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De um sinal de celular à sua bateria

Seu celular recebe ondas e usa energia elétrica. Parecem diferentes, mas ambas dependem de transferência de energia. Ondas transportam energia sem levar matéria junto. Um circuito transfere energia através de cargas em movimento.

Esta referência cobre WPH12 Ondas e Eletricidade, declarações do programa 33–80. A prova dura 90 minutos e vale 80 pontos. Use a lista de fórmulas para fundamentar seu raciocínio. Explique por que uma equação se aplica à situação, mostre conversões e conclua as comparações.

Grandezas e gráficos de onda

Uma fonte vibrante repete seu movimento. A amplitude é o maior deslocamento em relação à posição de equilíbrio. Equilíbrio significa a posição de repouso. O período $T$ é o tempo para uma vibração completa. A frequência $f$ é o número de vibrações completas por segundo; sua unidade é hertz, Hz.

O comprimento de onda $\lambda$ é a distância entre pontos mais próximos que vibram em fase. A velocidade da onda $v$ é a velocidade com que uma fase fixa, como um crista, se propaga. Não é a velocidade de uma partícula vibrante.

• Uma onda transversal tem vibrações perpendiculares à sua direção de propagação. Uma corda move-se para cima e para baixo enquanto sua perturbação viaja ao longo dela.
• Uma onda longitudinal tem vibrações paralelas à sua direção de propagação. O som possui compressões, onde pressão e densidade são maiores, e rarafeações, onde são menores.
• As moléculas de ar movem-se para frente e para trás em torno de suas posições de repouso. Elas não viajam do alto-falante até seu ouvido com o som.

Leia primeiro o eixo horizontal

Um gráfico de deslocamento versus distância é um instantâneo. A separação entre cristas vizinhas fornece $\lambda$. Um gráfico de deslocamento versus tempo segue uma única partícula. A separação entre picos vizinhos fornece $T$. A mesma forma de curva pode representar qualquer um dos gráficos, mas as grandezas são diferentes.

Para uma onda longitudinal, um gráfico de pressão versus distância mostra compressões nos máximos de pressão. Um gráfico de deslocamento molecular versus distância mostra o deslocamento na direção de propagação. A máxima compressão ocorre onde o deslocamento muda mais rapidamente em direção às moléculas vizinhas. O máximo de pressão e o máximo de deslocamento não estão no mesmo lugar; seus padrões estão separados por um quarto de comprimento de onda em uma onda sonora senoidal viajante.

Exemplo resolvido. Um microfone registra 12 ciclos completos em $0.030\ \text{s}$. O som viaja a $340\ \text{m s}^{-1}$. Encontre sua frequência e comprimento de onda.

• Conhecido: número de ciclos, tempo total e velocidade. A frequência conta ciclos por segundo; a equação das ondas então liga a velocidade ao comprimento de onda.
  $$f = \frac{N}{t} = \frac{12}{0.030\ \text{s}} = 400\ \text{Hz}$$
  $$v = f\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340\ \text{m s}^{-1}}{400\ \text{Hz}} = 0.85\ \text{m}$$
• Verifique: um ciclo leva $T=1/f=0.0025\ \text{s}$. Doze ciclos levam o $0.030\ \text{s}$ informado.

Superposição e ondas estacionárias

Uma frente de onda une pontos na mesma fase. Fase descreve o estágio de um ciclo de vibração. Um ciclo completo corresponde a $360^\circ$ ou $2\pi$ radianos.

Superposição significa somar os deslocamentos de ondas sobrepostas em cada ponto. Interferência é o reforço ou cancelamento resultantes. Fontes coerentes têm a mesma frequência e diferença de fase constante. Sua diferença de fase não precisa ser zero.

Para ondas do mesmo comprimento de onda, a diferença de fase causada por uma diferença de caminho $\Delta x$ é:

Para fontes inicialmente em fase, diferenças de caminho $0,\lambda,2\lambda,\ldots$ produzem interferência construtiva. Diferenças de meio-ciclo de comprimento de onda produzem interferência destrutiva. Cancelamento completo também exige amplitudes iguais. Se as fontes começarem com uma diferença de fase, inclua-a também.

Exemplo resolvido. Dois alto-falantes em fase produzem comprimento de onda $0.80\ \text{m}$. Seus caminhos até um microfone diferem em $1.20\ \text{m}$.

