Eletromagnetismo

Este é o sétimo curso de Engenharia Elétrica Universitária: eletromagnetismo — a física por trás de todo circuito, antena e motor. Circuitos ocultam os campos dentro dos fios; este curso abre a caixa.

• A Unidade 7.1 revisa as ferramentas de cálculo vetorial (operadores do EE02, agora com coordenadas e simetrias).
• As Unidades 7.2–7.4 estabelecem a eletrostática: eletrostática, magnetostática e as equações de Maxwell reunidas.
• As Unidades 7.5–7.6 propagam ondas e as guiam por linhas de transmissão.
• A Unidade 7.7 introduz guias de onda e antenas.

A narrativa contínua é um elo: uma conexão de rádio 3 GHz entre duas placas sobre uma bancada — seus campos, sua onda, seu cabo, seu guia, suas antenas. Cada resposta de campo abaixo é calculada de duas formas (Gauss vs integração direta; Ampère vs Biot-Savart), e cada resposta de onda é verificada contra um caso limite (espaço livre, condutor perfeito, CC).

Por que importa. O receptor GPS de um celular capta −130 dBm; se isso funciona depende da divergência e do rotacional. Os operadores de EE02 são a gramática; aqui eles usam coordenadas e aprendem o atalho de simetria que torna a geometria real acessível.

A ideia, com uma imagem. Um campo tem fluxo por volume (a divergência) e circulação por área (o rotacional). Antes tocar uma integral, teste a simetria da fonte: esfera completa cilíndrica → um cilindro coaxial ($dA = r^{2}\sin θ\,dθ\,dφ$); nenhuma → integração direta cylindrical → a coaxial cylinder ($dA = r\,dφ\,dl$); none → direct integração ao longo da fórmula do campo.

diz que o fluxo líquido do campo através de uma superfície fechada é igual à integral de

volume de suas fontes. Para uma fonte simétrica, a integral de superfície integral de suas fontes. Para uma fonte simétrica, a integral de superfície colapsa para $E \times A$; resolver para o campo torna-se uma linha — que uma linha é todo exemplo de lei de Gauss neste curso.

Exemplo resolvido 1 — divergência com coordenadas. Tome $\mathbf{F} = (3x^{2}, 0, 0)$: $\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial(3x^{2})/\partial x = 6x$, então em o ponto $(2, 0, 0)$, a divergência é 12 por unidade de volume. Verifique no ponto $(−2, 0, 0)$: o campo ainda aponta na direção de $+x$ ($3x^{2}$ nunca é negativo), porém a divergência é −12 — o sinal reflete como o campo varia (a densidade de fonte), não a direção em que aponta.

Exemplo resolvido 2 — o teorema em um cubo. O fluxo dessa $\mathbf{F}$ para fora do cubo unitário $[0,1]^{3}$, pelo método volumétrico: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 6x\,dx\,dy\,dz = 6 \cdot \tfrac{1}{2} = 3$. Pelo método superficial: apenas a face $x = 1$ transporta fluxo ($3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$; a face $x = 0$ tem $3x^{2} = 0$, as outras quatro são paralelas a $\mathbf{F}$) — total 3 ✓. Ambos os métodos, um número: o teorema é uma identidade contábil que você pode sempre verificar.

Erros comuns. Integrar $r^{2}$ mas diferenciar $1/r^{2}$ (a maioria dos exemplos de Gauss esconde esse passo — escreva ambos explicitamente). Esquecer que a normal da esfera $dA = r^{2}\sinθ\,dθ\,dφ$ possui um $r^{2}$ que cancela o campo $1/r^{2}$ — esse cancelamento É o método. E aplicar a lei de Gauss a fontes assimétricas: sem simetria, não há $E \times A$, não há atalho.

Resumo. Divergência = densidade de vazão, rotacional = densidade de circulação; a simetria escolhe a superfície; o teorema da divergência é a verificação de dois caminhos que torna cada resposta aqui autoconfirmável.

Por que importa. Todo capacitor, toda falha de isolamento, todo sensor de toque é um problema de eletrostática com uma etiqueta de componente.

A ideia, com uma imagem. O campo de Coulomb de uma carga pontual, $E = q/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2})\,\hat{r}$, resume-se na Lei de Gauss:

e a simetria converte a integral em aritmética: para uma fonte esféricamente simétrica, $E \cdot 4\pi r^{2} = Q_{enc}/\varepsilon_{0}$.

