Matemática do GAC

GAC004 reconstrói a matemática escolar em inglês para que possa estudar uma disciplina universitária que a utilize. A própria matemática é familiar. As palavras, os símbolos e a forma como uma solução é apresentada são a parte nova, e valem notas.

O módulo decorre em seis unidades e é avaliado no seu próprio centro de ensino em várias eventos separados, e não num único exame final. Um conjunto típico inclui um breve teste em sala 课堂测验 nas unidades iniciais, um ou dois projetos 项目 construídos numa folha de cálculo, um exame 考试 cobrindo todas as seis unidades, e trabalhos práticos 平时作业 que incluem um diário de terminologia. O seu centro publica os pesos exatos; o ponto a reter da lista é que as notas acumulam-se durante todo o semestre.

• O diário de terminologia 术语记录本 é um componente real. Anote cada nova palavra matemática com um significado com as suas próprias palavras, e será inspecionado durante o semestre.
• Existem notas por método. Uma resposta correta sem desenvolvimento pode obter menos do que uma resposta errada com um método claro e correto, pelo que escreva os passos.
• Leia a palavra-chave 指令词 na questão. Solve pede um valor, simplify quer uma expressão mais curta, analyse quer um comentário sobre o que a resposta significa.

O vocabulário dos números é assumido por todas as unidades seguintes.

Um número inteiro 整数 é um número completo, positivo ou negativo. Um número racional 有理数 pode ser escrito como fração de dois inteiros; um número irracional 无理数 não pode, e $\pi$ e $\sqrt{2}$ são exemplos padrão. Um número primo 质数 tem exatamente dois divisores, ele próprio e 1.

A ordem das operações 运算顺序 fixa o significado de uma expressão escrita: parênteses, depois índices, depois multiplicação e divisão, depois adição e subtração, trabalhando da esquerda para a direita dentro de um nível.

• Um fator 因数 divide um número exatamente; um múltiplo 倍数 é o resultado de multiplicá-lo. 6 é fator de 24, e 24 é múltiplo de 6.
• O maior divisor comum (MDC) 最大公因数 e o mínimo múltiplo comum (MMC) 最小公倍数 derivam dos fatores primos: $24 = 2^3 \times 3$ e $36 = 2^2 \times 3^2$, pelo que o MDC é $2^2 \times 3 = 12$ e o MMC é $2^3 \times 3^2 = 72$.
• Uma percentagem 百分比 é uma fração com denominador 100. Um aumento de 15% multiplica por $1.15$; uma diminuição de 15% multiplica por $0.85$. Inverter uma variação percentual significa dividir, nunca subtrair a mesma percentagem de volta.
• Algarismos significativos 有效数字 indicam quão precisamente um valor é conhecido. $0.004\,072$ com três algarismos significativos é $0.004\,07$.
• Notação científica 科学记数法 escreve um número como $a \times 10^n$ com $1 \le a < 10$. É assim que uma calculadora mostra uma resposta muito grande ou muito pequena.

Exemplo resolvido. Uma loja aumenta o preço de 240 yuan em 15%, depois reduz o novo preço em 15%. O preço final é 240 yuan?

Não. As duas porcentagens incidem sobre valores diferentes, portanto o preço final é 234.60 yuan. Isso o erro percentual mais comum no módulo.

Álgebra é aritmética com letras representando números, e possui o seu próprio vocabulário.

Em $5x^2 - 3x + 7$, o todo é uma expressão 表达式; $5x^2$, $-3x$ e $7$ são os seus termos 项; 5 é o coeficiente 系数 de $x^2$; e 7 é uma constante 常数.

Uma equação 方程 afirma que duas expressões são iguais e resolve-se para um valor. Uma identidade 恒等式 é verdadeira para qualquer valor. Uma desigualdade 不等式 compara duas expressões com $<$, $\le$, $>$ ou $\ge$.

Expandir 展开 é remover parênteses; fatorizar 因式分解 é colocá-los novamente.

