Escopo e pré-requisitos
Baseado no framework Digital SAT. Estas tarefas impressas não são adaptativas e não predizem uma pontuação escalonada.
- Interpretar zeros, vértices e parâmetros de formas funcionais úteis
- Distinguir mudança linear aditiva de mudança exponencial multiplicativa
- Transformar um gráfico mantendo seu entrada e saída
Pré-requisitos: Notação funcional; quadrados; multiplicadores de crescimento.
Explicar e escolher o método
A forma de vértice a(x-h)²+k identifica o vértice (h,k) e a direção de abertura; a forma fatorada identifica zeros. A mesma função pode ter ambas as formas. Em contexto, determine quais recursos são significativos: uma altura máxima ocorre no vértice de uma parábola voltada para baixo, enquanto um zero pode representar retornar ao nível do solo.
Para y=A b^t, A é o valor em t=0 e b é o fator por unidade de tempo. Uma taxa de crescimento r resulta em b=1+r; declínio resulta em b=1-r. Diferenças iguais indicam um modelo linear, enquanto razões iguais indicam um modelo exponencial para passos de entrada iguais. Nenhum modelo deve ser extrapolado além de um domínio justificado sem uma razão contextual.
Um deslocamento de saída f(x)+k move cada ponto verticalmente em k. Um deslocamento de entrada f(x-h) move o gráfico para a direita em h: a mesma entrada antiga é alcançada quando o novo x é maior. Um multiplicador fora escala a saída; um negativo fora reflete através do eixo x. Determine a transformação algebricamente em vez de memorizar uma direção sem verificar um ponto.
Para um fator exponencial dado sobre vários períodos de tempo, diferencie esse intervalo de uma unidade. Dobrar a cada três horas significa 2^(t/3), não 2^t. Para uma função quadrática, use a representação solicitada para ler um extremo ou resolver para uma entrada. Mantenha valores iniciais, fatores de crescimento e percentuais de crescimento separados.
A forma de vértice $a(x-h)^2+k$ revela o ponto de inversão $(h,k)$. Para $H(t)=-2(t-4)^2+32$, o máximo é 32 quando $t=4$. Igualar $H(t)=0$ resulta em $(t-4)^2=16$, logo $t=0,8$. Restrinja o tempo ao intervalo físico quando o problema representa um voo.
Exemplo resolvido. h(t)=-4(t-3)²+36 tem um máximo 36 em t=3, com raízes t=0 e 6. N(t)=80(1.25)^t inicia em 80 e cresce 25% por unidade; N(2)=125. Uma quantidade que dobra a cada três horas é 80·2^(t/3), então após seis horas será 320. Se f(x)=x², f(x-2)+5 tem vértice em (2,5).
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
A altura do modelo é $H(t)=-3(t-2)^2+12$ metros, com $t$ segundos desde o lançamento até o retorno ao solo. Encontre o domínio, a altura máxima e o intervalo de tempo com altura de pelo menos 9 metros.
Raciocínio. Solo significa $H=0$, logo $(t-2)^2=4$ e $t=0,4$. O domínio é $0\le t\le4\,\mathrm{s}$. O coeficiente negativo do termo quadrático indica um máximo $H(2)=12\,\mathrm{m}$. Para $H\ge9\,\mathrm{m}$, $(t-2)^2\le1$, logo $1\le t\le3\,\mathrm{s}$.
Prática 2
Um modelo de cultura começa com 120 células e cresce por um fator de 1.5 a cada duas horas. Escreva $N(t)$ para horas $t$, encontre $N(4)$ e distinga o fator da porcentagem de crescimento.
Raciocínio. Células $N(t)=120(1.5)^{t/2}$. Células $N(4)=120(1.5)^2=270$. O crescimento é 50% a cada duas horas, não 150%; o fator de quatro horas é 2.25. O fator horário seria $\sqrt{1.5}$.
Prática 3
Se $f(x)=(x+1)^2$, encontre o vértice de $g(x)=-2f(x-3)+5$ e seu máximo ou mínimo.
Raciocínio. Substitua a entrada antes de interpretar os sinais. $g(x)=-2(x-2)^2+5$ tem vértice $(2,5)$ e máximo 5. O antigo vértice em $-1$ moveu-se três unidades para a direita até 2.
Limites e próximo uso
Um fator de 1.25 significa crescimento de 25%, não crescimento de 125%; f(x-2) desloca para a direita, e um percentual repetido usa a quantidade atualizada.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.