Matemática Pura 1: a caixa de ferramentas usada por todas as unidades posteriores
Matemática Pura 1 (P1) é a primeira unidade obrigatória tanto do International AS quanto do International A Level Mathematics, e da Pure Mathematics do International A Level. Esta referência cobre todos os tópicos de P1 na especificação IAL da Edexcel (Edição 3, abril 2019): álgebra e funções, geometria analítica, trigonometria, diferenciação e integração.
- A prova P1 (WMA11/01) tem duração de 1 hora 30 minutos com 75 pontos, e você deve responder a todas as perguntas. Provas recentes contêm dez perguntas de 5 a 11 pontos cada.
- É permitido o uso de calculadora, mas não uma com álgebra simbólica, diferenciação simbólica ou integração, ou fórmulas armazenadas recuperáveis.
- O caderno amarelo Fórmulas Matemáticas e Tabelas Estatísticas será fornecido. As fórmulas na tabela "que você deve saber" abaixo não constam nesse caderno, portanto memorize-as.
- Forneça respostas aproximadas com 3 algarismos significativos, a menos que instruído de outra forma. Quando uma pergunta pede "mostre todas as etapas do seu raciocínio", apenas a resposta da calculadora não pontua.
Fórmulas que você deve saber para P1 (das informações de avaliação da especificação):
| Fórmula | Uso |
|---|---|
| $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ | raízes de $ax^2 + bx + c = 0$ |
| $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ | lei dos senos |
| $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ | lei dos cossenos |
| área $= \tfrac{1}{2}ab\sin C$ | área de um triângulo |
| comprimento do arco $s = r\theta$, área do setor $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$ | $\theta$ em radianos |
| $\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ | regra da potência para derivação |
| $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$ | regra da potência para integração |
Álgebra e funções
Índices e radicais
As leis dos índices valem para todos os expoentes racionais:
Potências fracionárias são raízes: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, logo $a^{1/2} = \sqrt{a}$ e $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. Uma potência negativa significa recíproco: $a^{-1} = 1/a$. As questões geralmente pedem que você escreva a resposta na forma $kx^n$ com $k$ e $n$ constantes totalmente simplificadas.
Exemplo resolvido — três manipulações de índice (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q1). Dado $p = \dfrac{x^4}{16}$ e $q = \dfrac{40}{3x}$, escreva cada expressão na forma $kx^n$.
(a) $p^{\frac{1}{2}}$.
- Conhecido: $p = x^4/16$, e uma potência $\tfrac12$ significa raiz quadrada.
$$p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{x^2}{4}$$
- Verificar: elevando a resposta ao quadrado, $(x^2/4)^2 = x^4/16 = p$.
(b) $(pq)^{-1}$.
- Conhecido: multiplicar antes de inverter, usando $x^4 \cdot x^{-1} = x^3$.
$$pq = \frac{x^4}{16}\times\frac{40}{3x} = \frac{40x^3}{48} = \frac{5x^3}{6}$$$$(pq)^{-1} = \left(\frac{5x^3}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}x^{-3}$$
- Verificar: $(pq)\times(pq)^{-1} = \frac{5x^3}{6}\times\frac{6}{5x^3} = 1$.
(c) $(pq)^2$.
- Verificar: $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $(x^3)^2 = x^6$, e as constantes já estão totalmente simplificadas.
Um radical é uma raiz exata como $\sqrt{2}$. Mantenha as respostas exatas a menos que sejam pedidos decimais; os examinadores penalizam decimais arredondados quando se espera um radical. Para racionalizar o denominador , multiplique numerador e denominador por um termo que remova a raiz:
Exemplo resolvido — racionalização. Escreva $\dfrac{12}{1+\sqrt{2}}$ com denominador racional.
