Análise de Circuitos II (CA)

Este é o quarto curso de Engenharia Elétrica Universitária: análise de circuitos CA — circuitos alimentados por senoides, que é como quase todos os análise** — circuitos acionados por senoides, assim como quase todos A energia elétrica é gerada e transportada. A onda 1 resolve CC; as ferramentas da EE02 (números complexos, equações diferenciais, Laplace) agora se pagam sozinhas.

• A unidade 4.1 torna a aritmética dos senoides: o fasor e a impedância.
• As unidades 4.2–4.4 aplicam isso: potência CA, trifásica, resposta de segunda ordem e ressonância.
• As unidades 4.5–4.7 ampliam a visão: filtros e diagramas de Bode, análise de circuitos no domínio s e redes de dois terminais.

Cada unidade abre com uma história, mostra uma imagem antes do conceito formal, define termos precisos, apresenta dois exemplos progressivos cujos números são verificada por máquina, nomeia erros clássicos e encerra com um resumo de três linhas. O hábito de verificação deste curso: toda resposta booleana é verificada por resumo. O hábito de verificação: cada resposta fasorial verifica-se em um segundo representação — polar contra retangular, ou domínio do tempo contra o aritmética complexa. Aritmética complexa é apenas contabilidade; os checks mantêm-na honestidade.

A tensão da rede cruza zero cem vezes por segundo, porém um resistor ali dissipa potência constante — porque amplitude e fase estabilizam-se num padrão repetitivo. Uma senoide $v(t) = V_{m}\cos(\omega t + \varphi)$ torna-se um fasor $V = V_{m}\angle\varphi$ — a amplitude e a fase, com a frequência entendido. A diferenciação multiplica por $j\omega$; logo, em uma única frequência cada elemento adquire uma impedância:

Todos os métodos CC — divisores de tensão, nós/ malha, Thévenin — são aplicados inalterados com números complexos. A impedância do indutor aumenta com a frequência (+90°); a do capacitor diminui (−90°); a do resistor é constante (0°).

Exemplo resolvido 1 (ambas as representações concordam). $R = 30\ \Omega$ em série com $L$ tal que $\omega L = 40\ \Omega$, alimentado por $V = 100\angle 0^{\circ}$ V naquela frequência. $Z = 30 + j40 = 50\angle 53.13^{\circ}\ \Omega$; $I = V/Z = (100/50)\angle(0 - 53.13^{\circ}) = 2\angle -53.13^{\circ}$ A. Verifique na forma retangular: $I = 100(30 - j40)/2500 = 1.2 - j1.6$ A; $|I| = \sqrt{1.44 + 2.56} = 2$ ✓ and $\text{atan2}(-1.6, 1.2) = -53.13^{\circ}$ ✓. O significado no domínio do tempo: $i(t) = 2\cos(\omega t - 53.13^{\circ})$ A — a corrente está atrasada porque o indutor se opõe à variação.

Exemplo resolvido 2 (combinação em paralelo, expandido). O mesmo $R = 30\ \Omega$ agora em paralelo com o indutor $\omega L = 40\ \Omega$: $Z = \frac{30 \times j40}{30 + j40} = \frac{30 \times j40 \times (30 - j40)}{2500} = \frac{48\,000 + j36\,000}{2500} = 19.2 + j14.4 = 24\angle 36.87^{\circ}\ \Omega$ (verificado: $|Z| = \sqrt{19.2^{2} + 14.4^{2}} = 24$ ✓, e $\cos 36.87^\circ = 0.8$ ✓). Observe que a impedância em paralelo é menor que a magnitude de qualquer ramo (24 < 30 < 40) e seu ângulo (36.87°) está abaixo do 90° do indutor, puxado em direção ao resistor — cada par paralelo troca magnitude e ângulo nessa direção.

Erros comuns. Somar magnitudes de impedâncias paralelas (apenas a adição complexa é válida). Misturar configurações de calculadora em graus com fórmulas em radianos. Esquecer que o fasor carrega amplitude (ou RMS — escolha uma convenção por problema) consistentemente para V e I.

Resumo: uma frequência → fasores; $Z_R$ plano, $Z_L$ sobe 90°, $Z_C$ desce 90°; todo método DC se aplica; verifique cada resposta na outra representação.

