P4 · Pure Mathematics 4

Matemática Pura 4 (P4) é a unidade final obrigatória de Matemática Pura do International A Level e International A Level Pure Mathematics. P1–P3 são pressupostos e podem ser avaliados no papel WMA14/01 (1 hora 30 minutos, 75 pontos; mesmas regras de calculadora e folheta de fórmulas). Esta referência abrange prova por contradição, frações parciais, equações paramétricas, série binomial geral, derivação implícita e paramétrica, equações diferenciais, métodos estendidos de integração, volumes de revolução e vetores. séries, diferenciação implícita e paramétrica, equações diferenciais, o método estendido de integração, volumes de revolução e vetores.

Conhecimentos essenciais para P4 (não presentes no folheto):

Prova por contradição assume o oposto da afirmação, deriva uma impossibilidade, e conclui a afirmação original. Dois clássicos devem ser conhecidos:

Exemplo resolvido — $\sqrt2$ é irracional. (Um número é irracional quando nenhuma fração $\tfrac pq$ o iguala.) Suponha ao contrário $\sqrt2 = \tfrac pq$ na forma mais simples simples ($p, q$ inteiros primos entre si, $q \ne 0$).

• Elevando ao quadrado: $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$, logo $p^2$ é par, logo $p$ é par: escreva $p = 2r$.
• Então $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$, logo $q$ também é par.
• Tanto $p$ quanto $q$ pares contradizem $\tfrac pq$ estar na forma mais simples. $\blacksquare$

Exemplo resolvido — existem infinitos primos. Suponha finitos: $p_1, \ldots, p_k$.

• Considere $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$. Dividindo $N$ por qualquer $p_i$ sobra resto 1.
• Logo $N$ é primo ou tem um fator primo fora da lista — em ambos os casos um primo fora $\{p_1, \ldots, p_k\}$, contradizendo a suposição. $\blacksquare$

Exemplo resolvido — contradição trigonométrica (adaptado de Edexcel IAL WMA14 Junho 2025 Q10). Prove que $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ para todo $90° < x < 180°$.

• Suponha o contrário: algum $x$ no intervalo tem $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. Elevando ao quadrado (ambos lados não negativos):
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• Mas $90° < x < 180°$ resulta em $180° < 2x < 360°$, onde $\sin 2x < 0$ — uma contradição.
• Logo, não existe tal $x$ e $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ em todo o intervalo. $\blacksquare$
• Verifique em $x = 135°$: $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓; em $x = 100°$: $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

Decomponha funções racionais em frações parciais. Os denominadores permanecem com complexidade linear repetida: $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ ou $(ax+b)(cx+d)^2$ com o fator repetido $(cx+d)$ dividido entre potências; fatores quadráticos não são necessários. Frações impróprias (grau do numerador $\ge$ do denominador) divida primeiro.

Exemplo resolvido — fatores distintos. Decompor $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ (da folha P2 família):

• Verifique em $x = 0$: LHS $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$; RHS $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

Exemplo resolvido — fator repetido. Decompor $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$.

• Configure com o fator repetido dividido entre ambas as potências:
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• Multiplique tudo: $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• Em $x = 0$: $6 = A$. Em $x = -1$: $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• Compare $x^2$: $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• Verifique em $x = 1$: LHS $= \tfrac{16}{4} = 4$; RHS $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

Equações paramétricas fornecem ambas as coordenadas através de um parâmetro $t$: $x = f(t)$, $y = g(t)$. Converta para forma cartesiana tornando $t$ o assunto de uma equação e substituindo na outra (ou explorando uma identidade). Nunca esqueça que valores excluídos de $x$ em que o mapeamento paramétrico falha.

Exemplo resolvido. Uma curva tem $x = 2t$, $y = t^2 - 1$. Encontre a equação cartesiana.

• De $x = 2t$: $t = \dfrac x2$, logo
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• Verifique em $t = 3$: $(x, y) = (6, 8)$; Cartesiana: $36/4 - 1 = 8$ ✓.

Exemplo resolvido — ponto paramétrico e normal (fatos verificados do Edexcel IAL WMA14 Junho 2025 Q5). Uma curva paramétrica passa por $P(-7, -3)$ em $t = 2$ com $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$ ali (de $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$).

• Pendente da normal: $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• Verifique: $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓.

Para qualquer racional $n$ e $\lvert x \rvert < 1$:

Fatore primeiro: $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$, válido para $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$. Decomponha funções racionais em frações parciais, então expanda cada parte. As potências não terminam a menos que $n$ seja um inteiro positivo.

Exemplo resolvido (adaptado de Edexcel IAL WMA14 Junho 2025 Q8). Expanda $\sqrt{4 + x}$ até três termos não nulos.

• Fator: $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$, válido $\lvert x\rvert < 4$, com $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• Verifique em $x = 1$: a série dá $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$; verdadeiro $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (dois termos já precisos a 2 c.p.).

Diferenciação implícita diferencia ambos os lados em relação a $x$, tratando $y$ como função de $x$: $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$, e produtos como $xy$ requerem a regra do produto: $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. Em seguida, resolva para $\dfrac{dy}{dx}$.

