P2 · Pure Mathematics 2

Matemática Pura 2 (P2) é a segunda unidade obrigatória de International AS Mathematics e International AS Pure Mathematics, e de ambas as rotas International A Level. Esta referência cobre todos os tópicos de P2 no specification Edexcel IAL (Edição 3, Abril 2019): prova, teorema do fator e resto, geometria circular, sequências e séries, exponenciais e logaritmos, identidades e equações trigonométricas, pontos estacionários e integração incluindo áreas e a regra do trapézio.

• O papel P2 (WMA12/01) dura 1 hora 30 minutos com 75 pontos. Conhecimento de P1 e suas fórmulas é pressuposto e pode ser testado no papel P2.
• As mesmas regras de calculadora e Mathematical Formulae and Statistical Tables amarelas aplicam-se como para P1. As fórmulas abaixo não aparecem na cartela — memorize-as.
• Perguntas "Mostre todas as etapas do seu trabalho" rejeitam respostas apenas com calculadora; forneça respostas inexatas para 3 algarismos significativos, a menos que especificado de outra forma.

Fórmulas que você deve saber para P2 (baseado nas informações de avaliação da especificação):

Uma demonstração parte de premissas dadas através de passos lógicos até uma conclusão. P2 utiliza três métodos:

• Demonstração por exaustão: divida as possibilidades em casos e verifique cada um.
• Refutação por contraexemplo: um único exemplo que invalida a afirmação a refuta.
• Demonstração algébrica: comece com o dado, manipule identidades (não equações para resolver) e termine com a declaração-alvo.

Exemplo resolvido — exaustão (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junho 2025 Q10). Prove que para todos os inteiros positivos $m$ que não são múltiplos de 3, o valor de $m^2 + 3m + 2$ é sempre um múltiplo de 3.

• Fatorize primeiro: $m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$.
• Um inteiro positivo não divisível por 3 é ou $m = 3q + 1$ ou $m = 3q + 2$ — estes são todos os casos, portanto, exauri-los prova a afirmação.
• Caso $m = 3q + 1$: $(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ — um múltiplo de 3.
• Caso $m = 3q + 2$: $(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ — um múltiplo de 3.
• Ambos os casos resultam em um múltiplo de 3, logo $3 \mid m^2+3m+2$ sempre que $3 \nmid m$. $\blacksquare$
• Verificação: $m = 1$: $6 = 3 \times 2$ ✓; $m = 2$: $12 = 3 \times 4$ ✓; $m = 4$: $30$ ✓; $m = 5$: $42$ ✓.

Exemplo resolvido — contraexemplo. Refutar: "$n^2 - n + 1$ é primo para todos os inteiros $n \ge 2$."

• Um contraexemplo basta. Tente $n = 5$: $25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$, que não é primo.
• A afirmação é falsa. Verificar $n = 2,3,4$ fornece os primos $3, 7, 13$ — o padrão se mantém inicialmente, o que é exatamente por isso que um contraexemplo, e não mais exemplos, resolve a questão.

Para um polinômio $f(x)$:

• Teorema do Fator: $(x - b)$ é um fator de $f(x)$ exatamente quando $f(b) = 0$. Para divisores da forma $(ax - b)$: se $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$ então $(ax - b)$ é um fator.
• Teorema do Resto: ao dividir $f(x)$ por $(ax - b)$, o resto é $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• Divisão algébrica por $(ax \pm b)$ produz um quociente e um resto; o grau diminui em uma unidade: $f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$.

Exemplo resolvido — ambos os teoremas juntos (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junho 2025 Q4). $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$, onde $(x+3)$ é um fator de $f(x)$ e ao dividir $f(x)$ por $(2x - 1)$ sobra o resto 7.

(a) Mostre que $b = 3a + 2$.

• Teorema do Fator: $f(-3) = 0$:
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(b) Encontre $a$ e $b$.

• Teorema do resto com $(2x-1)$: $f\!\left(\tfrac12\right) = 7$:
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• Substitua $b = 3a + 2$: $a + 6a + 4 = 60$, logo $a = 8$ e $b = 26$.
• Verifique: $f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$; $f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ e $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(c) Quociente e resto quando $f(x)$ é dividido por $(x - 2)$.

• Divida $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ por $(x-2)$: quociente $8x^2 + 42x + 89$, resto $175$.
• Verifique reconstruindo: $(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

Uma circunferência de centro $(a, b)$ e raio $r$ tem a equação

Dada a forma expandida $x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$, complete o quadrado para recuperar o centro $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$ e $r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$. Três propriedades da circunferência são examinadas: propriedades são examinadas:

• a perpendicular do centro a uma corda bisseca a corda;
• uma tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato.
• uma tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato.

que une 12 e 2025 é um diâmetro da circunferência 2. juntar $(-2, 5)$ e $(4, 15)$ é um diâmetro do círculo $C$.