Um aquecedor de 1 kW e um capacitor de 1 kVA ambos consomem "1 k-algo" da linha, mas apenas a parcela do aquecedor é cobrada como energia. Com fasor de tensão $V$ e corrente $I$, potência complexa $S = V\cdot I^{*}$:

com $\theta$ sendo o ângulo entre V e I. O fator de potência $\cos\theta$ é a fração da potência aparente $|S| = VI$ que realiza trabalho real.

Exemplo resolvido 1 (carga RL, verificado por dois métodos). A carga acima: $P = 100 \times 2 \times \cos 53.13^{\circ} = 120$ W, $Q = 100 \times 2 \times \sin 53.13^{\circ} = 160$ var, $|S| = 200$ VA, fp = 0.6 atrasado. Verifique: $P = |I|^{2}R = 4 \times 30 = 120$ ✓ e $Q = |I|^{2}X = 4 \times 40 = 160$ ✓ — a verificação pela fórmula de perda. Correção do fator de potência adiciona paralelo capacitância para fornecer potência reativa localmente: corrigir 160 var em 100 V (50 Hz) requer $C = Q/(\omega V^{2}) = 160/(2\pi \cdot 50 \cdot 10^{4}) = 50.9\ \mu F$.

Exemplo resolvido 2 (motor trifásico, ampliado). Um motor equilibrado com ligação estrela em uma alimentação de 415 V (linha), 50 Hz tem impedância de fase $10 + j10\ \Omega$ por fase. Tensão de fase $= 415/\sqrt{3} = 239.6$ V; corrente de fase $= 239.6/\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 239.6/14.14 = 16.94$ A (igual à corrente de linha na ligação estrela); ângulo de fase 45° atrasado. Potência total $P = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \cos 45^{\circ} = 8611$ W — e a fórmula de linha $\sqrt{3} \times 415 \times 16.94 \times 0.7071 = 8611$ W ✓ as duas rotas concordam. A rota por fase também fornece as peças faltantes: $Q = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \sin 45^{\circ} = 8611$ var, fp 0.707 atrasado, e (para um motor de ligação triângulo da mesma impedância) a corrente de fase seria $415/14.14 = 29.3$ A com corrente de linha $\sqrt{3} \times 29.3 = 50.8$ A — the star/delta factor is exactly the $\sqrt{3}$ contabilidade.

Erros comuns. Usar tensão de linha na fórmula por fase (dividir por $\sqrt{3}$ primeiro). Esquecer que o fp do motor se aplica a ambas as fórmulas. Corrigindo fator de potência no ponto errado — o capacitor vê a tensão no seu próprio ponto de conexão.

Resumo: $S = VI^{*}$ divide-se em P (cobrado) e Q (emprestado); fórmulas de perda $|I|^{2}R$, $|I|^{2}X$ são a verificação; correção capacitiva fornece Q localmente; análise trifásica por fase com $V_{line} = \sqrt{3}V_{phase}$ (estrela) é o método principal.

Fechar um chave em um capacitor carregado em série com um indutor e o corrente não pode saltar — nem chegar instantaneamente — então a resposta se curva através de pelo menos uma derivada a mais do que RC jamais precisou. Um RLC em série tem a equação diferencial $L\,d^{2}i/dt^{2} + R\,di/dt + i/C = 0$, com frequência natural** $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$ e amortecimento $\alpha = R/(2L)$. Três regimes:

• Superamortecido ($\alpha > \omega_{0}$): duas decaindas reais, sem oscilação.
• Amortecimento crítico ($\alpha = \omega_{0}$): retorno não oscilatório mais rápido.
• Subamortecido ($\alpha < \omega_{0}$): oscilação decaente em $\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^{2}}$.

Exemplo resolvido 1 (aritmética de regimes). $R = 4\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.2 \times 0.05} = 10$ rad/s; $\alpha = 4/(2 \times 0.2) = 10$ — amortecimento crítico ($\alpha = \omega_{0}$). Alterar $R$ para 2 Ω: $\alpha = 5 < 10$, subamortecido com $\omega_{d} = \sqrt{100 - 25} = 8.66$ rad/s. O teste de regime é uma comparação; o Fator Q $Q = \omega_{0}/(2\alpha)$ é 0.5 no amortecimento crítico e 1 em $R = 2\ \Omega$ — levemente amortecido (alto Q) oscila por mais tempo.