- Conhecido: $(1+\sqrt2)(\sqrt2-1) = \sqrt2 - 1 + 2 - \sqrt2 = 1$, logo multiplique por $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$.
$$\frac{12}{1+\sqrt2}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{12(\sqrt2-1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)} = 12(\sqrt2 - 1) = 12\sqrt2 - 12$$
- Verifique na calculadora: $12/(1+1.4142\ldots) = 4.9706\ldots$ e $12\sqrt2 - 12 = 4.9706\ldots$ ✓
Quadráticas: discriminante e completando o quadrado
Uma função quadrática tem a forma $y = ax^2 + bx + c$; seu gráfico é uma parábola voltada para cima ($a>0$) ou para baixo ($a<0$). O discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ conta as raízes:
- $\Delta > 0$: duas raízes reais distintas — a curva corta o eixo $x$ duas vezes;
- $\Delta = 0$: uma raiz repetida — a curva toca o eixo $x$;
- $\Delta < 0$: sem raízes reais — a curva nunca encontra o eixo $x$.
Completando o quadrado reescreve $ax^2+bx+c$ como $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$, o que fornece o ponto de virada $\left(-\dfrac{b}{2a},\, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ diretamente. Resolva quadráticas por fatoração, fórmula, completando o quadrado ou calculadora — mas questões "mostre todas as" rejeitam cálculo apenas. perguntas "etapas" rejeitam cálculos apenas com calculadora.
Exemplo resolvido — um quadrático oculto (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q10). A equação $(k-1)x^6 + 4x^3 + (k-4) = 0$, onde $k$ é uma constante.
(a) Para $k = 4.5$, encontre as soluções exatas.
- Conhecido: com $k = 4.5$ a equação é $3.5x^6 + 4x^3 + 0.5 = 0$; multiplique por 2 para eliminar decimais:
$$7x^6 + 8x^3 + 1 = 0$$
- Por que substituir: $x^6 = (x^3)^2$, pois esta é uma equação quadrática em $x^3$. Substitua $z = x^3$:
$$7z^2 + 8z + 1 = 0 \implies (7z+1)(z+1) = 0 \implies z = -\tfrac{1}{7} \ \text{ or } z = -1$$
- Retorne a $x$: $x^3 = -\tfrac17$ ou $x^3 = -1$, logo
$$x = -\sqrt[3]{\tfrac{1}{7}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{\sqrt[3]{49}}{7} \qquad \text{or} \qquad x = -1$$
- Verifique: $z=-1$ resulta em $7-8+1 = 0$ ✓; $z=-\tfrac17$ resulta em $7\cdot\tfrac{1}{49} - \tfrac87 + 1 = \tfrac17 - \tfrac87 + 1 = 0$ ✓
(b) Encontre o conjunto de valores de $k$ para os quais a equação não possui raízes reais.
- Conhecido: trate a equação como uma quadrática em $x^3$ com coeficientes $a = k-1$, $b = 4$, $c = k-4$. Sem raízes
reais exige discriminante negativo:
$$b^2 - 4ac = 16 - 4(k-1)(k-4) = 16 - 4(k^2 - 5k + 4) = -4k^2 + 20k = 4k(5-k)$$$$4k(5-k) < 0 \implies k < 0 \ \text{or}\ k > 5$$
- Verifique: em $k = -1$: $4(-1)(6) = -24 < 0$ ✓; em $k = 6$: $4(6)(-1) = -24 < 0$ ✓; em $k = 3$: $4(3)(2) = 24 > 0$ ✓ (dois raízes reais ali).
Equações e inequações simultâneas
Resolva equações simultâneas analiticamente por substituição: reorganize a equação linear, substitua na outra, resolva e depois substitua novamente. Uma reta interceptando uma curva gives a quadratic whose roots are the intersection $x$-coordinates — this is the "geometrical das soluções algébricas" que a especificação exige.
Exemplo resolvido — reta intersecta curva cúbica ao quadrado (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q7). $C_1$: $y = 0.2x^2(x-4)$ e $C_2$: $y = 1.2x(8-x)$ se interceptam onde
- Expanda ambos os lados: $0.2x^3 - 0.8x^2 = 9.6x - 1.2x^2$.
- Agrupe termos: $0.2x^3 + 0.4x^2 - 9.6x = 0$, depois divida por $0.2$: $x^3 + 2x^2 - 48x = 0$.
