Derivatives and stationary points · Derivadas e pontos estacionários
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| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
What is the slope at one point?
- A curved road has different slopes at different positions. An average gradient cannot describe every point.
- This lesson studies derivative 导数: The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent.
Qual é a inclinação em um ponto?
- Uma estrada curva tem diferentes inclinações em diferentes posições. Uma inclinação média não pode descrever todos os pontos.
- Esta lição estuda derivada: A taxa instantânea de variação, também conhecida como inclinação de uma tangente.
Choose the mathematical structure
- For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). A stationary point satisfies dy/dx=0. Check the sign change of the derivative, or the second derivative when it is nonzero, to classify it.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Escolha a estrutura matemática
- Para y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Um ponto estacionário satisfaz dy/dx=0. Verifique a mudança de sinal da derivada ou a segunda derivada quando for não nula para classificá-lo.
- Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Which description correctly defines derivative? · Qual descrição define corretamente derivada?
The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent. · A taxa instantânea de variação, também a inclinação de uma tangente.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. At x=2, the gradient is 9 and y=2. The tangent is y-2=9(x-2). The normal gradient is -1/9.
Passe por um caso verificado
- Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
Para y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. Em x=2, a inclinação é 9 e y=2. A tangente é y-2=9(x-2). A inclinação da normal é -1/9.
Derivatives and stationary points · Derivadas e pontos estacionários
For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1) · Para y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compare o modelo com o caso resolvido e explique uma mudança.
For y=x³-3x, find dy/dx at x=2. · Para y=x³-3x, encontre dy/dx em x=2.
dy/dx=3x²-3. At x=2 it is 12-3=9. · dy/dx=3x²-3. Em x=2, o valor é 12-3=9.
Test a tempting shortcut
- A derivative gives a gradient, not the ordinate. Evaluate y and dy/dx separately at the supplied x-coordinate; the normal gradient is the negative reciprocal of a nonzero tangent gradient.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A tangent and normal at the same point always have the same gradient. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Teste um atalho tentador
- Uma derivada fornece uma inclinação, não a ordenada. Avalie y e dy/dx separadamente na coordenada-x fornecida; a inclinação da normal é o recíproco negativo de uma inclinação de tangente diferente de zero.
- Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Uma tangente e uma normal no mesmo ponto sempre têm a mesma inclinação. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou premissa ela viola.
For y=x³-3x, find y at x=2. · Para y=x³-3x, encontre y em x=2.
Substitute into the original curve: y(2)=8-6=2. · Substitua na curva original: y(2)=8-6=2.
A tangent and normal at the same point always have the same gradient. · Uma tangente e uma normal no mesmo ponto sempre possuem a mesma inclinação.
A derivative gives a gradient, not the ordinate. Evaluate y and dy/dx separately at the supplied x-coordinate; the normal gradient is the negative reciprocal of a nonzero tangent gradient. · A derivada fornece a inclinação, não a ordenada. Avalie y e dy/dx separadamente na coordenada x fornecida; a inclinação da normal é o recíproco negativo de uma inclinação de tangente diferente de zero.
Interpret a new situation
- P1 covers polynomial derivatives, gradients, tangents and normals. Optimization and stationary-point classification are taught in P2; they are not introduced here.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete uma nova situação
- P1 cobre derivadas polinomiais, inclinações, tangentes e normais. Otimização e classificação de pontos estacionários são ensinados em P2; eles não são introduzidos aqui.
- Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
For y=4x³, find dy/dx at x=2. · Para y=4x³, encontre dy/dx em x=2.
The derivative is 12x²; at 2 it is 12×4=48. · A derivada é 12x²; em 2, o resultado é 12×4=48.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associe cada parte de uma solução completa ao seu propósito.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Uma suposição justifica o modelo; uma verificação testa o resultado; a interpretação conecta-o à pergunta.
Use this in your course
- edexcel IAL pure mathematics; official unit P1. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use isso em seu curso
- edexcel IAL matemática pura; unidade oficial P1. Enriquecimento de outras unidades é identificado na revisão de escopo; não é um requisito adicional de pagamento.
- Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
A taxa de variação instantânea, também a inclinação de uma tangente. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.