• Conhecido: diferença de caminho e comprimento de onda. Converta a diferença de caminho em ciclos, depois em fase.
  $$\Delta\phi = \frac{\Delta x}{\lambda}\,360^\circ = \frac{1.20}{0.80}\,360^\circ = 540^\circ$$
• $540^\circ$ é equivalente a $180^\circ$. As ondas chegam em fases opostas e interferem destrutivamente. O som não precisa se tornar silencioso se as amplitudes de chegada forem diferentes.

Como uma onda estacionária se forma

Uma onda estacionária se forma quando duas ondas de mesma frequência e amplitude semelhante viajam em direções opostas e se superpõem. A reflexão na extremidade fixa da corda fornece a onda de retorno.

• Um nó sempre tem deslocamento zero. Um ventre tem a maior amplitude de vibração.
• Nós adjacentes estão separados por $\lambda/2$. Um nó e seu ventre mais próximo estão separados por $\lambda/4$.
• Pontos entre o mesmo par de nós vibram em fase. Pontos em seções vizinhas vibram em fases opostas.
• Todos os pontos têm a mesma frequência, exceto que um nó não vibra. A amplitude depende da posição.
• Uma onda estacionária ideal não tem transferência líquida de energia ao longo dela. Uma onda viajante transporta energia em sua direção de propagação.

Para uma corda fixa em ambas as extremidades, o comprimento $L$ contém um número inteiro $k$ de meios-comprimentos de onda:

Aqui $T$ é tensão, não período; $\mu$ é massa por unidade de comprimento em $\text{kg m}^{-1}$. O fundamental tem $k=1$. Em modo fixo, a frequência aumenta com $\sqrt{T}$, diminui com $L$ e diminui com $\sqrt{\mu}$.

Exemplo resolvido. Uma corda de $0.60\ \text{m}$ tem $\mu=1.5\times10^{-3}\ \text{kg m}^{-1}$ e tensão $24\ \text{N}$. Encontre sua frequência fundamental.

• Conhecido: comprimento, tensão e densidade linear. O fundamental ocupa meio comprimento de onda entre as extremidades fixas.
  $$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{24}{1.5\times10^{-3}}}\ \text{m s}^{-1} = 126\ \text{m s}^{-1}$$
  $$f = \frac{v}{2L} = \frac{126\ \text{m s}^{-1}}{2\times0.60\ \text{m}} = 105\ \text{Hz}$$
• Dobrar a tensão multiplica a frequência por $\sqrt{2}$, em vez de multiplicar por dois.

Som estacionário em tubo fechado

Na onda sonora estacionária mais simples em um tubo fechado em uma extremidade, a extremidade fechada é um nó de deslocamento molecular. A extremidade aberta é aproximadamente um ventre de deslocamento. Isso encaixa um quarto de comprimento de onda no comprimento efetivo do tubo, logo $L_{effective}=\lambda/4$. O padrão de pressão é invertido: a extremidade fechada é um ventre de pressão. Não chame um nó de pressão de nó de deslocamento. Tubos reais têm uma pequena correção para extremidade aberta; use um comprimento efetivo se a questão o fornecer.

Exemplo resolvido. Um tubo fechado tem comprimento efetivo $0.20\ \text{m}$ e frequência fundamental $425\ \text{Hz}$. As condições de extremidade fornecem $\lambda=4L=0.80\ \text{m}$; então $v=f\lambda=425\times0.80=340\ \text{m s}^{-1}$. Uma corda fixa em ambas as extremidades, em vez disso, encaixa meio comprimento de onda em seu fundamental. Escolha a partir das condições de extremidade, não da palavra “estacionária”.

Prática central 4: velocidade do som

Use um gerador de sinais, alto-falante, microfone móvel e osciloscópio de dois canais. Conecte um canal do osciloscópio ao sinal de referência do gerador e o outro à saída do microfone. Ambas as formas de onda têm a mesma frequência.

1. Mantenha a frequência constante. Mova o microfone ao longo de uma linha medida afastando-se do alto-falante. Encontre uma posição onde as formas de onda estejam em fase.
2. Mova-se para outra posição em fase. As posições consecutivas em fase estão separadas por um comprimento de onda. Meça através de vários comprimentos de onda e divida pelo seu número.
3. Leia o período na escala da base de tempo: conte as divisões horizontais através de vários ciclos e depois divida. Encontre $f=1/T$ e use $v=f\lambda$.
4. Repita posições e frequências. Mantenha o microfone no eixo do alto-falante. Reduza o som refletido trabalhando longe de paredes. Meça a posição a partir de um ponto de referência fixo do microfone.

Medir vários comprimentos de onda reduz a incerteza percentual na distância. Medir vários períodos faz o mesmo para o tempo. Um experimento com tubo ressonante também pode medir a velocidade do som, mas não substitui este prática especificada.