Exemplo resolvido 2 (expoentes superamortecidos, verificados por máquina, escalonados). Com $R = 8\ \Omega$ (mesmo $L$, $C$): $\alpha = 20 > 10$ — superamortecido, e os dois expoentes de decaimento são $s = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2} - \omega_{0}^{2}} = -20 \pm \sqrt{300}$, i.e. $-2.68$ and $-37.32$ s⁻¹ (verificado por máquina). O tensão do capacitor liberada de 1 V é $v_{C}(t) = A e^{-2.68t} + B e^{-37.32t}$ with $A + B = 1$ and $dv_{C}/dt(0) = 0$ (sem corrente instantânea), resultando em $A = 37.32/(37.32 - 2.68) = 1.077$, $B = -0.077$: uma queda rápida inicial sobre a lenta decomposição. A leitura: a raiz rápida apenas define os primeiros momentos; a raiz lenta ($-2.68$, a mais próxima da origem) detém a cauda — exatamente a regra do polo dominante EE02 encontrada em Laplace.

Erros comuns. Comparar $R$ com $2\sqrt{L/C}$ em vez de $\alpha$ com $\omega_{0}$ — o mesmo teste, mas escreva conforme declarado. Usar $\omega_{0}$ onde $\omega_{d}$ pertence (a oscilação que você vê é a frequência amortecida). Esquecer a segunda condição inicial: dois elementos armazenadores fornecem duas constantes.

Resumo: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, $\alpha = R/2L$, três regimes por uma comparação; $\omega_{d}$ é a oscilação visível; a raiz lenta detém a cauda; dois elementos armazenadores → duas constantes → duas verificações de extremidade.

O circuito de sintonia de um rádio seleciona uma estação de uma faixa lotada tornando uma frequência especial: na ressonância as partes imaginárias se cancelam, $\omega_{0}L = 1/(\omega_{0}C)$, ou seja, $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$. Quando $Z = R$ (puramente resistivo, mínimo), a corrente é máxima, e a largura de banda $BW = R/L = \omega_{0}/Q$. As metades da impedância se cancelam embora cada uma isoladamente possa ser grande — $V_{L}$ e $V_{C}$ podem exceder o tensão da fonte pelo fator Q.

Exemplo resolvido 1 (magnificação de tensão, verificado). $R = 5\ \Omega$, $L = 0.1$ H, $C = 10\ \mu F$: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.1 \times 10^{-5}} = 1000$ rad/s; $Q = \omega_{0}L/R = 1000 \times 0.1/5 = 20$. Em uma fonte de 10 V, a corrente na ressonância é $10/5 = 2$ A, e $V_{L} = \omega_{0}LI = 200$ V — twenty times the source. Check: $V_{C} = I/(\omega_{0}C) = 2/0.01 = 200$ V ✓; ambas são 200 V, separadas por 180°, sua soma zero.

Exemplo resolvido 2 (faixa de meia-potência, expandido). O mesmo circuito tem largura de banda: $BW = \omega_{0}/Q = 1000/20 = 50$ rad/s, e as frequências de meia-potência calculam-se em $\omega_{1} = 975.3$, $\omega_{2} = 1025.3$ rad/s — sua diferença é 50.0 ✓ (verificado por máquina). Estão distribuídas quase uniformemente de cada lado de 1000; exatamente, $\omega_{1}\omega_{2} = \omega_{0}^{2}$ (simétricas sobre um eixo logarítmico). $|Z| = \sqrt{2}R = 7.07\ \Omega$ do máximo, e cada elemento reativo mantém $1/\sqrt{2}$ vezes a tensão da fonte — ainda há amplificação, apenas passado seu pico. Esta é a seletividade que um sintonizador vende: em $Q/\sqrt{2} \approx 14$ rad/s (uma após seu pico. Esta é a seletividade que um sintonizador oferece: em 900 rad/s (uma estação vizinha duas larguras de banda afastada) a corrente cai para $10/\sqrt{R^{2} + (\omega L - 1/\omega C)^{2}} = 10/|5 + j(90 - 111.1)| = 10/21.7 = 0.46$ A — menos de um quarto da corrente ressonante de 2 A.

Erros comuns. Reportar amplificação $Q$ sem verificar o outro elemento (ambos devem coincidir). Usar $f_{0}$ onde deveria ser $\omega_{0}$ (fator $2\pi$). Acreditar que a ressonância maximiza potência em qualquer impedância de fonte — isso minimiza |Z|, o que maximiza a corrente apenas para uma fonte rígida.

