FP2 · Further Pure Mathematics 2

Matemática Pura Avançada 2 (FP2, prova WFM02/01, 1 hora 30 minutos, 75 pontos, primeira avaliação Junho 2020) baseia-se diretamente em P1–P4 e FP1 e corresponde a um sexto do International Advanced Level. Cada unidade tem peso igual, então conteúdo de FP2 pode aparecer também dentro de Further Mathematics. O conteúdo assumido de P1–P4 permanece válido: frações parciais, parametrização e diferenciação implícita diferenciação, integração por partes e substituição, e todo o toolkit de demonstração de FP1 complexo-números e prova. Esta referência cobre desigualdades de módulo, método das diferenças, relação de Euler e teorema de De Moivre, loci e transformações z→w, equações diferenciais de primeira e segunda ordem, séries de Maclaurin e Taylor, e coordenadas polares. differential equations, Maclaurin and Taylor series, and polar coordinates.

Must-know for FP2 (assumed, not re-taught):

Duas movimentações seguras e uma proibida. Segura: dividir em casos a partir da definição do módulo ($\lvert f\rvert = f$ onde $f \ge 0$, $-f$ onde $f < 0$), e elevar ambos os lados ao quadrado $\lvert A\rvert > \lvert B\rvert$ para obter $A^2 > B^2$. Proibido: multiplicar ou dividir por uma expressão cujo sinal não foi definido — divida em casos conforme esse sinal e intersecte cada caso com seu próprio domínio.

Exemplo resolvido — um ramo morre (estilo amostra). Resolva $\lvert x^2-1\rvert > 2(x+1)$. Onde $x^2 \ge 1$: $x^2 - 2x - 3 > 0$, logo $(x-3)(x+1) > 0$, resultando em $x > 3$ ou $x < -1$; mantendo apenas $x \le -1$ ou $x \ge 1$ resulta em $x < -1$ ou $x > 3$. Onde $x^2 < 1$: $1 - x^2 > 2x + 2$ torna-se $(x+1)^2 < 0$ — impossível. A solução é $x < -1$ ou $x > 3$. Um ramo morto é um resultado, não um erro: relate-o.

Exemplo resolvido — módulo em ambos os lados (WFM02 Junho 2025 Q8). A curva C tem equação $y = \dfrac{15x}{\lvert x\rvert + 4}$ e a reta l tem equação $y = x - 2$.

(a) Resolva $x - 2 > \dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}$. O denominador é sempre positivo, portanto multiplique diretamente. Para $x \ge 0$: $(x-2)(x+4) > 15x$ resulta em $x^2 - 13x - 8 > 0$, logo $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$ (a outra raiz é negativa). Para $x < 0$: $(x-2)(4-x) > 15x$ resulta em $-x^2 - 9x - 8 > 0$, isto é, $(x+1)(x+8) < 0$, logo $-8 < x < -1$. Juntos: $-8 < x < -1$ ou $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$.

(b) Resolva $\lvert x-2\rvert > \left\lvert\dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}\right\rvert$. Ambos os lados são não negativos, então eleve ao quadrado e multiplique por $(\lvert x\rvert+4)^2$: a desigualdade torna-se $PQ > 0$, com $P = (x-2)(\lvert x\rvert+4) - 15x$ (a expressão da parte (a)) e $Q = (x-2)(\lvert x\rvert+4) + 15x$. Portanto, $P$ e $Q$ devem ter o mesmo sinal. Não basta ter "$P > 0$ ou $Q < 0$". Para $x \ge 0$: $P = x^2 - 13x - 8$ e $Q = x^2 + 17x - 8$. Ambos são positivos para $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$, e ambos são negativos para $0 \le x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$. Para $x < 0$: $Q = -x^2 + 21x - 8$ é negativo para todo $x < 0$, então precisamos de $P < 0$, que é $(x+1)(x+8) > 0$: $x < -8$ ou $-1 < x < 0$. Juntos: $x < -8$ ou $-1 < x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$ ou $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$. (Verifique $x = -5$: $\lvert x-2\rvert = 7$ mas $\left\lvert\tfrac{-75}{9}\right\rvert = 8.3$, então $-5$ está corretamente excluído.) O "logo" é real: o fator da parte (a) $P$ faz metade do trabalho.

O método das diferenças soma uma série dividindo o termo da soma (geralmente por frações parciais) de modo que cada termo cancela parte de um subsequente — o meio colapsam e sobrevivem apenas o primeiro e o último fragmento. Escreva $r = 1$, $r = 2$, $r = n-1$, $r = n$ explicitamente e observe o que se cancela; essa demonstração garante os pontos.