A dedução. Dentro de uma esfera uniformemente carregada de raio $a$ e densidade $\rho$, a carga envolvida cresce conforme $r^{3}$ enquanto a área da esfera gaussiana cresce conforme $r^{2}$:

O potencial acumula o campo: $V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$; a capacitância de uma esfera isolada segue, $C = Q/V = 4\pi\varepsilon_{0}a$ — cerca de 1.1 pF por cm de raio, explicando por que objetos no vácuo acoplam pouco. Em uma interface dielétrica as condições de contorno são: tangencial $E$ contínua, normal $D = \varepsilon E$ saltando devido a qualquer carga superficial livre.

Exemplo resolvido 1 — a esfera, ambas as regiões. Com $\rho = 1\ \mu\text{C/m}^{3}$ e $a = 2$ cm: na superfície $r = a$, ambas as fórmulas fornecem $E = \rho a/3\varepsilon_{0} = (10^{-6} \cdot 0.02)/(3 \times 8.854 \times 10^{-12}) = 753$ V/m ✓ um único valor, dois caminhos. Em $r = 4$ cm (dobro do raio) a forma externa fornece $753/4 = 188$ V/m — a queda de $1/r^{2}$, uma oitava para fora.

Exemplo resolvido 2 — escalonar para o dielétrico. Mantenha a mesma densidade de carga livre e deixe um dielétrico homogêneo e linear preencher todo o espaço, dentro e fora da região carregada. Com $\varepsilon_{r} = 4$, o campo em toda parte cai por 4× e o valor superficial torna-se 188 V/m. O polarização altera $E$, enquanto $D = \varepsilon E$ permanece inalterado para a mesma carga livre. A carga ligada dentro da esfera é $Q_{bound} = -(1 - 1/\varepsilon_{r})Q_{free} = -0.75Q_{free}$. distribuída através do volume carregado. Não há carga ligada extra carga superficial em $r = a$, pois o dielétrico é o mesmo em ambos os lados e a polarização é contínua ali. Uma esfera dielétrica cercada por vácuo constitui um problema de valor de fronteira diferente.

Erros comuns. Usar $4\pi r^{2}$ quando a geometria é um cilindro ($2\pi r l$). Misturar $\varepsilon_{0}$ e $\varepsilon = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ durante o problema — escolha uma convenção por problema. E aplicar a forma externa (carga pontual) dentro da esfera: a carga envolvida, não a carga total, é o que Gauss observa.

Resumo. Lei de Gauss mais simetria: $E \times A = Q_{enc}/\varepsilon$; a esfera cresce linearmente internamente, decai como $1/r^{2}$ externamente, concorda na superfície. Um dielétrico divide os campos por $\varepsilon_{r}$ e armazena a diferença como carga ligada.

Por que importa. Motores, relés, ímãs de Ressonância Magnética e todo indutor iniciam com o mesmo par de leis: Biot-Savart para o caso geral, Ampère quando a simetria é favorável.

A ideia, com uma imagem. Correntes geram campos. Lei de Biot-Savart integra a contribuição de cada elemento de corrente; Lei de Ampère $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}I_{enc}$ envolve o campo ao redor da corrente. O teste de simetria da Unidade 7.1 decide qual usar.

A dedução. Para um solenóide infinito com $n$ espiras por metro, considere um laço amperiano retangular com um lado longo interno (comprimento $l$), um externo e os lados curtos cruzando os enrolamentos. A corrente envolvida é $n l I$; o campo externo de um solenóide infinito anula-se por cancelamento, e os lados curtos não contribuem (campo perpendicular a eles). Logo $B \cdot l = \mu_{0} n l I$:

Fluxo magnético $\Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$ leva a indutância $L = N\Phi/I$; para o solenóide, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$. O força de Lorentz $\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ curva carga em movimento em um círculo de raio $r = mv/qB$ — a órbita ciclotrônica.

Exemplo resolvido 1 — o solenóide avaliado. Com $n = 1000$ espiras/m e $I = 2$ A: $B = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 2 = 2.51$ mT interno, uniforme ao longo do eixo. Uma verificação de Biot–Savart integraria mil laços — é por isso que o teste de simetria vem primeiro: uma linha em vez de uma página.