(a) Equação de $C$.

• O centro é o ponto médio: $\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$.
• O diâmetro ao quadrado: $d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$, logo $r^2 = 136 \div 4 = 34$.
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• Verifique: ambas as extremidades satisfazem a equação: $(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ e $3^2 + 5^2 = 34$ ✓.

(b) Coordenadas exatas do ponto em $C$ mais próximo do eixo $x$.

• O ponto mais próximo está no raio vertical: mesmo $x$ que o centro, $r$ abaixo dele:
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• Verifique: $(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓, e nenhum $y$ menor é possível pois o centro está $10 > \sqrt{34}$ acima do eixo.

Uma sequência pode ser dada por uma fórmula para o $n$-ésimo termo ou por uma relação $x_{n+1} = f(x_n)$. Descreva-a como crescente, decrescente ou periódica (a partir de seus termos, não da fórmula).

Sequências aritméticas: diferença constante $d$.

A demonstração da fórmula da soma (escreva $S_n$ para frente e para trás, some) deve ser conhecida, assim como $\Sigma$ notação.

Sequências geométricas: razão constante $r$.

A demonstração da fórmula da soma (soma telescópica $S_n - rS_n$) deve ser conhecida. Use logaritmos para resolver para $n$ quando um valor de termo for dado.

Expansão binomial para um inteiro positivo $n$:

Exemplo resolvido — série geométrica com logaritmos (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junho 2025 Q7). Uma série geométrica começa $10 + 8 + 6.4 + \cdots$

(a) Soma infinita.

• $a = 10$, $r = 8/10 = 0.8$ e $|r| < 1$:
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(b) O termo $k$ é menor que 0.0005 — encontre o menor $k$ por álgebra.

• O termo $k$ é $10(0.8)^{k-1}$:
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• Tome logaritmos (o log de um número abaixo de 1 é negativo — mantenha a direção da desigualdade ao dividir por ele): dividindo por ele):
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• Verifique: $k > 45.38$ ✓ mas $k = 46$ ✓.
• Verificação: $10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓ mas $10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✓.

Exemplo resolvido — soma aritmética máxima (adaptado da mesma questão). Uma progressão aritmética começa em $850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$). Sua maior soma parcial:

• Termos permanecem positivos até $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$, logo $n \le 122.4$; o termo 122º é $850 - 7(121) = 3 > 0$ e o 123º é $-4 < 0$.
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• Verificação: somar um termo negativo 123 reduziria a soma, logo $S_{122}$ é o máximo ✓.

$y = a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$) passa por $(0, 1)$ e cresce sem limite para $a > 1$. O Exemplo resolvido — equação logarítmica (adaptado de Edexcel IAL WMA$\log_a x$ Junho $\log_a x = y$ Q$a^y = x$). Resolva

e $\log_a \tfrac1x = -\log_a x$. Resolva $a^x = b$ com $x = \log_a b$ (uma mudança de base pode ser usada). Sempre verifique os candidatos contra o domínio: logaritmos exigem argumentos positivos.

Exemplo resolvido — equação logarítmica (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junho 2025 Q6). Resolva $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• Junte tudo em um único log por lado:
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• Logs iguais têm argumentos iguais:
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• Verificação de domínio: $4 - x > 0$ exige $x < 4$, logo $x = 14$ é rejeitado. $x = -2$.
• Confirmação: LHS $= 2\log_2 6$; RHS $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓.

Exemplo resolvido — interseção exata na forma $\log_3$ (mesma questão). As curvas $y = 3^{2x+1}$ e $y = 6 \times 3^x$ se encontram em $P$; escreva $P$ como $(\log_3 a, b)$.

• Iguale e substitua $u = 3^x$:
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, logo $a = 2$, $b = 12$. Confirmação: $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓.

Duas identidades convertem entre seno, cosseno e tangente:

Resolva equações trigonométricas em um intervalo dado reduzindo a uma função (frequentemente uma quadrática oculta), depois obtendo a segunda solução pela simetria do gráfico. Indique o intervalo, trabalhe nas suas unidades (graus ou radianos) e rejeite valores fora dele.

Exemplo resolvido — radianos e frações exatas (adaptado da Edexcel IAL WMA12 Junho 2025 Q8). Resolva $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$ para $0 \le x < \pi$.

• Divida por 3: $\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$, e $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• Em $0 \le x < \pi$: $x = \dfrac{29\pi}{60}$ (k = 1) e $x = \dfrac{59\pi}{60}$ (k = 2).
• Verificação: em $x = \frac{29\pi}{60}$: $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ e $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓.

Exemplo resolvido — quadrática oculta no cosseno (mesma questão). Resolva $5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$ para $0 \le \theta < 360°$.