- Factorize: $x(x^2 + 2x - 48) = x(x+8)(x-6) = 0$, logo $x = 0, -8, 6$.
- Substitua novamente em $C_2$: $(0, 0)$, $(-8, -153.6)$, $(6, 14.4)$.
- Verifique com $C_1$: $0.2(-8)^2(-12) = 0.2\cdot64\cdot(-12) = -153.6$ ✓ e $0.2(36)(2) = 14.4$ ✓
Inequações seguem a mesma álgebra, mas a resposta é um intervalo:
- Resolva $ax + b > cx + d$ agrupando $x$ (o sinal da inequação sobrevive à adição/subtração, e sobrevive à divisão por um número positivo; dividir por um negativo inverte o sinal).
- Resolva $px^2 + qx + r \le 0$ esboçando: a solução está onde a parábola está sobre ou abaixo do eixo, entre as raízes.
- Inequações "curva abaixo da reta" como $px^2+qx+r < ax+b$ significam: onde a altura da curva é menor que a altura da reta? Encontre as interseções primeiro.
- Ao esboçar a região de solução, use uma linha tracejada para limites estritos de $<$ ou $>$ e uma linha contínua para $\le$ ou $\ge$.
Exemplo resolvido. Resolva $x^2 < 3x + 10$.
- Reorganize: $x^2 - 3x - 10 < 0$, e fatore: $(x-5)(x+2) < 0$.
- A parábola $y = (x-5)(x+2)$ abre para cima, então está abaixo de zero entre suas raízes:
$$-2 < x < 5$$
- Verifique: $x = 0$ resulta em $0 < 10$ ✓; $x = 6$ resulta em $36 < 28$ ✗ (corretamente excluído).
Polinômios: expansão e fatoração
Expanda colchetes e agrupe termos semelhantes; fatore retirando fatores comuns e por agrupamento. Cúbicos são totalmente fatorados assim que uma raiz é identificada: $x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2+4x+3) = x(x+1)(x+3)$. A notação $f(x)$ nomeia a função, então $f(2)$ significa "substituir $x = 2$".
Esboço de gráficos e transformações
Esboce (não plote) estas famílias: quadráticas e cúbicos simples como $y = x^3 - 4x$; funções recíprocas $y = \dfrac{k}{x}$ e $y = \dfrac{k}{x^2}$ ($x \ne 0$), que possuem uma assíntota — uma linha que a curva se aproxima mas nunca toca; e os gráficos trigonométricos abaixo. Marque as interseções e pontos de virada.
Respostas de intersecção: as curvas $y = f(x)$ e $y = g(x)$ encontram-se onde $f(x) = g(x)$.
Uma transformação por vez, aplicada a $y = f(x)$:
| Nova equação | O que faz ao gráfico |
|---|---|
| $y = a f(x)$ | alongamento paralelo ao eixo $y$, fator de escala $a$ |
| $y = f(x) + a$ | translação por $\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}$ (desloca para cima em $a$) |
| $y = f(x + a)$ | translação por $\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}$ (desloca para a esquerda em $a$) |
| $y = f(ax)$ | alongamento paralelo ao eixo $x$, fator de escala $\dfrac{1}{a}$ |
Exemplo resolvido — descreva duas transformações (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q9).
- $y = \sqrt{2x}$ de $y = \sqrt{x}\,$: escreva $\sqrt{2x} = f(2x)$, logo esta é uma alongamento paralelo ao eixo $x$ com fator de escala $\tfrac12$.
- $y = 12 - \sqrt{x}$ de $y = -\sqrt{x}\,$: escreva $12 - \sqrt x = -\sqrt x + 12$, uma translação por $\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$ (para cima em 12).
- Verifique com um ponto: $y=\sqrt x$ passa por $(4, 2)$; após a primeira transformação a curva passa por $(2, 2)$ (metade de $x$), e $y = \sqrt{2\times2} = 2$ ✓. Após a segunda, $y = -\sqrt{4} + 12 = 10$, então $(4, 10)$ está sobre ela ✓.