Exemplo resolvido 2 — a órbita e a força. Uma carga $1\ \mu$C em $10^{6}$ m/s movendo-se perpendicularmente a um campo $1$ T sente $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{6} \times 1 = 1$ N — e circula em raio $r = mv/qB$: para um elétron ($m = 9.11 \times 10^{-31}$ kg), $r = (9.11 \times 10^{-31} \times 10^{6})/(1.6 \times 10^{-19} \times 1) = 5.7\ \mu$m — o raio ciclotrônico que define a geometria do magnetron e do espectrômetro. Verifique o velocidade: um elétron a $10^{6}$ m/s carrega 2.85 eV — confortavelmente não relativístico, então a fórmula é válida.

Erros comuns. Esquecer que a lei de Ampère exige a corrente total envolvida (loop com $N$ voltas → $NI$). Assumir que $\mathbf{B}$ é contínuo através de uma folha de corrente (sua componente tangencial salta em $\mu_{0}K$). E usar a fórmula do solenóide para uma bobina curta: "infinito" significa comprimento ≫ diâmetro, ou o campo é mais fraco e não uniforme.

Resumo. Ampère + simetria: $B \cdot l = \mu_{0}I_{enc}$; o solenóide infinito concentra fluxo, solenoide concentra fluxo, $B = \mu_{0}nI$, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$; carga em movimento circula em $r = mv/qB$.

depende daquele único termo que Maxwell adicionou para fechar o ciclo. A ideia, com uma imagem. Estática + corrente de deslocamento

completa o conjunto: completa o conjunto:

As quatro caixas formam um laço: correntes de $\mathbf{E}$ geram variação de $\mathbf{B}$, correntes de $\mathbf{B}$ geram variação de $\mathbf{E}$ — ondas autossustentáveis. ondas.

A dedução. Conservação de carga $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t$ exige a correção: tome a divergência da lei original de Ampère ($\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J}$) e o lado esquerdo é identicamente zero enquanto o lado direito é $-\mu_{0}\partial\rho/\partial t$ — não nulo sempre que a carga se acumula. Adicionar $\mu_{0}\varepsilon_{0}\partial\mathbf{E}/\partial t$ corrige isso, porque a lei de Gauss transforma a divergência desse termo em exatamente $+\mu_{0}\partial\rho/\partial t$. O ciclo se completa.

Exemplo resolvido 1 — o ampère faltante do capacitor. Um capacitor de placas paralelas carrega-se a $dQ/dt = 1$ A. Entre as placas não há corrente de condução, contudo um laço amperiano ao redor do fio deve registrar sempre 1 A, independentemente da superfície que se use. $E = Q/(\varepsilon_{0}A)$, então $\varepsilon_{0}A \cdot \partial E/\partial t = dQ/dt = 1$ A ✓ — a corrente de deslocamento É a corrente de condução, numericamente.

Exemplo resolvido 2 — elevação para a velocidade da onda. Em espaço sem fontes ($\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$), calcule o rotacional da equação do rotacional $\mathbf{E}$ e substitua a equação de $\mathbf{B}$:

números: $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$ m/s — luz, números: $1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} = 3.0 \times 10^{8}$ m/s — luz, de duas constantes medidas em bancada. O orçamento de enlace da história em andamento começa aqui.

Erros comuns. Tratar a corrente de deslocamento como uma mera contabilidade opcional (é ela que torna as equações consistentes e transporta a onda). Esquecendo qual equação tem o sinal negativo (Faraday: é a lei de Lenz, o campo induzido opondo-se à variação). E aplicando o estático a antenas: a radiação É o termo corretivo em ação.

Resumo. Quatro equações, um ciclo; a corrente de deslocamento fecha a conservação de carga e, no vácuo, gera a equação de onda em $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$.

Por que importa. Wi-Fi, radar, luz solar e a link de bancada 3 GHz são todas a mesma solução: a onda plana.

A ideia, com uma figura. Em espaço livre de fontes, a solução mais simples da equação de onda é uma onda plana: $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$ e a direção de propagação mutuamente perpendiculares, em fase, com $B = E/c$. A impedância intrínseca $\eta_{0} = \sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}} = 377\ \Omega$ do espaço livre estabelece a razão entre $E$ e $H$; o vetor de Poynting $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ pontos ao longo da propagação com $S = E^{2}/\eta_{0}$ (instantâneo; com valores eficazes de $E$ esta é a densidade média de potência, enquanto uma senoide de amplitude $E_{0}$ tem média de $E_{0}^{2}/2\eta_{0}$).

A dedução. Para $\mathbf{E} = E_{0}\cos(\omega t - kz)\,\hat{x}$, a lei de Faraday fornece $\partial B/\partial t = -\partial E/\partial z$, integrando para $B = (k/\omega)E = E/c$. A densidade de potência segue pela impedância: $H = E/\eta_{0}$, logo $S = E \times H = E^{2}/\eta_{0}$ — um número por onda.