• Resolver uma equação linear 一元一次方程 significa realizar a mesma operação em ambos os lados até a letra ficar sozinha.
• Uma equação quadrática 一元二次方程 tem um termo $x^2$. Tente fatorizar primeiro; se falhar, use a fórmula $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Equações simultâneas 联立方程 são duas equações em duas incógnitas, resolvem-se por substituição ou por eliminação. A solução é o ponto onde as duas retas se encontram.
• ⚠ Uma desigualdade inverte-se 反向 quando se multiplica ou divide ambos os lados por um número negativo: de $-2x > 6$ segue-se que $x < -3$.

Exemplo resolvido. Resolva $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Um produto é zero apenas quando um fator é zero, portanto $x = 5$ ou $x = -3$. Substituir ambos de volta na equação original é como verificar, e custa dez segundos.

Um gráfico transforma uma equação numa imagem, e a geometria analítica mede essa imagem.

Uma reta é $y = mx + c$, onde $m$ é a declividade 斜率 e $c$ o intercepto y y 轴截距. A declividade é a elevação dividida pelo avanço.

• Duas retas são paralelas 平行 quando as suas declividades são iguais, e perpendiculares 垂直 quando o produto das declividades for $-1$.
• O ponto médio 中点 de um segmento é a média dos extremos, e a distância 距离 entre dois pontos vem de Pitágoras: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
• Uma quadrática grafica-se como uma parábola 抛物线. O seu vértice 顶点 é o ponto de inversão, e as raízes 根 são onde cruza o eixo $x$, que são as soluções de $y = 0$.
• Para resolver duas equações graficamente 用图像求解, desenhe ambas e leia as coordenadas do interseção. A resposta tem apenas a precisão do desenho, pelo que uma verificação algébrica é importante.

Exemplo resolvido. Encontre a equação da reta que passa por $(2, 1)$ e $(6, 9)$.

Substituindo $(2, 1)$ em $y = 2x + c$ obtemos $1 = 4 + c$, então $c = -3$ e a linha é $y = 2x - 3$. Verifique o segundo ponto: $2(6) - 3 = 9$ ✓.

Geometria plana trata de formas planas, geometria sólida de tridimensionais, e geometria euclidiana é o raciocínio que as conecta.

Ângulos numa linha reta somam $180°$, ângulos ao redor de um ponto somam $360°$, e os ângulos internos de qualquer triângulo somam $180°$. Num polígono 多边形 de $n$ lados os ângulos internos somam $(n - 2) \times 180°$.

• Formas congruentes 全等 são idênticas em tamanho e forma; formas semelhantes 相似 têm a mesma forma com todos os comprimentos numa mesma razão.
• Teorema de Pitágoras 勾股定理 aplica-se a um triângulo retângulo: $a^2 + b^2 = c^2$, onde $c$ é a hipotenusa 斜边.
• Área 面积 mede-se em unidades quadradas e volume 体积 em unidades cúbicas. Um cilindro tem volume $\pi r^2 h$; uma esfera tem volume $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ e área superficial $4\pi r^2$.
• ⚠ Escala não é linear. Se todos os comprimentos de um sólido forem dobrados, a sua área multiplica-se por $2^2 = 4$ e o seu volume por $2^3 = 8$.

Exemplo resolvido. Um tanque cilíndrico tem raio 1.2 m e altura 3.0 m. Qual é o seu volume armazena, em litros?

Um metro cúbico equivale a 1000 litros, pelo que o tanque armazena cerca de 13,570 litros. Manter a unidade durante o cálculo é o que torna a conversão final óbvia.

Trigonometria conecta os ângulos de um triângulo aos seus lados.

Num triângulo retângulo, com $\theta$ sendo um dos ângulos agudos, as três razões são $\sin \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, $\cos \theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ e $\tan \theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$.

Para qualquer triângulo, aplicam-se a lei dos senos 正弦定理 e a lei dos cossenos 余弦定理:

• Um ângulo pode medir-se em graus 度 ou em radianos 弧度, onde $\pi$ radianos é $180°$. Verifique qual modo a sua calculadora está antes de cada questão.
• O círculo unitário 单位圆 estende as razões para além de $90°$ e explica por que $\sin$ e $\cos$ se repetem a cada $360°$: elas são períodicas 周期的.
• Um rumo 方位角 é medido no sentido horário a partir do norte e sempre escrito com três algarismos, como $075°$.
• Ângulos de elevação e depressão 仰角与俯角 são medidos em relação à horizontal, para cima e para baixo, respectivamente.