Prática central 5: corda vibrante

Use um gerador de vibrações acionado por um gerador de sinais. Passe a corda sobre uma polia até uma massa pendurada. A tensão é de aproximadamente $mg$ quando o atrito da polia é pequeno. Aumente a frequência até que um padrão claro de onda estacionária se forme.

• Investigar a tensão: mantenha $L$, $\mu$ e modo fixos. Varie a massa pendurada. Plote $f^2$ contra $T$; a inclinação para o fundamental é $1/(4L^2\mu)$.
• Investigar o comprimento: mantenha tensão, tipo de corda e modo fixos. Plote $f$ contra $1/L$.
• Investigar densidade linear: meça a massa e o comprimento da corda, $\mu=m/l$. Use cordas diferentes com tensão, comprimento de vibração e modo fixos. Plote $f^2$ contra $1/\mu$.
• Meça o comprimento entre os nós finais. Encontre a ressonância a partir de frequências mais altas e mais baixas e repita. Fixe o suporte e mantenha-se afastado de massas que possam cair.

Intensidade, refração e polarização

Intensidade é potência por unidade de área perpendicular ao fluxo de energia:

Sua unidade é $\text{W m}^{-2}$. Para um receptor, a potência incidente é $P=IA$. A saída útil é menor se a eficiência for inferior a 100%. Converta a área cuidadosamente: $1\ \text{cm}^2=10^{-4}\ \text{m}^2$.

Exemplo resolvido. A intensidade da radiação é $800\ \text{W m}^{-2}$ sobre uma célula solar de $25\ \text{cm}^2$. A eficiência é de 20%. Ela pode fornecer $0.50\ \text{W}$?

• Conhecidos: intensidade, área, eficiência. Primeiro encontre a potência incidente, depois a potência útil.
  $$P_{\text{in}} = IA = 800\ \text{W m}^{-2}\times25\times10^{-4}\ \text{m}^2 = 2.0\ \text{W}$$
  $$P_{\text{out}} = \eta P_{\text{in}} = 0.20\times2.0\ \text{W} = 0.40\ \text{W}$$
• $0.40\ \text{W}<0.50\ \text{W}$, portanto não pode fornecer a potência útil necessária.

Refração e reflexão total interna

Refração é uma mudança na direção da onda quando a velocidade muda em uma interface. Um raio entrando ao longo da normal altera a velocidade sem mudar a direção. A normal é perpendicular à fronteira. Meça todos os ângulos dos raios a partir dela.

O índice de refração $n$ compara a velocidade da luz no vácuo $c$ com a velocidade no material. A frequência permanece constante na interface, então o comprimento de onda altera-se conforme a velocidade. Ao entrar num meio com índice mais alto $n$, o raio desvia-se para a normal; ao entrar num meio com índice mais baixo $n$, desvia-se dela.

Reflexão interna total exige propagação do meio de maior para o de menor índice de refração e um ângulo de incidência superior ao ângulo crítico $C$.

Em $C$, o ângulo refratado é $90^\circ$; considere a incidência superior a $C$ como reflexão interna total. Abaixo de $C$, parte da energia é normalmente refletida e outra transmitida. Uma fibra óptica utiliza um núcleo de índice mais alto e uma casca de índice mais baixo. Aumentar o índice da casca eleva o ângulo crítico e pode impedir que um raio anteriormente refletido seja aprisionado.

Exemplo resolvido. A luz viaja do vidro de índice 1.50 para o ar. Um ângulo de incidência de $45^\circ$ produz reflexão interna total?

• Dados: os dois índices e o ângulo de incidência. Calcule o ângulo de fronteira antes de comparar.
  $$C = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.50}\right) = 41.8^\circ$$
• A luz propaga-se para um índice inferior e $45^\circ>41.8^\circ$. Ambas as condições são satisfeitas, logo ocorre reflexão interna total.

Medição do índice de refração

Coloque um bloco transparente retangular sobre papel e trace seu contorno. Utilize um feixe estreito de caixa de raios. Marque dois pontos no raio incidente e dois no raio emergente. Remova o bloco e una os pontos de fronteira para reconstruir o raio interno. Trace a normal na entrada e meça a incidência $i$ e a refração $r$ com um transferidor.

