GAC010 Matemática II: Probabilidade, Estatística e Finanças

GAC010 é o módulo de Matemática de Nível II, e é aquele que mais se assemelha à matemática que um grau universitário em negócios, economia ou ciências sociais realmente utiliza: sequências, dinheiro, probabilidade e estatística.

A avaliação segue o padrão do GAC004 — um teste 测验 nas unidades iniciais, um ou dois projetos 项目 construídos em planilha, um exame 考试 sobre todas as oito unidades, e trabalhos acadêmicos 平时作业 incluindo o diário de terminologia. Várias universidades publicam créditos para este módulo, então trate-o como um curso de primeiro ano em vez de revisão.

• As unidades financeiras recompensam o método demonstrado. Um único número sem o desenvolvimento rende quase nada, porque o avaliador não consegue ver qual fórmula você escolheu.
• Questões de estatística pedem para interpretar, não apenas calcular. "A média é 42" é metade da resposta; "a média é 42, mas os dois valores atípicos a puxam acima da mediana" é a outra metade.

Uma sequência 数列 é uma lista ordenada de números; uma série 级数 é a sua soma.

Uma sequência aritmética 等差数列 adiciona uma diferença comum 公差 fixa $d$ a cada etapa. Uma sequência geométrica 等比数列 multiplica por uma razão comum 公比 fixa $r$.

• As somas são $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ e $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ para $r \neq 1$.
• Uma série geométrica com $|r| < 1$ tem uma soma infinita 无穷和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
• A distinção importa porque o dinheiro é geométrico: juros multiplicam, não somam.

Exemplo resolvido. Uma máquina perde 12% de seu valor a cada ano a partir de 80,000 yuan. Qual é o valor após 5 anos?

Observe o expoente: após 5 anos, você aplicou a razão cinco vezes, então o termo é o sexto. Erro de um (off-by-one) aqui é o erro mais comum na unidade.

Esta unidade é a aritmética da vida ordinária, em inglês.

• Salário bruto 税前工资 é o que você ganha; salário líquido 税后工资 é o que chega depois de descontos 扣除项 como impostos e seguros.
• Juros simples 单利 são calculados $I = Prt$ — juros apenas sobre o valor original.
• Juros compostos são calculados $A = P(1+r)^n$ — juros sobre juros, razão pela qual são geométricos.
• Depreciação 折旧 é juros compostos com taxa negativa, e é assim que a máquina acima perdeu seu valor.
• Um desconto 折扣 de 20% multiplica por 0.8. Dois descontos sucessivos de 20% e 10% multiplicam por $0.8 \times 0.9 = 0.72$, o que equivale a uma redução de 28%, não 30%.

• O valor presente 现值 de um valor futuro é o quanto ele vale hoje: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• Uma anuidade 年金 é um pagamento fixo a cada período; um pagamento de empréstimo 贷款还款 é uma anuidade paga a um credor.
• A TAEG/Anual 年利率 permite comparar dois empréstimos cujas taxas nominais são citadas para períodos diferentes (períodos).
• ⚠ Taxas nominais e efetivas diferem quando os juros são capitalizados mais de uma vez ao ano. 12% ao ano capitalizado mensalmente é 12.68% efetivo, e uma questão que diz "mensal" está testando justamente isso.

Exemplo resolvido. Qual é mais barato: tomar emprestado 10,000 yuan a uma taxa de 9% ao ano, com juros compostos anualmente por 3 anos, ou a 8.7% capitalizados mensalmente?

A taxa nominal menor custa mais, pois é capitalizada 36 vezes em vez de 3. Comparar os números das taxas nominais é a armadilha; comparar os totais é o método.

Probabilidade 概率 mede quão provável é um evento, numa escala de 0 a 1.

• Para resultados igualmente prováveis, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
• Eventos são mutuamente exclusivos 互斥 quando não podem ocorrer ambos: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
• Eventos são independentes 独立 quando um não afeta o outro: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
• A regra do complemento 对立事件, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, é frequentemente o caminho mais rápido para uma resposta contendo "pelo menos um".
• Técnicas de contagem 计数方法 fornecem o denominador: uma permutação 排列 conta seleções ordenadas, uma combinação 组合 conta seleções não ordenadas.

Exemplo resolvido. Uma bolsa contém 4 bolas vermelhas e 6 azuis. Duas são retiradas sem reposição. Qual é a probabilidade de pelo menos uma vermelha?

Use o complemento: $P(\text{no red}) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{1}{3}$, portanto $P(\text{at least one red}) = \dfrac{2}{3}$.

Sem reposição, a segunda fração tem tanto numerador quanto denominador menores. Esquecer de alterar o denominador é o erro padrão.

• Uma população 总体 é todos aqueles que você deseja descrever; uma amostra 样本 são aqueles que você realmente mede.
• Uma amostra só é útil se for representativa 有代表性的. Uma pesquisa com sua própria turma não descreve a escola inteira.
• Dados qualitativos 定性数据 são categorias; dados quantitativos 定量数据 são números, seja discretos 离散 (contados) ou contínuos 连续 (medidos).
• Viés 偏差 entra através de quem você pergunta, quem responde e como a pergunta é formulada, e nenhuma quantidade de aritmética posterior o remove.

• A média 平均数 é o total dividido pela contagem. Ela usa todos os valores e todos os valores atípicos.
• A mediana 中位数 é o valor do meio em ordem. Ela ignora o quão extremos são os extremos.
• A moda 众数 é o valor mais frequente, e é a única média que funciona para categorias.
• ⚠ Escolha baseado na forma dos dados. Para renda, a mediana descreve uma pessoa típica e a média não, pois alguns valores muito grandes a puxam para cima.

• A amplitude 全距 é o maior menos o menor — um número, facilmente distorcido por um valor atípico.
• A amplitude interquartil (AIQ) 四分位距 abrange os 50% centrais, e é isso que um box plot 箱线图 desenha.
• O desvio padrão 标准差 mede a distância típica em relação à média: $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$.
• Um desvio padrão maior significa uma dispersão mais ampla. Dois conjuntos de dados podem compartilhar uma média e descrever situações completamente diferentes.

• A distribuição normal 正态分布 é a curva em sino simétrica, descrita inteiramente por sua média e seu desvio padrão.
• A regra empírica: cerca de 68% dos valores ficam dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois, e 99.7% dentro de três.
• Um escore-z 标准分 indica quantos desvios padrões um valor está da média: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, o que torna escalas diferentes comparáveis.

Exemplo resolvido. Um teste tem média 62 e desvio padrão 8. Que proporção de alunos obteve nota acima de 78?

Dois desvios padrões acima da média. Pela regra empírica, 95% ficam dentro de dois desvios padrão em ambos os lados, então 2.5% estão acima — cerca de 1 aluno em 40.