Exemplo resolvido. A partir de um ponto a 40 m da base de uma torre, o ângulo de elevação do topo é $32°$. Qual é a altura da torre?

Os lados oposto e adjacente estão envolvidos, o que determina a escolha da razão tangente tangente. Escolher a razão é o passo avaliado, não a aritmética.

Essas duas funções descrecem crescimento e decaimento, e se anulam mutuamente.

Uma função exponencial 指数函数 tem a forma $y = a^x$: a variável está no expoente 指数. Ela cresce por um fator constante a cada etapa, razão pela qual eventualmente supera qualquer linha reta.

Um logaritmo 对数 responde à pergunta inversa. $\log_a y = x$ significa exatamente $a^x = y$, portanto $\log_{10} 1000 = 3$.

• As leis transformam multiplicação em adição, o que torna o logaritmo útil para resolver uma equação com a incógnita no expoente.
• Os logaritmos naturais 自然对数 usam a base $e \approx 2.718$ e são escritos $\ln$.
• Juros compostos 复利 são exponenciais: $A = P(1 + r)^n$ após $n$ períodos.
• Decaimento exponencial 指数衰减 tem uma base entre 0 e 1, e modela resfriamento, remédios saindo do sangue e materiais radioativos.

Exemplo resolvido. 5000 yuan são investidos a 4% ao ano, capitalizados anualmente. Quantos anos inteiros serão necessários até ultrapassar 7000 yuan?

Leva 9 anos inteiros. Aplicar logaritmos em ambos os lados é o passo que traz $n$ para fora do expoente, e é a técnica cuja unidade existe para ensinar.

GAC010 é o módulo de Matemática de Nível II, e é aquele que mais se assemelha à matemática que um grau universitário em negócios, economia ou ciências sociais realmente utiliza: sequências, dinheiro, probabilidade e estatística.

A avaliação segue o padrão do GAC004 — um teste 测验 nas unidades iniciais, um ou dois projetos 项目 construídos em planilha, um exame 考试 sobre todas as oito unidades, e trabalhos acadêmicos 平时作业 incluindo o diário de terminologia. Várias universidades publicam créditos para este módulo, então trate-o como um curso de primeiro ano em vez de revisão.

• As unidades financeiras recompensam o método demonstrado. Um único número sem o desenvolvimento rende quase nada, porque o avaliador não consegue ver qual fórmula você escolheu.
• Questões de estatística pedem para interpretar, não apenas calcular. "A média é 42" é metade da resposta; "a média é 42, mas os dois valores atípicos a puxam acima da mediana" é a outra metade.

Uma sequência 数列 é uma lista ordenada de números; uma série 级数 é a sua soma.

Uma sequência aritmética 等差数列 adiciona uma diferença comum 公差 fixa $d$ a cada etapa. Uma sequência geométrica 等比数列 multiplica por uma razão comum 公比 fixa $r$.

• As somas são $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ e $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ para $r \neq 1$.
• Uma série geométrica com $|r| < 1$ tem uma soma infinita 无穷和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
• A distinção importa porque o dinheiro é geométrico: juros multiplicam, não somam.

Exemplo resolvido. Uma máquina perde 12% de seu valor a cada ano a partir de 80,000 yuan. Qual é o valor após 5 anos?

Observe o expoente: após 5 anos, você aplicou a razão cinco vezes, então o termo é o sexto. Erro de um (off-by-one) aqui é o erro mais comum na unidade.

Esta unidade é a aritmética da vida ordinária, em inglês.

• Salário bruto 税前工资 é o que você ganha; salário líquido 税后工资 é o que chega depois de descontos 扣除项 como impostos e seguros.
• Juros simples 单利 são calculados $I = Prt$ — juros apenas sobre o valor original.
• Juros compostos são calculados $A = P(1+r)^n$ — juros sobre juros, razão pela qual são geométricos.
• Depreciação 折旧 é juros compostos com taxa negativa, e é assim que a máquina acima perdeu seu valor.
• Um desconto 折扣 de 20% multiplica por 0.8. Dois descontos sucessivos de 20% e 10% multiplicam por $0.8 \times 0.9 = 0.72$, o que equivale a uma redução de 28%, não 30%.