Repita para vários ângulos de incidência, mantendo o mesmo material e cor da luz. Plote $\sin i$ verticalmente contra $\sin r$ horizontalmente. Para ar dentro do bloco, a inclinação corresponde ao índice de refração do bloco relativo ao ar. Use um triângulo grande sobre uma reta de melhor ajuste. Feixes estreitos e marcas de raio amplamente separadas reduzem a incerteza direcional. Ângulos muito pequenos geram grandes incertezas percentuais angulares.

Polarização plana

Polarização plana restringe as vibrações transversais a um único plano contendo a direção de propagação. A luz não polarizada possui vibrações em muitos planos. Um polarizador transmite uma única direção de vibração. Gire um segundo polarizador: direções de transmissão paralelas resultam em brilho máximo; direções perpendiculares idealmente produzem escuridão. O raio ainda se propaga para frente; sua direção de vibração muda a seleção.

Ondas longitudinais não podem ser polarizadas planamente porque sua vibração já ocorre ao longo da propagação. Portanto, a polarização constitui evidência de que a luz é transversal.

Difração e pulso-eco

Difração é o espalhamento de ondas numa abertura ou borda. O espalhamento é maior quando a largura da abertura é comparável ao comprimento de onda. Uma abertura larga ainda difrata nas bordas, mas a onda central espalha-se menos.

Na construção de Huygens, cada ponto numa frentes de onda atua como fonte de ondulações secundárias. Desenhe ondulações de raio igual após o mesmo intervalo de tempo. Sua tangente comum frontal define a nova frente de onda. Numa abertura estreita, apenas uma pequena parte da frente original fornece ondulações, assim as frentes emergentes espalham-se amplamente. Isso explica o espalhamento sem inventar alteração de frequência na fenda.

Redes e prática central 6

Uma rede de difração contém muitas fendas igualmente espaçadas. Máximos brilhantes ocorrem quando as contribuições das fendas vizinhas chegam em fase:

Aqui $k$ é a ordem inteira, $d$ é o espaçamento entre fendas e $\theta$ é medido a partir da direção de transmissão direta. A equação assume incidência normal. Se a rede tem $N$ linhas por metro, $d=1/N$. Não confunda ordem da rede com índice de refração; alguns materiais impressos usam $n$ para ambos.

Exemplo resolvido. Uma rede possui 600 linhas por milímetro. A luz de primeira ordem aparece em $18.0^\circ$. Encontre seu comprimento de onda.

• Dados: densidade de linhas e ângulo de primeira ordem. Converta a densidade de linhas antes de calcular seu inverso.
  $$d = \frac{1}{N} = \frac{1}{600\times10^3\ \text{m}^{-1}} = 1.67\times10^{-6}\ \text{m}$$
  $$\lambda = \frac{d\sin\theta}{k} = \frac{1.67\times10^{-6}\ \text{m}\times\sin18.0^\circ}{1} = 5.15\times10^{-7}\ \text{m}$$
• Este é $515\ \text{nm}$. Verifique cada ordem superior proposta usando $k\lambda/d\leq1$.

Para CP6, aponte um laser de baixa potência normalmente em uma rede e posicione uma tela perpendicular ao feixe central. Meça a distância da tela $D$ e o deslocamento $x$ do ponto central a uma ordem. Use $\tan\theta=x/D$, então a equação da rede. Média os deslocamentos correspondentes esquerdo/direito, repita as distâncias e use ordens visíveis mais altas onde a medição for clara. Meça da rede à tela, não da caixa do laser. Não substitua $\sin\theta=x/D$ a menos que uma aproximação de ângulo pequeno justificada seja aceitável. Nunca olhe diretamente no feixe; mantenha-o abaixo do nível dos olhos e bloqueie feixes espúrios.

Elétrons também demonstram comportamento ondulatório

Um feixe de elétrons que passa por um cristal fino produz um padrão de difração. O espaçamento regular dos átomos fornece a estrutura difratante. Alterar o momento dos elétrons muda o espaçamento do padrão. Isso é evidência de comportamento ondulatório; partículas viajando apenas em trajetórias retilíneas simples não podem explicar os máximos de difração.

O comprimento de onda de de Broglie é:

Para um elétron não relativístico, $p=mv$. Se ele ganha energia cinética ao atravessar uma diferença de potencial, $E_k=eV$ e $p=\sqrt{2mE_k}$. Use esses links apenas quando a questão fornecer ou exigir essa relação energética.

Exemplo resolvido. Um elétron possui momento $2.0\times10^{-24}\ \text{kg m s}^{-1}$. Com $h=6.63\times10^{-34}\ \text{J s}$:

O aumento do momento reduz o comprimento de onda. Elétrons possuem propriedades tanto de partícula quanto de onda; a difração não significa que um elétron se transforma em uma onda sonora.