Geometria analítica no plano (x, y)
Uma reta que passa por $(x_1, y_1)$ com inclinação $m$ tem equação $y - y_1 = m(x - x_1)$; a forma $ax + by + c = 0$ esconde a inclinação em $-\dfrac{a}{b}$. Dois pontos fornecem a inclinação: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Paralelas compartilham sua inclinação: $m_1 = m_2$.
- Perpendiculares têm inclinações cujo produto é $-1$: $m_1 m_2 = -1$.
Exemplo resolvido — perpendicular pela origem (adaptado de Edexcel IAL WMA11 junho 2025 Q5). A reta $l_1$ tem equação $x - 2y + 25 = 0$; $l_2$ passa pela origem e é perpendicular a $l_1$.
(a) Equação de $l_2$.
- Conhecido: reorganizar $l_1$: $2y = x + 25$, logo $y = \tfrac12 x + \tfrac{25}{2}$ e $m_1 = \tfrac12$.
- Por quê: inclinações perpendiculares multiplicam para $-1$, logo $m_2 = -1 \div \tfrac12 = -2$.
$$y - 0 = -2(x - 0) \implies y = -2x$$
(b) $l_1$ e $l_2$ se intersectam em $P$.
- Substituir $y = -2x$ em $x - 2y + 25 = 0$:
$$x - 2(-2x) + 25 = 0 \implies 5x + 25 = 0 \implies x = -5, \quad y = -2(-5) = 10$$
- $P = (-5, 10)$. Verificar em $l_1$: $-5 - 20 + 25 = 0$ ✓
(c) Menor distância de $l_1$ à origem, como radical simplificado.
- A menor distância é $|OP|$ ao longo da perpendicular:
$$|OP| = \sqrt{(-5-0)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
- Verificação: $\sqrt{125} = \sqrt{25\times5} = 5\sqrt5 \approx 11.18$ ✓
Trigonometria
Regra do seno, regra do cosseno e área de um triângulo
No triângulo $ABC$ com lados $a, b, c$ opostos aos ângulos $A, B, C$:
Use a regra do seno para pares (lado, ângulo oposto); a regra do cosseno quando não há par oposto. A regra do seno tem caso ambíguo: $\sin\theta = \sin(180° - \theta)$, então um ângulo e seu suplemento podem ambos caber — verifique qual o diagrama permite.
Medida em radianos, comprimento de arco e área de setor
Um radiano é o ângulo subtendido por um arco de comprimento igual ao do raio; $180° = \pi$ radianos. Com $\theta$ em radianos:
O comprimento do arco é $s = r\theta$ e a área do setor é $\tfrac{1}{2}r^2\theta$.
Um setor maior é a parte maior do círculo: ângulo $2\pi - \theta$ quando o ângulo menor é $\theta$.
Exemplo resolvido — uma plataforma de pouso a partir de um setor maior e um triângulo (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q6). Uma plataforma de pouso é o setor maior $AOB$ de um círculo centro $O$ ligado a triângulo $AOC$: $AO = OB = 15$ m, $BC = 2$ m, $CBO$ é uma linha reta, e ângulo $ACO = 0.6$ radianos.
(a) Mostre que o ângulo $COA = 1.847$ radianos até 3 casa decimal.
- Conhecido: $OC = OB + BC = 15 + 2 = 17$ m; no triângulo $AOC$, o lado $AO = 15$ está oposto ao ângulo dado ângulo $0.6$, e o lado $OC = 17$ está oposto ao ângulo $CAO$.
- Regra do seno (cite-a primeiro):
$$\frac{\sin CAO}{17} = \frac{\sin 0.6}{15} \implies \sin CAO = \frac{17\sin 0.6}{15} = 0.6399\ldots \implies CAO = 0.6944\ldots$$$$COA = \pi - 0.6 - 0.6944\ldots = 1.8471\ldots = 1.847 \ (3\,\mathrm{d.p.})$$
- Verificação: a soma dos ângulos é $\pi$: $0.6 + 0.6944 + 1.8471 \approx 3.1416$ ✓
(b) Área total da plataforma.