• O valor presente 现值 de um valor futuro é o quanto ele vale hoje: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• Uma anuidade 年金 é um pagamento fixo a cada período; um pagamento de empréstimo 贷款还款 é uma anuidade paga a um credor.
• A TAEG/Anual 年利率 permite comparar dois empréstimos cujas taxas nominais são citadas para períodos diferentes (períodos).
• ⚠ Taxas nominais e efetivas diferem quando os juros são capitalizados mais de uma vez ao ano. 12% ao ano capitalizado mensalmente é 12.68% efetivo, e uma questão que diz "mensal" está testando justamente isso.

Exemplo resolvido. Qual é mais barato: tomar emprestado 10,000 yuan a uma taxa de 9% ao ano, com juros compostos anualmente por 3 anos, ou a 8.7% capitalizados mensalmente?

A taxa nominal menor custa mais, pois é capitalizada 36 vezes em vez de 3. Comparar os números das taxas nominais é a armadilha; comparar os totais é o método.

Probabilidade 概率 mede quão provável é um evento, numa escala de 0 a 1.

• Para resultados igualmente prováveis, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
• Eventos são mutuamente exclusivos 互斥 quando não podem ocorrer ambos: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
• Eventos são independentes 独立 quando um não afeta o outro: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
• A regra do complemento 对立事件, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, é frequentemente o caminho mais rápido para uma resposta contendo "pelo menos um".
• Técnicas de contagem 计数方法 fornecem o denominador: uma permutação 排列 conta seleções ordenadas, uma combinação 组合 conta seleções não ordenadas.

Exemplo resolvido. Uma bolsa contém 4 bolas vermelhas e 6 azuis. Duas são retiradas sem reposição. Qual é a probabilidade de pelo menos uma vermelha?

Use o complemento: $P(\text{no red}) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{1}{3}$, portanto $P(\text{at least one red}) = \dfrac{2}{3}$.

Sem reposição, a segunda fração tem tanto numerador quanto denominador menores. Esquecer de alterar o denominador é o erro padrão.

• Uma população 总体 é todos aqueles que você deseja descrever; uma amostra 样本 são aqueles que você realmente mede.
• Uma amostra só é útil se for representativa 有代表性的. Uma pesquisa com sua própria turma não descreve a escola inteira.
• Dados qualitativos 定性数据 são categorias; dados quantitativos 定量数据 são números, seja discretos 离散 (contados) ou contínuos 连续 (medidos).
• Viés 偏差 entra através de quem você pergunta, quem responde e como a pergunta é formulada, e nenhuma quantidade de aritmética posterior o remove.

• A média 平均数 é o total dividido pela contagem. Ela usa todos os valores e todos os valores atípicos.
• A mediana 中位数 é o valor do meio em ordem. Ela ignora o quão extremos são os extremos.
• A moda 众数 é o valor mais frequente, e é a única média que funciona para categorias.
• ⚠ Escolha baseado na forma dos dados. Para renda, a mediana descreve uma pessoa típica e a média não, pois alguns valores muito grandes a puxam para cima.

• A amplitude 全距 é o maior menos o menor — um número, facilmente distorcido por um valor atípico.
• A amplitude interquartil (AIQ) 四分位距 abrange os 50% centrais, e é isso que um box plot 箱线图 desenha.
• O desvio padrão 标准差 mede a distância típica em relação à média: $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$.
• Um desvio padrão maior significa uma dispersão mais ampla. Dois conjuntos de dados podem compartilhar uma média e descrever situações completamente diferentes.

• A distribuição normal 正态分布 é a curva em sino simétrica, descrita inteiramente por sua média e seu desvio padrão.
• A regra empírica: cerca de 68% dos valores ficam dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois, e 99.7% dentro de três.
• Um escore-z 标准分 indica quantos desvios padrões um valor está da média: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, o que torna escalas diferentes comparáveis.

Exemplo resolvido. Um teste tem média 62 e desvio padrão 8. Que proporção de alunos obteve nota acima de 78?

