GAC016 Matemática III: Cálculo e Aplicações Avançadas

GAC016 é cálculo, e é o módulo GAC que as universidades mais frequentemente concedem crédito. Várias publicam equivalência de cálculo de primeiro ano contra ele, o que significa que o padrão esperado aqui é um padrão universitário, não escolar.

Três unidades apenas — diferenciação 微分, integração 积分, e aplicações — então cada uma é coberta com mais profundidade do que uma unidade de Nível I. A avaliação segue o padrão usual: um teste, um avaliação sobre todas as três unidades, e trabalho de campo.

• ⚠ A notação é pontuada. $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ e $\dot{y}$ significam a mesma coisa, mas uma questão que usa uma espera que ela retorne.
• Toda resposta aplicada precisa ter suas unidades e sua interpretação. "$-3$" não é uma resposta; "o volume está caindo a 3 cm³ por segundo" é.

Uma derivada 导数 é uma taxa de variação: quão rápido $y$ muda conforme $x$ muda. Geometricamente, é a inclinação da tangente 切线斜率 em um ponto.

Esse limite é a definição, e diferenciação pelos primeiros princípios 从定义求导 é cobrado na prova, mesmo que você use as regras depois.

• A regra da potência 幂法则: se $y = x^n$ então $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
• A regra do produto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
• A regra do quociente 商法则: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• A regra da cadeia 链式法则: se $y = f(g(x))$ então $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Pontos estacionários 驻点 ocorrem onde $f'(x) = 0$. A segunda derivada 二阶导or então os classifica: negativo é um máximo 极大值, positivo um mínimo 极小值.

Exemplo resolvido. Encontre e classifique os pontos estacionários de $y = x^3 - 3x$.

Em $x = 1$ a segunda derivada é $6 > 0$, logo é um mínimo em $(1, -2)$. Em $x = -1$ é $-6 < 0$, logo um máximo em $(-1, 2)$. Classificar com a segunda derivada é o passo pontuado; dizer "um é um máximo" sem isso não rende pontos.

Integração é diferenciação ao contrário, e também a área sob uma curva. Esses dois fatos são o mesmo fato, que é o que o teorema fundamental do cálculo 微积分基本定理 afirma.

• Uma integral indefinida 不定积分 não tem limites e precisa da constante de integração 积分常数: $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ para $n \neq -1$.
• Uma integral definida 定积分 tem limites e dá um número: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Integração por substituição 换元积分法 inverte a regra da cadeia.
• ⚠ Esquecer $+c$ numa integral indefinida é a única causa mais frequente de perda de pontos no módulo, e ocorre em questões que você respondeu corretamente de outra forma.

Exemplo resolvido. Encontre a área entre $y = x^2$ e o eixo $x$ de $x = 0$ a $x = 3$.

Os colchetes com limites fazem parte do método, não decoração. Uma resposta de 9 sem linha de colchete mostra nada sobre como foi obtida.

• Otimização 最优化 encontra o maior ou menor valor de uma quantidade: escreva a quantidade como função de uma variável, diferencie, iguale a zero e classifique.
• Taxas de variação 变化率 encadeiam-se: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• Área entre duas curvas 两曲线间面积 é $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ onde $f$ é a curva superior.
• Custo marginal e receita marginal 边际成本与边际收益 são derivadas, é por isso que departamentos de economia reconhecem este módulo.

Exemplo resolvido. Um cilindro deve conter 500 cm³. Que raio minimiza o metal usado?

Área de superfície $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$, e a restrição de volume dá $h = \dfrac{500}{\pi r^2}$.

Então $r^3 = \dfrac{250}{\pi}$ e $r = 4.30$ cm. A restrição é o que transforma duas variáveis em uma, e escrever essa linha de substituição é onde a maioria dos pontos de método está.