Exemplo resolvido 1 — lendo os números. Uma onda de 100 V/m (eficaz) em 1 MHz: $B = 100/(3 \times 10^{8}) = 0.333\ \mu$T; comprimento de onda $\lambda = c/f = 300$ m; densidade de potência $S = 100^{2}/377 = 26.5$ W/m². Verifique a rota de impedância: $H = 100/377 = 0.265$ A/m, e $E \times H = 26.5$ ✓ — os dois caminhos concordam porque são a mesma razão.

Exemplo resolvido 2 — elevando à pele do condutor. Em um bom condutor** a onda decai como $e^{-\alpha z}$ com profundidade de pele $\delta = \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$. Cobre ($\sigma = 5.8 \times 10^{7}$): em 50 Hz, $\delta = \sqrt{2/(2\pi \cdot 50 \cdot 4\pi \times 10^{-7} \cdot 5.8 \times 10^{7})} = 9.3$ mm; em 1 GHz, $\delta = 2.1\ \mu$m — cerca de 4500 vezes mais fino para vinte milhões de vezes a frequência ($\delta \propto 1/\sqrt{f}$ ✓). Este único número explica por que as blindagens funcionam, por que a corrente RF percorre a superfície e por que as as traçagens de 3 GHz do link de bancada exigem cobre largo e liso: em 3 GHz a corrente reside nos primeiros 1.2 µm, logo a rugosidade superficial e qualquer revestimento ali determinam as perdas (revestimento de ouro protege contra corrosão; mas conduz pior que o cobre).

Erros comuns. Usar $c$ em um dielétrico — a velocidade ali é $1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ (≈ 0.67c no coaxial abaixo). Misturar $E/H$ (377 Ω em espaço) com $E/B$ ($c$ — uma velocidade, não uma impedância). E esquecer que campos da onda estão em fase apenas em um meio sem perdas.

Resumo. Onda plana: $E \perp B \perp \hat{k}$, $B = E/c$, $S = E^{2}/\eta_{0}$; condutores absorvem ondas como $e^{-z/\delta}$ com $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$.

Por que importa. Os dois circuitos da bancada são ligados por 40 cm de coaxial; em 3 GHz isso equivale a seis comprimentos de onda — já não é mais um circuito, mas linha de transmissão.

A ideia, com ilustração. As equações do telegrafista tratam a linha como indutância distribuída $L'$ e capacitância $C'$ por metro: $\partial v/\partial x = -L'\partial i/\partial t$ e $\partial i/\partial x = -C'\partial v/\partial t$. Suas soluções são ondas de tensão/corrente com $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$ e a impedância característica da linha $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$.

A derivação. Diferencie a primeira equação em $x$ e a segunda em $t$ e elimine $\partial^{2}i/\partial x \partial t$: uma equação de onda para $v$ com velocidade $1/\sqrt{L'C'}$. Em uma carga $Z_{L}$, o ajuste de impedância resulta no coeficiente de reflexão $\Gamma = (Z_{L} - Z_{0})/(Z_{L} + Z_{0})$: um curto-circuito anula a corrente — o diagrama de rebatimento rastreia cada rebatimento. $\Gamma = -1$ nH/m e $\Gamma = +1$ pF/m: cancels the current — the bounce diagram tracks every bounce.

1 nH/m e 316 pF/m: $L' = 250$ nH/m and $C' = 100$ pF/m: ($Z_{0} = \sqrt{250 \times 10^{-9}/100 \times 10^{-12}} = \sqrt{2500} = 50\ \Omega$ cm) — provando o ponto "linha, não circuito" com cabo padrão — os números foram escolhidos para que isso fosse verdade); $v_{p} = 1/\sqrt{250 \times 10^{-9} \times 100 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{8}$ m/s = 0.67 cm. O trecho de 40 cm da bancada corresponde a SEIS comprimentos de onda em 3 GHz ($\lambda = v_{p}/f = 6.7$ cm) — provando o ponto de "linha, não circuito" com as partes na bancada.

Exemplo resolvido 2 — o passo de circuito aberto. Acione a linha 50 Ω com um passo de 12 V, de circuito aberto. A onda incidente carrega 12 V e $12/50 = 0.24$ A. No ponto aberto, $\Gamma = +1$: a refletida +12 V duplica a tensão da carga para 24 V e a corrente refletida $-0.24$ A cancela a corrente direta a zero — um circuito aberto não consome corrente contínua ✓, e o VSWR tende ao infinito; a assinatura de circuito aberto é o que o medidor de ondas estacionárias lê.