Exemplo resolvido — telescópica para forma fechada (WFM02 Junho 2025 Q5). Mostre $\displaystyle\sum_{r=1}^n \frac{1}{(r+1)(r+2)} = \frac{n}{2(n+2)}$. Separe:

A soma é $\left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \left(\tfrac13 - \tfrac14\right) + \cdots + \left(\tfrac1{n+1} - \tfrac1{n+2}\right)$: everything from $\tfrac13$ to $\tfrac1{n+1}$ cancela, sobrando $\tfrac12 - \tfrac1{n+2} = \tfrac{n}{2(n+2)}$. (Verifique $n = 1$: ambos os lados $\tfrac16$.) É assim também que as questões complementares de desigualdade são formuladas: $\dfrac{n}{2(n+2)} > 0.49$ precisa $n > 98$, logo o menor é $n = 99$ — a álgebra, não uma tabela de valores.

Relação de Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ transforma a forma polar em uma exponencial: $z = re^{i\theta}$, e $z^n = r^ne^{in\theta}$ torna-se pura aritmética. Observe os complementares $\cos\theta = \tfrac12(e^{i\theta} + e^{-i\theta})$ e $\sin\theta = \dfrac1{2i}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})$. Teorema de De Moivre $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ decorre, e é provável para todo inteiro positivo $n$ por indução: verdadeiro para $n = 1$; se verdadeiro para $k$, multiplicando $(\cos k\theta + i\sin k\theta)(\cos\theta + i\sin\theta)$ e expandindo com as fórmulas de adição obtemos $\cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta$. Para negativos $n$, tome os recíprocos e note $\cos(-n\theta) + i\sin(-n\theta)$ has modulus 1 and the right argument.

Exemplo resolvido — identidade de múltiplos ângulos (WFM02 Junho 2025 Q9). Expanda a parte imaginária de $(\cos\theta + i\sin\theta)^5$ pelo teorema do binômio:

De Moivre diz que isso equivale a $\sin 5\theta$. Substituindo $c^2 = 1 - s^2$: $5s(1-s^2)^2 - 10s^3(1-s^2) + s^5 = 16s^5 - 20s^3 + 5s$, então

Definindo $5\theta = \pi$ resulta $16s^4 - 20s^2 + 5 = 0$, logo $s^2 = \tfrac{5\pm\sqrt5}8$ e $\sin\tfrac\pi5 = \sqrt{\tfrac{5-\sqrt5}8} = \tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4$ — escolha a raiz menor pois $\sin\tfrac\pi5 < \sin\tfrac{3\pi}5$, e de fato $\sin\tfrac{3\pi}5$ é a raiz maior.

Exemplo resolvido — raízes quintas (WFM02 junho 2025 Q1). Resolva $z^5 = -2\sqrt2 - 2\sqrt6i$. Módulo $\sqrt{8 + 24} = \sqrt{32} = 4\sqrt2$; o argumento é $-\tfrac{2\pi}3$ (terceiro quadrante, $\tan = \sqrt3$). Portanto

cinco raízes espaçadas $\tfrac{2\pi}5$ no círculo $\lvert z\rvert = \sqrt2$. Use o padrão de raiz-$n$-ésima $\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$ — nunca aproximações decimais.

Locus na diagrama de Argand: $\lvert z - a\rvert = b$ é um círculo (centro $a$, raio $b$); $\lvert z - a\rvert = \lvert z - b\rvert$ é a bissetriz perpendicular de $a$ e $b$; $\lvert z - a\rvert = k\lvert z - b\rvert$ com $k \ne 1$ é um círculo (eleve ambos os lados ao quadrado e agrupe os termos); $\arg(z - a) = \beta$ é uma semirreta partindo de $a$. Regiões substitua = por < or >: teste um ponto conveniente (a origem raramente está no locus). Para Transformações de Möbius $w = \dfrac{az+b}{cz+d}$ com $ad-bc\ne0$, primeiramente escolha a forma algébrica útil em vez de depender apenas de substituição ponto a ponto: faça $z$ ser o assunto primeiro, depois calcule os módulos (ou argumentos) de ambos os lados. Quando $c\ne0$, um círculo que passa pelo polo $z = -\tfrac dc$ mapeia-se para uma linha reta; um círculo que não passa pelo polo mapeia-se para um círculo.

