Quadratics and inequalities
| English | Português |
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| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | discriminante |
Which widths make enough space?
- A rectangular enclosure has area x(10-x). What widths give at least 21 square metres?
- This lesson studies discriminant 判别式: The quantity b²-4ac that determines the real roots of ax²+bx+c=0.
Quais larguras oferecem espaço suficiente?
- Um recinto retangular tem área x(10-x). Quais larguras garantem pelo menos 21 metro quadrado?
- Esta aula estuda discriminante: A expressão b²-4ac que determina as raízes reais de ax²+bx+c=0.
Choose the mathematical structure
- Factor where possible; otherwise complete the square or use the quadratic formula. A quadratic inequality needs the sign on intervals, not only the roots. The discriminant identifies repeated or missing real roots.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Escolha a estrutura matemática
- Fatore quando possível; caso contrário, complete o quadrado ou use a fórmula resolvente. Uma inequação quadrática exige a análise do sinal nos intervalos, não apenas das raízes. O discriminante identifica raízes reais repetidas ou ausentes.
- Declare as entradas permitidas e as unidades antes de calcular. Uma equação deve expressar a relação, não apenas registrar uma entrada de calculadora.
Which description correctly defines discriminant?
The quantity b²-4ac that determines the real roots of ax²+bx+c=0.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
The condition is x(10-x)≥21, so x²-10x+21≤0. Factor (x-3)(x-7)≤0. The upward parabola is nonpositive between its roots, giving 3≤x≤7. The maximum area is 25 at x=5.
Passe por um caso verificado
- Verifique o resultado em relação às quantidades iniciais. Substitua na relação original ou compare o gráfico e a resposta numérica quando apropriado.
A condição é x(10-x)≥21, logo x²-10x+21≤0. Fatorando (x-3)(x-7)≤0. A parábola voltada para cima assume valores não positivos entre suas raízes, resultando em 3≤x≤7. A área máxima é 25 quando x=5.
Quadratics and inequalities
y=(x²-10x+21)/4
The graph rescales the vertical axis by a positive factor 1/4. Check why its roots remain 3 and 7.
Find the smaller root of x²-10x+21=0.
Factorise to (x-3)(x-7)=0. The smaller root is 3.
Test a tempting shortcut
- Multiplying an inequality by a negative number reverses its direction. A sketch must show which side of each root satisfies the inequality. Geometry may restrict x further.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
A positive discriminant means that a quadratic has no real roots. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Teste um atalho tentador
- Multiplicar uma inequação por um número negativo inverte seu sentido. Um esboço deve mostrar qual lado de cada raiz satisfaz a inequação. A geometria pode restringir ainda mais o valor de x.
- Quando um atalho falha, identifique a premissa que ele viola. Mantenha o valor exato até o arredondamento final solicitado.
Um discriminante positivo significa que uma equação quadrática não possui raízes reais. Esta afirmação é falsa. Explique qual definição ou suposição ela viola.
Find the discriminant of x²-6x+9=0.
The discriminant is (-6)²-4×1×9=0.
A positive discriminant means that a quadratic has no real roots.
Multiplying an inequality by a negative number reverses its direction. A sketch must show which side of each root satisfies the inequality. Geometry may restrict x further.
Interpret a new situation
- Use the vertex to interpret an optimum. Check an endpoint and a point between the roots; the algebra and graph should tell the same story.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprete uma nova situação
- Use o vértice para interpretar um ótimo. Verifique uma extremidade e um ponto entre as raízes; a álgebra e o gráfico devem contar a mesma história.
- Uma solução completa fornece o resultado matemático e explica o que ele significa. Verifique se é possível no contexto declarado.
Find the maximum value of x(10-x).
Complete the square: x(10-x)=25-(x-5)². The maximum is 25.
Match each part of a complete solution to its purpose.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question.
Use this in your course
- edexcel IAL pure mathematics; official unit FP2. Other-unit enrichment is identified in the scope review; it is not an extra cash-in requirement.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The quantity b²-4ac that determines the real roots of ax²+bx+c=0. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Use isso em seu curso
- Edexcel IAL matemática pura; unidade oficial FP2. O enriquecimento em outras unidades é identificado na revisão de escopo; não é um requisito adicional de capitalização.
- Forneça o método antes da resposta final e siga as regras de calculadora e fórmulas do papel. Revise uma resposta errada localizando o primeiro passo inválido.
A expressão b²-4ac que determina as raízes reais de ax²+bx+c=0. Escolha a relação, mostre o método, verifique suas premissas e interprete o resultado.