Dois desvios padrões acima da média. Pela regra empírica, 95% ficam dentro de dois desvios padrão em ambos os lados, então 2.5% estão acima — cerca de 1 aluno em 40.

GAC016 é cálculo, e é o módulo GAC que as universidades mais frequentemente concedem crédito. Várias publicam equivalência de cálculo de primeiro ano contra ele, o que significa que o padrão esperado aqui é um padrão universitário, não escolar.

Três unidades apenas — diferenciação 微分, integração 积分, e aplicações — então cada uma é coberta com mais profundidade do que uma unidade de Nível I. A avaliação segue o padrão usual: um teste, um avaliação sobre todas as três unidades, e trabalho de campo.

• ⚠ A notação é pontuada. $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ e $\dot{y}$ significam a mesma coisa, mas uma questão que usa uma espera que ela retorne.
• Toda resposta aplicada precisa ter suas unidades e sua interpretação. "$-3$" não é uma resposta; "o volume está caindo a 3 cm³ por segundo" é.

Uma derivada 导数 é uma taxa de variação: quão rápido $y$ muda conforme $x$ muda. Geometricamente, é a inclinação da tangente 切线斜率 em um ponto.

Esse limite é a definição, e diferenciação pelos primeiros princípios 从定义求导 é cobrado na prova, mesmo que você use as regras depois.

• A regra da potência 幂法则: se $y = x^n$ então $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
• A regra do produto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
• A regra do quociente 商法则: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• A regra da cadeia 链式法则: se $y = f(g(x))$ então $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Pontos estacionários 驻点 ocorrem onde $f'(x) = 0$. A segunda derivada 二阶导or então os classifica: negativo é um máximo 极大值, positivo um mínimo 极小值.

Exemplo resolvido. Encontre e classifique os pontos estacionários de $y = x^3 - 3x$.

Em $x = 1$ a segunda derivada é $6 > 0$, logo é um mínimo em $(1, -2)$. Em $x = -1$ é $-6 < 0$, logo um máximo em $(-1, 2)$. Classificar com a segunda derivada é o passo pontuado; dizer "um é um máximo" sem isso não rende pontos.

Integração é diferenciação ao contrário, e também a área sob uma curva. Esses dois fatos são o mesmo fato, que é o que o teorema fundamental do cálculo 微积分基本定理 afirma.

• Uma integral indefinida 不定积分 não tem limites e precisa da constante de integração 积分常数: $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ para $n \neq -1$.
• Uma integral definida 定积分 tem limites e dá um número: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• Integração por substituição 换元积分法 inverte a regra da cadeia.
• ⚠ Esquecer $+c$ numa integral indefinida é a única causa mais frequente de perda de pontos no módulo, e ocorre em questões que você respondeu corretamente de outra forma.

Exemplo resolvido. Encontre a área entre $y = x^2$ e o eixo $x$ de $x = 0$ a $x = 3$.

Os colchetes com limites fazem parte do método, não decoração. Uma resposta de 9 sem linha de colchete mostra nada sobre como foi obtida.

• Otimização 最优化 encontra o maior ou menor valor de uma quantidade: escreva a quantidade como função de uma variável, diferencie, iguale a zero e classifique.
• Taxas de variação 变化率 encadeiam-se: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• Área entre duas curvas 两曲线间面积 é $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ onde $f$ é a curva superior.
• Custo marginal e receita marginal 边际成本与边际收益 são derivadas, é por isso que departamentos de economia reconhecem este módulo.

Exemplo resolvido. Um cilindro deve conter 500 cm³. Que raio minimiza o metal usado?

Área de superfície $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$, e a restrição de volume dá $h = \dfrac{500}{\pi r^2}$.

Então $r^3 = \dfrac{250}{\pi}$ e $r = 4.30$ cm. A restrição é o que transforma duas variáveis em uma, e escrever essa linha de substituição é onde a maioria dos pontos de método está.

GAC024 é matemática discreta: a matemática de coisas que você pode contar e da lógica que os computadores executam. Cinco unidades cobrem conjuntos, sistemas de contagem, binário, algoritmos e grafos.

