If it diverges 发散 (values move away), try a different rearrangement.
Escolhendo uma reorganização 重新排列
- Nem todas as reorganizações convergem. A iteração $x_{n+1} = F(x_n)$ converge quando $|F'(x)| < 1$ perto da raiz.
- Se divergir 发散 (valores se afastam), tente uma reorganização diferente.
You've got it
- a sign change of $f$ between $a$ and $b$ traps a root in between
- iteration: $x_{n+1} = F(x_n)$ from a starting guess
- if the values converge (settle), they approach a root
- convergence requires $|F'(x)| < 1$ near the root
Entendeu?
- uma mudança de sinal de $f$ entre $a$ e $b$ aprisiona uma raiz no meio
- iteração: $x_{n+1} = F(x_n)$ a partir de um chute inicial
- se os valores convergirem (se estabilizarem), eles se aproximam de uma raiz
- a convergência exige $|F'(x)| < 1$ perto da raiz