• Substitua $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ e multiplique por $\cos\theta$:
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• Use $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$:
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• Fórmula quadrática em $\cos\theta$:
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• A raiz $-$ é menor que $-1$ (rejeite); $\cos\theta = 0.6385$ resulta em $\theta = 50.3°$ e, por simetria do cosseno, $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$.
• Verificação: $\cos 50.3° = 0.638$ ✓; ambos os ângulos estão no intervalo ✓.

Pontos estacionários possuem $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Classifique com o sinal da derivada:

• a derivada muda de $+$ para $-$: máximo;
• a derivada muda de $-$ para $+$: mínimo;
• a segunda derivada auxilia: $f''(x) > 0$ no ponto confirma um mínimo, $f''(x) < 0$ um máximo.

Uma função está crescente quando $f'(x) > 0$ e decrescente quando $f'(x) < 0$. Problemas práticos — menor material, menor custo — traduzem-se na minimização de uma expressão de uma variável.

Exemplo resolvido — mínimo de modelagem (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junho 2025 Q9). Um recipiente aberto e $3x$, e capacidade $2x$. A área metálica é $3x \times L$. e $2x \times L$, e capacidade $12\ \text{m}^3$. A área do metal é $S\ \text{m}^2$.

(a) Mostre $S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$.

• Volume: seção transversal $\times$ comprimento $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$, logo $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• Superfície: dois triângulos mais os dois retângulos:
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(b) Mínimo de $S$ por cálculo.

(c) Justifique o mínimo.

• Segunda derivada positiva em todo o domínio: o ponto estacionário é um mínimo ✓.
• Verificação: em $x = 1.1856$, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$ ✓.

Calcule integrais definidas com o teorema fundamental:

A integral definida é a área sob a curva para $y \ge 0$. Para uma região limitado por uma curva e uma linha, integre (superior − inferior) entre suas interseções, dividindo sempre que sua ordem mudar. Verifique qual gráfico está acima do outro.

Exemplo resolvido — área entre curva e reta (adaptado de Edexcel IAL WMA12 Junho 2025 Q3). $C$: $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$) com $P(1, 11)$ e $Q(4, 5)$ em $C$; encontre a área entre $C$ e o segmento de reta $PQ$.

• Reta $PQ$: inclinação $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$, logo $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$.
• Verificar $Q$: $-8 + 13 = 5$ ✓.
• Área sob a reta: $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$.
• Área sob a curva: $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$.
• Área da região: $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ unidades quadradas.
• Verificação: a reta está acima da curva em toda parte (em $x = 2$: reta $9$, curva $3(2) + 4 - 8 = 2$), portanto, subtrair a curva da reta é o caminho correto ✓.

Regra do trapézio aproxima uma área com $n$ tiras de largura $h$:

Mais tiras (ou uma curva mais retilínea) melhoram a estimativa; uma curva que se curva para cima (convexa, formato de U como $x^2$) deixa cada corda acima dela, então a regra superestima, enquanto uma curva que se curva para baixo (côncava, como $\sqrt x$ ou um arco de círculo) deixa as cordas abaixo dela, então a regra subestima.

Exemplo resolvido — regra do trapézio com tabela. Estime $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ com 4 tiras.

• Quatro tiras sobre $[1, 3]$ resultam em $h = 0.5$ e cinco valores de $y = \dfrac1x$: em $x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ os valores são $1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$.
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• O valor verdadeiro é $\ln 3 = 1.099$ (3 algarismo significativo). A estimativa é uma superestimação: $y = 1/x$ é convexa (se curva para cima), então cada tira reta fica acima da curva ✓.

• Estruture uma demonstração; use exaustão sobre casos completos; refute com um contraexemplo.
• Aplique os teoremas do fator e do resto, incluindo divisores $(ax - b)$, e realize divisão algébrica com quociente e resto.
• Encontre o centro e o raio de um círculo a partir de qualquer forma; use as três propriedades do círculo.
• Use $a_n$, $S_n$ e $S_\infty$ para séries aritméticas e geométricas (ambas as provas de fórmula de soma), Notação $\Sigma$ e logaritmos para encontrar $n$.
• Expandir $(a + bx)^n$ com coeficientes binomiais e igualar aos coeficientes dados.
• Resolver equações logarítmicas com as três leis, verificando domínios; apresentar interseções exatamente como $(\log_a b, c)$ quando solicitado.
• Reduzir equações trigonométricas usando $\tan = \sin/\cos$ e $\sin^2 + \cos^2 = 1$; resolver em graus ou radianos conforme indicado, listando todas as soluções no intervalo.
• Encontrar e classificar pontos estacionários; justificar com mudança de sinal ou derivada segunda; montar modelagem de mínimos em uma variável.
• Avaliar integrais definidas; encontrar áreas sob curvas e entre curva e reta; aplicar a regra do trapézio a partir de tabela e indicar a direção do erro.