GAC004 Matemática I: Fundamentos

GAC004 reconstrói a matemática escolar em inglês para que possa estudar uma disciplina universitária que a utilize. A própria matemática é familiar. As palavras, os símbolos e a forma como uma solução é apresentada são a parte nova, e valem notas.

O módulo decorre em seis unidades e é avaliado no seu próprio centro de ensino em várias eventos separados, e não num único exame final. Um conjunto típico inclui um breve teste em sala 课堂测验 nas unidades iniciais, um ou dois projetos 项目 construídos numa folha de cálculo, um exame 考试 cobrindo todas as seis unidades, e trabalhos práticos 平时作业 que incluem um diário de terminologia. O seu centro publica os pesos exatos; o ponto a reter da lista é que as notas acumulam-se durante todo o semestre.

• O diário de terminologia 术语记录本 é um componente real. Anote cada nova palavra matemática com um significado com as suas próprias palavras, e será inspecionado durante o semestre.
• Existem notas por método. Uma resposta correta sem desenvolvimento pode obter menos do que uma resposta errada com um método claro e correto, pelo que escreva os passos.
• Leia a palavra-chave 指令词 na questão. Solve pede um valor, simplify quer uma expressão mais curta, analyse quer um comentário sobre o que a resposta significa.

O vocabulário dos números é assumido por todas as unidades seguintes.

Um número inteiro 整数 é um número completo, positivo ou negativo. Um número racional 有理数 pode ser escrito como fração de dois inteiros; um número irracional 无理数 não pode, e $\pi$ e $\sqrt{2}$ são exemplos padrão. Um número primo 质数 tem exatamente dois divisores, ele próprio e 1.

A ordem das operações 运算顺序 fixa o significado de uma expressão escrita: parênteses, depois índices, depois multiplicação e divisão, depois adição e subtração, trabalhando da esquerda para a direita dentro de um nível.

• Um fator 因数 divide um número exatamente; um múltiplo 倍数 é o resultado de multiplicá-lo. 6 é fator de 24, e 24 é múltiplo de 6.
• O maior divisor comum (MDC) 最大公因数 e o mínimo múltiplo comum (MMC) 最小公倍数 derivam dos fatores primos: $24 = 2^3 \times 3$ e $36 = 2^2 \times 3^2$, pelo que o MDC é $2^2 \times 3 = 12$ e o MMC é $2^3 \times 3^2 = 72$.
• Uma percentagem 百分比 é uma fração com denominador 100. Um aumento de 15% multiplica por $1.15$; uma diminuição de 15% multiplica por $0.85$. Inverter uma variação percentual significa dividir, nunca subtrair a mesma percentagem de volta.
• Algarismos significativos 有效数字 indicam quão precisamente um valor é conhecido. $0.004\,072$ com três algarismos significativos é $0.004\,07$.
• Notação científica 科学记数法 escreve um número como $a \times 10^n$ com $1 \le a < 10$. É assim que uma calculadora mostra uma resposta muito grande ou muito pequena.

Exemplo resolvido. Uma loja aumenta o preço de 240 yuan em 15%, depois reduz o novo preço em 15%. O preço final é 240 yuan?

Não. As duas porcentagens incidem sobre valores diferentes, portanto o preço final é 234.60 yuan. Isso o erro percentual mais comum no módulo.

Álgebra é aritmética com letras representando números, e possui o seu próprio vocabulário.

Em $5x^2 - 3x + 7$, o todo é uma expressão 表达式; $5x^2$, $-3x$ e $7$ são os seus termos 项; 5 é o coeficiente 系数 de $x^2$; e 7 é uma constante 常数.

Uma equação 方程 afirma que duas expressões são iguais e resolve-se para um valor. Uma identidade 恒等式 é verdadeira para qualquer valor. Uma desigualdade 不等式 compara duas expressões com $<$, $\le$, $>$ ou $\ge$.

Expandir 展开 é remover parênteses; fatorizar 因式分解 é colocá-los novamente.

• Resolver uma equação linear 一元一次方程 significa realizar a mesma operação em ambos os lados até a letra ficar sozinha.
• Uma equação quadrática 一元二次方程 tem um termo $x^2$. Tente fatorizar primeiro; se falhar, use a fórmula $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Equações simultâneas 联立方程 são duas equações em duas incógnitas, resolvem-se por substituição ou por eliminação. A solução é o ponto onde as duas retas se encontram.
• ⚠ Uma desigualdade inverte-se 反向 quando se multiplica ou divide ambos os lados por um número negativo: de $-2x > 6$ segue-se que $x < -3$.

Exemplo resolvido. Resolva $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Um produto é zero apenas quando um fator é zero, portanto $x = 5$ ou $x = -3$. Substituir ambos de volta na equação original é como verificar, e custa dez segundos.

Um gráfico transforma uma equação numa imagem, e a geometria analítica mede essa imagem.

Uma reta é $y = mx + c$, onde $m$ é a declividade 斜率 e $c$ o intercepto y y 轴截距. A declividade é a elevação dividida pelo avanço.