Exemplo resolvido — imagem de um círculo (WFM02 junho 2025 Q3). $w = \dfrac{9i - iz}{1+z}$ ($z \ne -1$) mapeia P, onde $\lvert z\rvert = 1$, para uma linha l. Deixando $z$ como assunto: $z(w + i) = 9i - w$, logo $z = \dfrac{9i - w}{w+i}$. Então $\lvert z\rvert = 1$ implica

logo $20v = 80$ e l é $v = 4$ — a bissetriz perpendicular de $9i$ e $-i$, exatamente como o leitura de módulo igual prevê. Verificação rápida com as extremidades do diâmetro vertical: $z = i \mapsto 5 + 4i$ e $z = -i \mapsto -5 + 4i$; ambas caem sobre $v = 4$.

Equações separáveis são assumidas. A nova forma padrão é $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$ com $P, Q$ funções de $x$: multiplique pelo fator integrante $e^{\int P\,dx}$, escolhido para que o lado esquerdo torne-se $\dfrac d{dx}\left(ye^{\int P\,dx}\right)$, então integre uma vez. Para uma substituição dada (diga-se $z = f(y)$), calcule $\dfrac{dz}{dx}$ pela regra da cadeia, reescreva a equação em $z$ e $x$, resolva a (agora linear ou separável) equação, e substitua de volta — a questão nomeia a forma-alvo, então termine nela.

Exemplo resolvido — aquecimento com fator integrante. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$: $e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$, logo $\dfrac d{dx}(ye^{2x}) = e^x$ e $ye^{2x} = e^x + C$, i.e. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

Exemplo resolvido — uma substituição seguida por um fator integrante (WFM02 junho 2025 Q6). A equação (I) é $2\dfrac{dy}{dx} + y\cot x + y^3\tan x\sec x = 0$ sobre $0 < x < \tfrac\pi2$.

(a) Com $z = \tfrac1{y^2}$, $\dfrac{dz}{dx} = -2y^{-3}\dfrac{dy}{dx}$, logo $2\dfrac{dy}{dx} = -y^3\dfrac{dz}{dx}$. Substituindo e dividindo por $y^3$: $-\dfrac{dz}{dx} + y^{-2}\cot x + \tan x\sec x = 0$, i.e.

(b) O fator integrante é $e^{-\int\cot x\,dx} = \csc x$, logo $\dfrac d{dx}(z\csc x) = \csc x\tan x\sec x = \dfrac1{\cos^2x} = \sec^2x$. Portanto $z\csc x = \tan x + C$, resultando em $z = \sin x\tan x + C\sin x$ e

(c) Em $x = \tfrac\pi6$: $y^2 = \tfrac{4\sqrt3}3$ logo $z = \tfrac{\sqrt3}4 = \tfrac12\cdot\tfrac1{\sqrt3} + \tfrac C2$, forçando $C = \tfrac1{2\sqrt3}$. Em $x = \tfrac\pi3$: $z = \tfrac{\sqrt3}2\cdot\sqrt3 + \tfrac1{2\sqrt3}\cdot\tfrac{\sqrt3}2 = \tfrac32 + \tfrac14 = \tfrac74$, logo $y^2 = \tfrac47$ e $y = \pm\dfrac2{\sqrt7}$. Ambos os sinais são respostas — $y^2$, não $y$, foi determinado.

Para $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$, a solução geral é $\text{CF} + \text{PI}$: a função complementar resolve a equação homogênea pela equação auxiliar $am^2 + bm + c = 0$; a integral particular é qualquer solução individual da equação completa.

Dadas as condições iniciais ou de fronteira, encontre as constantes por último, a partir da solução geral completa.

Exemplo resolvido — ressonância, depois condições (WFM02 junho 2025 Q4). Dado que $y = \lambda xe^{3x}$ é uma integral particular de $4\dfrac{d^2y}{dx^2} - 11\dfrac{dy}{dx} - 3y = 78e^{3x}$:

(a) $y' = \lambda e^{3x}(1 + 3x)$ e $y'' = \lambda e^{3x}(6 + 9x)$, logo o lado esquerdo é $\lambda e^{3x}\big(24 + 36x - 11 - 33x - 3x\big) = 13\lambda e^{3x}$. Igualando $78e^{3x}$ resulta em $\lambda = 6$. (O TPI simples $\lambda e^{3x}$ daria $0\cdot e^{3x}$ — daí o fator extra $x$.)

(b) Equação auxiliar $4m^2 - 11m - 3 = (4m+1)(m-3) = 0$, logo $m = -\tfrac14$ ou $3$: $y = Ae^{-x/4} + Be^{3x} + 6xe^{3x}$.