- Ângulo do setor maior: $2\pi - 1.847 = 4.436$ radianos.
$$\text{sector} = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 \times 15^2 \times 4.436 = 499.1\ \text{m}^2 \ (\text{awrt } 499)$$$$\text{triangle} = \tfrac12 ab\sin C = \tfrac12 \times 15 \times 17 \times \sin 1.847 = 122.7\ \text{m}^2$$$$\text{total} = 499.1 + 122.7 = 622\ \text{m}^2 \ (3\ \text{s.f.})$$
- Verificação: $\sin 1.847 = \sin(\pi - 1.847) = \sin 1.2946 = 0.962$ ✓
(c) Perímetro da plataforma.
- O contorno é o arco maior $AB$ mais os lados $AC$ e $BC$.
$$\text{arc} = r\theta = 15 \times 4.436 = 66.5\ \text{m}$$
- Regra do cosseno para $AC$ (citar primeiro):
$$AC^2 = 15^2 + 17^2 - 2(15)(17)\cos 1.847 = 225 + 289 + 139.1 = 653.1 \implies AC = 25.6\ \text{m}$$$$\text{perimeter} = 66.5 + 25.6 + 2 = 94.1\ \text{m} \ (3\ \text{s.f.})$$
- Verificar: $\cos 1.847 < 0$ (o ângulo é obtuso), então o termo $-2bc\cos A$ adiciona ✓
Gráficos de seno, cosseno e tangente
$y = \sin x$ e $y = \cos x$ repetem a cada $2\pi$ ($360°$); $y = \tan x$ repete a cada $\pi$ ($180°$) com assíntotas em $x = 90° + 180°n$. Conheça as simetrias: $\cos$ é par, $\sin(180° - x) = \sin x$, e $\tan x = \sin x / \cos x$. Curvas como $y = 3\sin x$, $y = \sin 2x$ e $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ derivam das regras de transformação acima. Resolva equações graficamente contando interseções em um intervalo dado.
Exemplo resolvido — contando soluções (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q4). Para $y = 4\cos x$ com $x$ em graus: quantas soluções tem $5 + 4\cos x = 1$ para $-720° < x \le 720°$?
- Reorganizar: $4\cos x = -4$, logo $\cos x = -1$, resultando em $x = 180° + 360°n$.
- Em $-720° < x \le 720°$: $x = -540°, -180°, 180°, 540°$ — 4 soluções.
- Verificar: $\cos(\pm180°) = -1$ ✓, e $5 + 4(-1) = 1$ ✓. O intervalo é semi-aberto, logo $x = -720°$ (onde $\cos = 1$) está excluído corretamente.
Diferenciação
A derivada $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ é a inclinação da tangente à $y = f(x)$ num ponto — o limite das inclinações da corda quando os dois pontos se fundem. É a taxa de variação de $y$ em relação a $x$. A segunda derivada $f''(x)$ deriva novamente. (A regra da cadeia não é exigida em P1.)
Diferencie termo a termo com a regra da potência, expandindo produtos e separando frações primeiro:
Exemplo resolvido — condição de inclinação em uma curva (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q2). $C$: $y = 2x^{5/2} - 4x + 3$; the point $P$ on $C$ has $x$-coordinate $2^k$ and the gradient at $P$ é 16. Encontre $k$.
- Diferencie (os expoentes diminuem em um): $\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot\tfrac52 x^{3/2} - 4 = 5x^{3/2} - 4$.
- Iguale a inclinação a 16 em $x = 2^k$:
$$5(2^k)^{3/2} - 4 = 16 \implies (2^k)^{3/2} = 4 = 2^2 \implies 2^{3k/2} = 2^2 \implies \tfrac{3k}{2} = 2 \implies k = \tfrac{4}{3}$$
- Verifique: $2^{4/3} = 2.5198\ldots$ e $5(2.5198)^{3/2} - 4 = 5(4.0) - 4 = 16$ ✓
Exemplo resolvido — inclinação, trabalho da tangente e segunda derivada (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q8). Uma curva tem $f'(x) = 3\sqrt{x} + kx^2$ e passa por $P(4, 12)$; a tangente em $P$ é $y = 10x + c$.
