MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

Escrever o laplaciano de uma função radial como f″ omite um termo; o operador pertence às coordenadas, não ao símbolo.

Pré-requisitos: Álgebra, diferenciação e componentes vetoriais.

• Use a divergência e o laplaciano no sistema de coordenadas selecionado pela simetria
• Resolva um problema de valor de contorno simples com modo separado
• Verifique convergência, unidades e estabilidade de uma atualização numérica original

Escolha coordenadas pela simetria antes de escrever os operadores. Para uma função radial em coordenadas esféricas, ∇²f=f″+(2/r)f′, e a divergência de um campo radial A=A_r r̂ é (1/r²)d(r²A_r)/dr. Verificação: A=k r̂/r² tem divergência (1/r²)dk/dr=0 longe da origem, e f=1/r satisfaz ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 longe da origem. Formas cartesianas aplicam-se apenas a dependências cartesianas.

A separação de variáveis transforma um problema de valor de contorno em modos ordinários. Para uma corda fixa em ambas as extremidades, escreva u=X(x)T(t); a equação das ondas dá X″/X=(1/c²)T″/T=−k², as extremidades fixas impõem X=sin(nπx/L), e as frequências permitidas são ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). Cada modo deve satisfazer as condições de contorno antes de qualquer soma sobre modos.

Uma atualização explícita de Euler para y′=−λy é y_{n+1}=(1−λh)y_n, limitada quando |1−λh|≤1, ou seja, 0<h≤2/λ for λ>0; o decaimento assintótico exige 0<h<2/λ. Com λ=10 /s, h não pode exceder 0.2 s; h=0.25 s multiplica por −1.5 a cada passo e diverge com sinal alternado. A estabilidade é uma propriedade da recorrência, não da solução verdadeira.

Verifique uma resposta numérica de três maneiras antes de confiá-la: unidades de cada termo (λh deve ser adimensional), convergência sob refinamento (metade h e compare; erro de Euler explícito é de primeira ordem) e um caso limite com resposta exata conhecida. Para y′=−4y com y0=8 e h=0.2, cinco passos dão 8×0.2⁵=0.00256 versus exato 8e^(−4)≈0.1465: estável mas impreciso, portanto refine.

Um campo radial esférico tem divergência

Para $A_r=Cr$, resulta em 3C, não C. Extremidades de string fixas exigem $X(0)=X(L)=0$, logo $X_n=\sin(n\pi x/L)$ com inteiro positivo n. Euler para $\dot y=-\lambda y$ resulta em $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. Para h positivo, estabilidade absoluta limitada permite $h\leq2/\lambda$; decrescimento a zero exige a desigualdade estrita $0<h<2/\lambda$. No extremo superior, a solução numérica oscila sem decrescer. Estabilidade não garante precisão.

Aplicar o Laplaciano cartesiano a uma função radial, somar modos que violam as condições de fronteira ou considerar uma execução visualmente limitada como convergente sem refinar o passo. Corresponda operador, fronteiras e condição de estabilidade ao problema real.

separação de variáveis: Resolver uma equação diferencial parcial escrevendo o desconhecido como produto de fatores de uma única variável.

condição de estabilidade: Restrição do tamanho do passo que impede amplificação de erros na recorrência numérica.