(c) Com $y = \tfrac92$ e $y' = 0$ em $x = 0$: $A + B = \tfrac92$ e $-\tfrac A4 + 3B + 6 = 0$. Resolvendo, $A = 6$, $B = -\tfrac32$, portanto

A série de Maclaurin de $f$ é $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ — diferencie quantas vezes a questão pedir (terceira e derivadas superiores são cobradas isoladamente). A série de Taylor em torno de $x = a$ substitui $x$ pelo deslocamento: $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$. Para uma equação diferencial, diferencie a própria equação para subir na escada das derivadas: $y(a)$ e $y'(a)$ substituídos na equação para $y''(a)$, então a derivada da equação para $y'''(a)$, e assim por diante — nunca rederive, diferencie.

Exemplo resolvido — solução em série em torno de um centro não nulo (WFM02 junho 2025 Q2). Dado $\dfrac{d^2y}{dx^2} - 4\dfrac{dy}{dx} - 5y = e^{2x/9}$ com $y = 2$ e $y' = -1$ em $x = 3$:

em $x = 3$: $y'' = 4y' + 5y + e^{2/3} = -4 + 10 + e^{2/3} = 6 + e^{2/3}$, logo o termo quadrático é $\tfrac12(6 + e^{2/3})(x-3)^2 = (3 + \tfrac12e^{2/3})(x-3)^2$. Derivando a equação, $y''' = 4y'' + 5y' + \tfrac29e^{2x/9}$, logo em $x = 3$: $y''' = 4(6 + e^{2/3}) - 5 + \tfrac29e^{2/3} = 19 + \tfrac{38}9e^{2/3}$. A série é $\tfrac16y'''(x-3)^3$. A série é

Em coordenadas polares, um ponto é $(r, \theta)$ com $r \ge 0$ medido a partir do reta inicial (o positivo eixo $x$, $\theta$ no sentido anti-horário). Converta com $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$ — o círculo $r = 4\cos\theta$. Conheça os esboços essenciais: $r^2 = 4r\cos\theta$ $x^2 + y^2 = 4x$ — o círculo $(x-2)^2 + y^2 = 4$. Conheça os esboços essenciais: $r = 2a\cos\theta$ (círculo na linha inicial pelo polo), $r = k\theta$ (espiral), $r = a(1+\cos\theta)$ (cardióide), $r = a\cos2\theta$ (quatro pétalas), $r^2 = a^2\cos2\theta$ (lemniscata, existente apenas onde $\cos2\theta \ge 0$). A área varrida de $\theta = \alpha$ a $\beta$ é $\tfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$; as tangentes paralelas à linha inicial ocorrem onde $\dfrac{dy}{d\theta} = \dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta = 0$.

Exemplo resolvido — áreas exatas. A lemniscata inteira $r^2 = 8\cos2\theta$: por simetria, o laço direito tem $\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}8\cos2\theta\,d\theta = 4\Big[\tfrac12\sin2\theta\Big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 4$, logo ambos os laços encerram área total $8$. A cardióide $r = 2(1+\cos\theta)$: $\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}4(1+\cos\theta)^2d\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta = 2(2\pi + 0 + \pi) = 6\pi$, pois $\int_{-\pi}^\pi\cos^2\theta\,d\theta = \pi$.

• Resolva desigualdades modulares por análise de casos e elevando ao quadrado; trate $|x|$ nos denominadores; identifique ramos inválidos; reutilize uma parte anterior quando aparecer "hence".
• Some séries finitas usando frações parciais e cancelamento, escrevendo as $r = 1, 2, n-1, n$ linhas; feche a desigualdade subsequente com álgebra.
• Use $e^{i\theta}$, as formas exponenciais de $\cos$ e $\sin$, e de Moivre (provado para inteiro $n$) para expandir ângulos múltiplos e potências, e encontrar todas as raízes de ordem $n$ em forma polar exata.
• Esboce círculos, bissetrizes, círculos de Apolônio e semirretas de argumento; teste regiões; faça de $z$ o sujeito de uma transformação de Möbius e iguale módulos ou argumentos.
• Resolva $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ com fator integrante; execute as substituições dadas e responda no formato exigido, prestando atenção a $\pm$ oriundo de $y^2$.
• Resolva equações de segunda ordem via equação auxiliar e PI tentativa (incluindo ressonância multiplica por-$x$), depois ajuste às condições iniciais.
• Construa séries de Maclaurin e Taylor, incluindo soluções de equações diferenciais diferenciando a própria equação.
• Esboce curvas polares, converta entre coordenadas cartesianas e polares, e avalie áreas exatas com $\frac12\int r^2\,d\theta$.