(a) Mostre $k = \tfrac14$ e encontre $c$.
- Conhecido: a inclinação da tangente é igual a $f'(4)$:
$$f'(4) = 3\sqrt{4} + 16k = 6 + 16k = 10 \implies k = \tfrac14$$
- A tangente passa por $(4, 12)$: $12 = 10(4) + c \implies c = -28$.
- Verifique: $f'(4) = 6 + 16\cdot\tfrac14 = 10$ ✓ e $10(4) - 28 = 12$ ✓
(b) $f''(x)$ em $P$.
- Verificação: $\tfrac{3}{2\sqrt4} = \tfrac34$ ✓
Integração
Integração inverte a diferenciação: se $\dfrac{dy}{dx} = x^n$ ($n \neq -1$), então
Exemplo resolvido — expandir antes de integrar (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q3). Encontre $\displaystyle\int \frac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$.
- Expanda o numerador: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$; o denominador é $3x^{1/2}$.
- Divida termo por termo (subtraia os expoentes de $x$):
$$\frac{x^2}{3x^{1/2}} = \tfrac13 x^{3/2} \qquad \frac{6x}{3x^{1/2}} = 2x^{1/2} \qquad \frac{9}{3x^{1/2}} = 3x^{-1/2}$$
- Integre cada termo (expoente aumente em uma unidade, divida pelo novo expoente):
$$\int \left(\tfrac13 x^{3/2} + 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}\right) dx = \tfrac13\cdot\tfrac{2}{5}x^{5/2} + 2\cdot\tfrac23 x^{3/2} + 3\cdot 2x^{1/2} + c$$$$= \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 6\sqrt{x} + c$$
- Verifique diferenciando: $\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac52 x^{3/2} = \tfrac13 x^{3/2}$ ✓, $\tfrac43\cdot\tfrac32 = 2$ ✓, $6\cdot\tfrac12 = 3$ ✓ — o integrando retorna exatamente.
Exemplo resolvido — recuperar $f(x)$ a partir de $f'(x)$ e um ponto (adaptado de Edexcel IAL WMA11 Junho 2025 Q8, continuação). Com $k = \tfrac14$, logo $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac14 x^2$, e $P(4, 12)$ na curva:
- Substitua $P$: $2(4)^{3/2} + \tfrac{64}{12} + d = 12$, e $4^{3/2} = 8$:
$$16 + \tfrac{16}{3} + d = 12 \implies d = -\tfrac{28}{3} \implies f(x) = 2x^{3/2} + \frac{x^3}{12} - \frac{28}{3}$$
- Verifique: $f(4) = 16 + \tfrac{16}{3} - \tfrac{28}{3} = 16 - 4 = 12$ ✓, e diferenciando a resposta resulta em $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac{x^2}{4}$, logo $f'(4) = 6 + 4 = 10$ ✓ (a inclinação da tangente de antes).
Lista de verificação antes de considerar esta unidade concluída
- Manipule $a^{m/n}$, expoentes negativos e raízes exatas, e racionalize denominadores.
- Interprete $b^2-4ac$ de três formas, complete o quadrado e resolva quadráticas ocultas por substituição.
- Resolva sistemas lineares-quadráticos por substituição e interprete-os como interseções.
- Resolver e esboçar desigualdades lineares e quadráticas com limites pontilhados/sólidos corretos.
- Esboçar cúbicas, recíprocas (com assíntotas) e curvas transformadas, nomeando direção, tipo e fator de escala de cada transformação única.
- Escrever equações de reta em ambas as formas; usar $m_1m_2 = -1$ para perpendiculares.
- Citar a lei dos senos, lei dos cossenos e $\tfrac12 ab\sin C$; lidar com o caso ambíguo e setores maiores em radianos.
- Contar soluções trigonométricas-gráficas sobre um intervalo antes de listá-las.
- Diferenciar e integrar $x^n$ termo a termo, após expandir; sempre adicionar $+c$.
- Transformar $f'(x)$ mais um ponto em $f(x)$, e verificar substituindo o ponto novamente.