Erros comuns. Usar $Z_{0}$ como resistência física (é uma razão; uma linha 50 Ω sem perdas não dissipa nada). Calcular $\lambda$ com $c$ em vez de $v_{p}$ (erro de 30% no PTFE). E esquecer a reflexão do lado da fonte: um driver desadaptado re-reflete, e o diagrama de rebotes deve incluí-lo. incluí-lo.

Resumo. $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$, $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$; $\Gamma = (Z_{L}-Z_{0})/(Z_{L}+Z_{0})$; abre tensão dupla, curto-circuito cancela-a; linhas longas são ondas, e o diagrama de reflexão é a contabilidade.

Por que importa. Acima de ~10 GHz, coaxial perde demais; o trecho de bancada qualquer enlace de rádio é sempre uma antena. A ideia, com uma imagem. Um tubo condutor oco guia apenas ondas

A ideia, com uma imagem. Um tubo condutor oco guia apenas ondas acima da frequência de corte: o modo dominante do guia retangular corta em $f_{c} = c/(2a)$ ($a$ = dimensão larga). Acima do corte, o comprimento de onda do guia estica: $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1 - (f_{c}/f)^{2}}$ — a onda zigzagueja, resultando em menos eixos Uma implementação ilustrativa de load-increment-store mais ramificação traça meia-onda tem ganho 2.15 dBi e resistência de entrada ≈ 73 Ω; a equação de Friis precifica todo o enlace:

A derivação. Entre as placas do guia, o campo deve caber um meio-onda estacionário ao longo de $a$: $a = \lambda_{c}/2$ no corte, logo $f_{c} = c/2a$. Ao longo do guia, a constante de propagação satisfaz $k_{g}^{2} = k^{2} - (\pi/a)^{2}$; resolver para o comprimento de onda fornece a fórmula de esticamento acima. A cadeia de Friis multiplica: potência de transmissão × ambos ganhos × fator de espalhamento $(\lambda/4\pi R)^{2}$ — uma razão de área, a apertura da antena sobre a área da esfera.

Exemplo resolvido 1 — WR-90 na faixa X. O guia WR-90 tem $a = 22.86$ mm: $f_{c} = 3 \times 10^{8}/(2 \times 0.02286) = 6.56$ GHz — faixa X (8.2–12.4 GHz) opera acima do corte. Em 10 GHz ($\lambda = 30$ mm): $\lambda_{g} = 30/\sqrt{1 - 0.656^{2}} = 39.8$ mm — 33% maior que no espaço livre. Verifique o limite: quando $f \to f_{c}$, $\lambda_{g} \to \infty$ (a onda para); quando $f \to \infty$, $\lambda_{g} \to \lambda$ (o zigzag desaparece) ✓.

Exemplo resolvido 2 — orçamento do enlace de bancada. Duas antenas de 10 dBi (G = 10) antenas, 1 m separadas na bancada, em 3 GHz ($\lambda = 0.1$ m): $P_{r}/P_{t} = 10 \times 10 \times (0.1/(4\pi \times 1))^{2} = 100 \times 6.33 \times 10^{-5} = 6.3 \times 10^{-3}$ — 22 dB de perda, ainda fácil na bancada. Escalar para as mesmas placas 1 km separadas: $(0.1/(4\pi \times 1000))^{2} = 6.33 \times 10^{-11}$, vezes 100 = $6.3 \times 10^{-9}$ (−82 dB) — o orçamento de enlace que define tamanhos de antena. Uma fórmula, duas escalas e a razão entre elas é pura geometria ($R^{2}$, um fator de $10^{6}$ ✓).

Erros comuns. Usar a dimensão ESTREITA do guia para $f_{c}$ (frequência de corte é definida pela larga). Aplicar $\lambda_{g}$ como se fosse $\lambda$ em Friis (o comprimento de onda no espaço livre pertence ali). E citar ganho de dipolo em dB sem o "i": 2.15 dBi é relativo ao isotrópico; relativo a dipolo ele é zero.

Resumo. Guia: $f_{c} = c/2a$, $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1-(f_{c}/f)^{2}}$ (esticado, infinito no corte). Antenas: Friis $P_{r}/P_{t} = G_{r}G_{t}(\lambda/4\pi R)^{2}$ — a geometria decide o último termo sempre.