Diferenciação paramétrica: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.

Exemplo resolvido — tangente implícita (adaptado de Edexcel IAL WMA14 junho 2025 Q1). A curva $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ passa pelo ponto $\left(\tfrac12,\ 4\right)$. Encontre a tangente nesse ponto.

• Diferencie termo a termo:
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• Em $\left(\tfrac12, 4\right)$: $\mathrm{e}^{1-1} = 1$, logo
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• Tangente: $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• Verifique: $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓.

Formule uma equação a partir de uma descrição de taxa, depois resolva equações separáveis:

Use uma condição de fronteira para a solução particular. Taxas relacionadas usam a regra da cadeia: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.

Exemplo resolvido — esfera em fusão (Edexcel IAL WMA14 junho 2025 Q2). Uma esfera de raio $r$ cm tem volume $V = \tfrac43\pi r^3$ e funde-se com $\dfrac{dV}{dt} = k$ (constante, em cm³ por segundo). Mostre que $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$.

• Diferencie a relação do volume: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
• Regra da cadeia: $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, logo
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• A constante $\dfrac{k}{4\pi}$ multiplica $\dfrac{1}{r^2}$: a taxa de diminuição do raio é inversamente proporcional a $r^2$. $\blacksquare$
• Interpretação: esferas pequenas desaparecem desproporcionalmente rápido — o último milímetro funde-se mais rapidamente.

Exemplo resolvido — equação separável (adaptado de Edexcel IAL WMA14 junho 2025 Q3). Resolva $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$, dado $y = 4$ em $x = \tfrac\pi6$.

• Separação: $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (o lado direito integra para $\tfrac32\sec 2x$, invertendo $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$):
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• Substitua $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$: $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$, logo $C = 10$:
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• Verifique: $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓.

• Substituição (geralmente dada): reescreva a integral em $u$, ajuste $dx$ via $\dfrac{du}{dx}$, integre, substitua novamente. É a regra da cadeia invertida.
• Integração por partes: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — a regra do produto invertida. Saiba $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ e repetições de partes para integrais tipo $\int x^2\mathrm{e}^x dx$.
• Frações parciais transformam um integrando racional em somas de $\dfrac{A}{ax+b}$ (integrando para logs) e $\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (para potências).

Exemplo resolvido — partes com repetição à vista. Encontre $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ (necessário para volumes de revolução com curvas trigonométricas).

• Partes com $u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$:
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• Partes novamente na nova integral ($u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$):
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• A integral original reaparece; agrupe-a:
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• Verifique diferenciando: $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

Ao girar a região sob $y = f(x) \ge 0$ em torno do eixo $x$, varre-se um sólido cujo volume é

o volume de revolução

Eleve a função ao quadrado antes de integrar, use identidades para lidar com $\sin^2$/$\cos^2$, e separe por linearidade. Com equações paramétricas, substitua $y^2\,dx$ por $y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ entre valores paramétricos; áreas sob curvas paramétricas usam $y\dfrac{dx}{dt}\,dt$.

Exemplo resolvido — volume com uma identidade (estrutura adaptada de Edexcel IAL WMA14 Junho 2025 Q9). A região sob $y = 3\cos x$ para $0 \le x \le \tfrac\pi2$ gira em torno do eixo $x$; encontre o volume exato.

• Verificação: a média de $\cos^2x$ sobre meia volta é $\tfrac12$, logo $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ exatamente.

Um vetor tem magnitude e direção, escrito $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ ou como coluna.

A magnitude é $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$; o vetor unitário na direção de $\mathbf a$ é $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$.

Adição e multiplicação escalar têm significados geométricos (translações, escalonamento, paralelo quando um é múltiplo do outro).

O produto escalar $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ fornece ângulos através de $\cos\theta$. O vetor posição de $B$ relativo a $A$ é $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$.

Exemplo resolvido — triângulo 45° (Edexcel IAL WMA14 Junho 2025 Q6, totalmente verificado). $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$, e ângulo $BAC = 45°$.

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$, logo $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$.
• Produto escalar: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$.
• Condição de ângulo com $\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$:
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• Verificação: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ corresponde ao produto escalar.

• Estrutura de provas por contradição (√2, primos) com a premissa declarada e a contradição nomeada.
• Decompor em frações parciais incluindo fatores lineares repetidos; dividir frações impróprias primeiro; verificar com um valor substituído.
• Converter paramétrico ↔ cartesiano com valores excluídos; encontrar tangentes e normais paramétricas via dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
• Expand $(a + bx)^n$ para racionais $n$ com a condição de validade; combine expansões de frações parciais. frações parciais.
• Derivar implicitamente (regra do produto em termos mistos) e parametricamente; formar equações diferenciais a partir de taxas relacionadas. equações diferenciais a partir de taxas relacionadas.
• Resolver equações separáveis com uma condição de fronteira; verificar a solução particular.
• Integrar por substituição, integração por partes (incluindo repetições, $\ln x$) e frações parciais.
• Calcular volumes de revolução $\pi\int y^2 dx$ e áreas paramétricas via $dx/dt$.
• Usar vetores: módulo, vetores unitários, vetores posição; ângulos do produto escalar.