Resumo: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, |Z| = R ali, BW = ω₀/Q entre os pontos de meia-potência; cada tensão reativa é Q·fonte; verifique a amplificação em ambos os elementos.

Um aumento de graves é um filtro: uma banda elevada, o resto inalterado. Um filtro passa uma banda e atenua o resto; sua função de transferência $H(j\omega)$ tem magnitude e fase. O diagrama de Bode plota $20\log_{10}|H|$ em dB contra log frequência: cada polo contribui com −20 dB/década acima do seu ponto de corte corte** $\omega_{c} = 1/(RC)$; cada zero +20 dB/década.

Exemplo resolvido 1 (passa-baixas, extremidades verificadas). Um passa-baixas RC com $R = 1.6$ kΩ, $C = 0.1\ \mu F$: $\omega_{c} = 1/(1600 \times 10^{-7}) = 6250$ rad/s (995 Hz). At $\omega_{c}$ the gain is $1/\sqrt{2} = -3$ dB e o fase −45°; em $10\omega_{c}$ a aproximação linear indica −20 dB (exato −20.04). Verifique as extremidades: em baixa frequência $H = 1$ (0 dB), em $100\omega_{c}$ ≈ −40 dB — cada década após o ponto de corte perde 20 dB, o que é a aritmética dos decibéis $20\log_{10}10 = 20$.

Exemplo resolvido 2 (o espelho passa-altas, verificado por máquina, escalonado). Inverter a saída para o resistor gera um passa-altas com a mesma $\omega_{c} = 6250$ rad/s: $H(j\omega) = (j\omega/\omega_{c})/(1 + j\omega/\omega_{c})$. At $0.1\omega_{c}$: $-20.04$ dB at $+84.3^{\circ}$; em $\omega_{c}$: $-3.01$ dB em $+45^{\circ}$; em $10\omega_{c}$: $-0.04$ dB em $+5.7^{\circ}$ (verificado por máquina) — o espelho exato do passa-baixas, com fase adiantada e a faixa de rejeição abaixo em vez de acima. A leitura de projeto: um declive mais íngreme de 40 dB/deca precisa de duas seções em cascata, e (com a carga entre elas considerada) a cascata multiplica ganhos, então os dB somam — a mesma lógica de encadeamento das matrizes ABCD de unidades 4.7.

Erros comuns. Interpretar −3 dB como "metade da potência perdida no filtro" na canto (é metade da potência entregue à carga em relação à faixa central). Misturar $\omega$ e $f$ no mesmo eixo. Esquecer a fase: um filtro que é plano em magnitude ainda pode distorcer um pulso devido à sua inclinação de fase.

Resumo: polos −20 dB/década acima do canto, zeros +20; −3 dB e ±45° no canto; as assintotas são a ferramenta de projeto, a curva exata é a verificação.

A mecânica de Laplace da EE02 torna-se um método de circuito: cada elemento recebe um modelo no domínio s com condições iniciais como fontes —

• Resistor: $Z = R$.
• Indutor: $Z = sL$ mais uma tensão em série $Li(0^{-})$ (ou paralelo fonte de corrente $i(0^{-})/s$).
• Capacitor: $Z = 1/(sC)$ mais uma fonte de corrente em paralelo $Cv(0^{-})$ (ou tensão em série $v(0^{-})/s$).

Então todos os métodos DC aplicam-se em $s$. Os polos da resposta carregam o transiente; os polos da entrada carregam o estado estacionário.

Exemplo resolvido 1 (a onda-1 RC, por álgebra). A resposta em degrau da onda-1 RC com tensão inicial: $R = 10$ kΩ, $C = 100\ \mu F$ ($\tau = 1$ s), fonte 9 V, $v_{C}(0) = 1$ V. KVL no domínio s: $9/s = IR + v_{C}(0)/s + I/(sC)$ → $I = 8/(R(s + 1/(RC))) = 8/(10^{4}(s+1))$; $V_{C} = v_{C}(0)/s + I/(sC) = 1/s + 8/(s(s+1)) = 9/s - 8/(s+1)$, então $v_{C}(t) = 9 - 8e^{-t}$ V — exatamente a resposta de onda-1, agora derivada por álgebra. A verificação: $v_{C}(0) = 9 - 8 = 1$ ✓, $v_{C}(\infty) = 9$ ✓.