Ela combina naturalmente com os módulos de computação, e universidades que reconhecem GAC016 geralmente também reconhecem esta para um curso de fundamentos de ciência da computação. A avaliação segue o padrão habitual: um teste, uma prova e trabalho de campo.

• ⚠ Matemática discreta tem poucas fórmulas e muito raciocínio. Uma demonstração ou um algoritmo rastreado carrega os pontos, e uma resposta sem explicação rende quase nada.

• Um conjunto 集合 é uma coleção de objetos distintos. Ordem e repetição não importam.
• União 并集 $A \cup B$ é tudo em qualquer um; interseção 交集 $A \cap B$ é o que está em ambos; o complemento de conjunto 补集 é tudo fora.
• Um subconjunto 子集 tem todos seus elementos dentro de outro conjunto.
• Uma relação 关系 pares elementos de dois conjuntos. Uma função 函数 é uma relação onde cada entrada tem exatamente uma saída.
• Um diagrama de Venn 韦恩图 transforma um problema de conjunto em uma imagem, e desenhar um geralmente é mais rápido do que raciocinar sobre ele em palavras.

Exemplo resolvido. Em uma turma de 30 alunos, 18 estudam francês e 15 alemão; 7 estudam ambos. Quantos não estudam nenhum?

Subtrair a interseção uma vez é o princípio da inclusão-exclusão 容斥原理. Somar 18 e 15 sem isso conta os sete duas vezes, que é o erro padrão.

• Uma base numérica 进制 diz quantos dígitos usa. Decimal 十进制 usa dez, binário 二进制 dois, hexadecimal 十六进制 dezesseis.
• O valor de cada dígito é seu valor posicional 位值: no binário os lugares são 1, 2, 4, 8, 16 etc.
• Hexadecimal é atalho para binário: um dígito hexadecimal é exatamente quatro bits, é por isso que endereços de memória são escritos nele.

Exemplo resolvido. Converta 1101 em binário para decimal.

Escreva os valores posicionais acima dos dígitos antes de somar. Fazer isso de cabeça é onde os erros off-by-one vêm.

• Aritmética binária 二进制运算 soma como decimal, fazendo carry em 2 em vez de 10.
• Um bit 位 é um dígito binário; um byte 字节 é oito.
• Álgebra booleana 布尔代数 trabalha com verdadeiro e falso com AND, OR e NOT.
• Uma tabela-verdade 真值表 lista cada combinação de entrada e sua saída, e é a prova completa de que duas expressões lógicas são equivalentes.
• Portas lógicas 逻辑门 são a forma física dessas operações, e um circuito lógico 逻辑电路 é o que um processador é feito de.

• Um algoritmo 算法 é uma sequência finita de passos inequívocos que termina.
• Um fluxograma 流程图 desenha-o: uma decisão é um losango, um processo um retângulo.
• Pseudocódigo 伪代码 escreve-o em inglês estruturado, que é o que uma prova geralmente pede.
• Rastreamento 追踪 de um algoritmo — uma tabela com uma coluna por variável e uma linha por passo — é a técnica pontuada, e é assim que você encontra um bug sem executar nada.
• Eficiência 效率 importa: uma busca linear verifica cada item, uma busca binária divide a lista pela metade cada vez, e em um milhão de itens isso faz a diferença entre um milhão de passos e vinte.

Exemplo resolvido. Rastreie uma busca binária para 7 em [1, 3, 5, 7, 9, 11].

Meio é 5, que é menor que 7, então busque a metade direita. Meio de [7, 9, 11] é 9, que é maior, então busque a esquerda. Meio de [7] é 7. Encontrado, em três passos em vez de quatro.

A tabela de passos é a resposta. A palavra "encontrado" não é.

• Um grafo 图 é um conjunto de vértices 顶点 unidos por arestas 边. Modela qualquer coisa com conexões: estradas, amizades, dependências.
• O grau 度 de um vértice é quantas arestas se encontram nele.
• Uma árvore 树 é um grafo conectado sem ciclos, e é a forma de um sistema de arquivos, um organograma e um documento HTML.
• Um problema de caminho mais curto 最短路径 pergunta pela rota mais barata entre dois vértices, e é o que um app de navegação resolve toda vez que você o usa.