• Duas retas são paralelas 平行 quando as suas declividades são iguais, e perpendiculares 垂直 quando o produto das declividades for $-1$.
• O ponto médio 中点 de um segmento é a média dos extremos, e a distância 距离 entre dois pontos vem de Pitágoras: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• Uma quadrática grafica-se como uma parábola 抛物线. O seu vértice 顶点 é o ponto de inversão, e as raízes 根 são onde cruza o eixo $x$, que são as soluções de $y = 0$.
• Para resolver duas equações graficamente 用图像求解, desenhe ambas e leia as coordenadas do interseção. A resposta tem apenas a precisão do desenho, pelo que uma verificação algébrica é importante.

Exemplo resolvido. Encontre a equação da reta que passa por $(2, 1)$ e $(6, 9)$.

Substituindo $(2, 1)$ em $y = 2x + c$ obtemos $1 = 4 + c$, então $c = -3$ e a linha é $y = 2x - 3$. Verifique o segundo ponto: $2(6) - 3 = 9$ ✓.

Geometria plana trata de formas planas, geometria sólida de tridimensionais, e geometria euclidiana é o raciocínio que as conecta.

Ângulos numa linha reta somam $180°$, ângulos ao redor de um ponto somam $360°$, e os ângulos internos de qualquer triângulo somam $180°$. Num polígono 多边形 de $n$ lados os ângulos internos somam $(n - 2) \times 180°$.

• Formas congruentes 全等 são idênticas em tamanho e forma; formas semelhantes 相似 têm a mesma forma com todos os comprimentos numa mesma razão.
• Teorema de Pitágoras 勾股定理 aplica-se a um triângulo retângulo: $a^2 + b^2 = c^2$, onde $c$ é a hipotenusa 斜边.
• Área 面积 mede-se em unidades quadradas e volume 体积 em unidades cúbicas. Um cilindro tem volume $\pi r^2 h$; uma esfera tem volume $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ e área superficial $4\pi r^2$.
• ⚠ Escala não é linear. Se todos os comprimentos de um sólido forem dobrados, a sua área multiplica-se por $2^2 = 4$ e o seu volume por $2^3 = 8$.

Exemplo resolvido. Um tanque cilíndrico tem raio 1.2 m e altura 3.0 m. Qual é o seu volume armazena, em litros?

Um metro cúbico equivale a 1000 litros, pelo que o tanque armazena cerca de 13,570 litros. Manter a unidade durante o cálculo é o que torna a conversão final óbvia.

Trigonometria conecta os ângulos de um triângulo aos seus lados.

Num triângulo retângulo, com $\theta$ sendo um dos ângulos agudos, as três razões são $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ e $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

Para qualquer triângulo, aplicam-se a lei dos senos 正弦定理 e a lei dos cossenos 余弦定理:

• Um ângulo pode medir-se em graus 度 ou em radianos 弧度, onde $\pi$ radianos é $180°$. Verifique qual modo a sua calculadora está antes de cada questão.
• O círculo unitário 单位圆 estende as razões para além de $90°$ e explica por que $\sin$ e $\cos$ se repetem a cada $360°$: elas são períodicas 周期的.
• Um rumo 方位角 é medido no sentido horário a partir do norte e sempre escrito com três algarismos, como $075°$.
• Ângulos de elevação e depressão 仰角与俯角 são medidos em relação à horizontal, para cima e para baixo, respectivamente.

Exemplo resolvido. A partir de um ponto a 40 m da base de uma torre, o ângulo de elevação do topo é $32°$. Qual é a altura da torre?

Os lados oposto e adjacente estão envolvidos, o que determina a escolha da razão tangente tangente. Escolher a razão é o passo avaliado, não a aritmética.

Essas duas funções descrecem crescimento e decaimento, e se anulam mutuamente.

Uma função exponencial 指数函数 tem a forma $y = a^x$: a variável está no expoente 指数. Ela cresce por um fator constante a cada etapa, razão pela qual eventualmente supera qualquer linha reta.

Um logaritmo 对数 responde à pergunta inversa. $\log_a y = x$ significa exatamente $a^x = y$, portanto $\log_{10} 1000 = 3$.

• As leis transformam multiplicação em adição, o que torna o logaritmo útil para resolver uma equação com a incógnita no expoente.
• Os logaritmos naturais 自然对数 usam a base $e \approx 2.718$ e são escritos $\ln$.
• Juros compostos 复利 são exponenciais: $A = P(1 + r)^n$ após $n$ períodos.
• Decaimento exponencial 指数衰减 tem uma base entre 0 e 1, e modela resfriamento, remédios saindo do sangue e materiais radioativos.

Exemplo resolvido. 5000 yuan são investidos a 4% ao ano, capitalizados anualmente. Quantos anos inteiros serão necessários até ultrapassar 7000 yuan?

Leva 9 anos inteiros. Aplicar logaritmos em ambos os lados é o passo que traz $n$ para fora do expoente, e é a técnica cuja unidade existe para ensinar.