Exemplo resolvido 2 (uma RLC livre de fontes, polos combinados, escalonado). O RLC em série de unidade 4.3 com $R = 2\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F, liberado com $i(0) = 1$ A, $v_{C}(0) = 0$. Malha no domínio s (impedâncias mais a fonte do indutor $Li(0)$): $(0.2s + 2 + 20/s)I = 0.2$, então $I(s) = s/(s^{2} + 10s + 100)$ e os polos são $-5 \pm j8.66$ — exatamente o $\alpha = 5$, $\omega_{d} = 8.66$ o regime do domínio temporal que a aritmética forneceu ✓. As duas rotas são a mesma física em duas notações; a rota no domínio-s entrega os expoentes sem memorizar uma forma, e frações parciais (como em EE02) complete a forma de onda.

Erros comuns. Remover as fontes de condição inicial — a resposta então afirma que o circuito começa em repouso. Cancelar $s$ cegamente (um fator de $s$ em numerador e denominador pode ocultar um impulso). Esquecer a condição do teorema do valor final (polo estritamente no semiplano esquerdo).

Resumo: as impedâncias tornam-se $R$, $sL$, $1/sC$ mais fontes de condição inicial; métodos CC em $s$; os polos são $\alpha$ e $\omega_{d}$; verificações finais ainda gratuito.

Um módulo de amplificador, uma rede de adaptação, um trecho de cabo — cada um é uma caixa com dois pares de fios, e o projetista precisa apenas do que a caixa faz em seus terminais. Um bipólo possui pares de terminais de entrada e saída; o mundo externo observa apenas o comportamento da porta. Conjuntos de parâmetros relacionam as variáveis das portas: variáveis:

A conversão é algébrica (ex.: a partir dos parâmetros z: $A = z_{11}/z_{21}$, $B = (z_{11}z_{22} - z_{12}z_{21})/z_{21}$). Conexões em cascata multiplicam Convenções de porta e os dois blocos elementares ABCD com que toda cadeia se compõe

Exemplo resolvido 1 (a cascata em L, determinante verificado). A impedância em série $Z$ tem $ABCD = (1, Z; 0, 1)$; a admitância em derivação $Y$ tem $(1, 0; Y, 1)$. Cascateando derivação-$Y$ seguido de série-$Z$: $(1,0;Y,1)(1,Z;0,1) = (1, Z; Y, 1+YZ)$. Verificar com $Z = j10$, $Y = -j0.1$ (uma seção L em uma frequência): $1 + YZ = 1 + (-j0.1)(j10) = 2$, $B = j10$ — e o determinante $AD - BC = 2 - j10 \cdot (-j0.1) = 1$ é igual a 1, como toda matriz ABCD de uma rede recíproca deve ser.

Exemplo resolvido 2 (em parâmetros-z, verificado por máquina, escalonado). Os mesmos parâmetros-z da seção L na conversão $z_{11} = A/C$, $z_{12} = \Delta/C$, $z_{21} = 1/C$, $z_{22} = D/C$ with $C = Y = -j0.1$: $z_{11} = z_{12} = z_{21} = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$, $z_{22} = 2/(-j0.1) = j20\ \Omega$ (machine-verified). The symmetry $z_{12} = z_{21}$ é a condição de reciprocidade — visível nos números, não assumida — e $z_{22} \neq z_{11}$ registra a assimetria da seção L (elemento shunt no lado de entrada). Leia para trás: com porta 2 aberta ($I_{2} = 0$), $V_{1} = j10 I_{1}$ — o braço em série não transporta corrente, então a entrada vê apenas o elemento shunt, $1/Y = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$.

Erros comuns. Sinal de $I_{2}$: ABCD usa $-I_{2}$ (corrente saindo da porta 2); parâmetros z usam ela entrando na porta — escolha a convenção e mantenha-a. Multiplicar cascatas na ordem errada (o produto matricial não é comutativo). Esperar $z_{12} = z_{21}$ para uma rede com fontes controladas internas — reciprocidade exige linearidade sem fontes dependentes.

Resumo: portas ocultam o interior; ABCD cascata por multiplicação (redes recíprocas: $AD - BC = 1$); parâmetros z adequam-se a conexões em série e expõem reciprocidade como $z_{12} = z_{21}$; converta apenas por álgebra, verifique com um determinante.