Reflexão, transmissão e ecos

Em uma interface, parte da energia de uma onda pode ser transmitida e parte refletida. Um pulso refletido pode localizar uma fronteira. No pulso-eco, o atraso medido inclui as viagens de ida e volta:

Exemplo resolvido. O ultrassom viaja em metal a $5900\ \text{m s}^{-1}$. Um eco retorna após $12\ \mu\text{s}$.

A fronteira está a $35\ \text{mm}$ de distância, não a $71\ \text{mm}$. Um eco próximo pode sobrepor-se ao pulso transmitido. Duração de pulso mais curta reduz essa zona cega e separa ecos próximos. Comprimento de onda menor ajuda a detectar ou distinguir características menores. Estes são limites relacionados, mas duração de pulso e comprimento de onda não são a mesma grandeza. Use a velocidade no material real, não automaticamente a velocidade no ar.

Fótons e o efeito fotoelétrico

Ideias de onda explicam interferência, difração e polarização. Elas não explicaram todas as observações de transferência de energia. Fótons descrevem pacotes discretos de energia eletromagnética:

Historicamente, interferência e difração apoiaram modelos ondulatórios da luz. Ideias quânticas foram desenvolvidas para explicar observações incluindo o efeito fotoelétrico e espectros atômicos. A física moderna usa tanto descrições de onda quanto de fóton conforme a medição. Um novo modelo bem-sucedido deve explicar evidências que o modelo antigo também explica.

Um fóton e um elétron

No efeito fotoelétrico, um elétron superficial absorve um fóton e pode escapar. A função trabalho $\phi$ é a energia mínima necessária para remover um elétron da superfície. A frequência limite é $f_0=\phi/h$.

• Abaixo do limiar, aumentar a intensidade não causa emissão no modelo usual de um único fóton.
• Acima do limiar, maior frequência aumenta a energia cinética máxima. Um gráfico de $E_{k,\max}$ contra $f$ tem inclinação $h$, intercepto de frequência $f_0$ e intercepto de energia extrapolação $-\phi$.
• Em frequência fixa acima do limiar, maior intensidade fornece mais fótons por segundo. Mais elétrons podem ser emitidos por segundo, então a corrente de saturação fotoelétrica aumenta. Sua energia cinética máxima não aumenta.
• A emissão começa sem o atraso de acumulação de energia previsto por um modelo simples de onda contínua, mesmo em baixa intensidade acima do limiar.
• Os elétrons escapam com uma faixa de energias cinéticas. Alguns perdem mais energia dentro do material. A equação descreve a maior energia, não a energia de cada elétron.

O elétron-volt é uma unidade de energia: $1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}$. Não é uma unidade de diferença de potencial. Uma potencial de frenagem $V_s$ impede que até os fotoelétrons mais rápidos alcancem o coletor, logo $eV_s=E_{k,\max}$.

Exemplo resolvido. Luz de frequência $8.0\times10^{14}\ \text{Hz}$ atinge uma superfície com função trabalho $2.0\ \text{eV}$.

• Conhecido: frequência do fóton e função trabalho. Converta a função trabalho para joules antes de subtrair.
  $$\phi = 2.0\times1.60\times10^{-19}\ \text{J} = 3.20\times10^{-19}\ \text{J}$$
  $$E_{k,\max} = hf-\phi = 6.63\times10^{-34}\ \text{J s}\times8.0\times10^{14}\ \text{Hz}-3.20\times10^{-19}\ \text{J} = 2.10\times10^{-19}\ \text{J}$$
  $$V_s = \frac{E_{k,\max}}{e} = \frac{2.10\times10^{-19}\ \text{J}}{1.60\times10^{-19}\ \text{C}} = 1.3\ \text{V}$$
• A energia cinética positiva confirma que esta frequência está acima do limiar. Uma subtração negativa significaria nenhuma emissão, não energia cinética negativa.

Espectros de linhas atômicas

Átomos possuem níveis de energia discretos. Um elétron movendo-se para baixo entre dois níveis permitidos emite um fóton. Mover-se para cima requer absorção da energia correspondente:

Um espectro de linhas tem frequências específicas porque apenas certas diferenças de nível são permitidas. A maior diferença de energia descendente resulta na maior frequência e menor comprimento de onda. Conte as transições possíveis verificando pares de níveis e quais níveis superiores estão populados; não conte automaticamente o número de níveis como o número de linhas.

Exemplo resolvido. Um elétron cai de $-2.0\ \text{eV}$ para $-5.0\ \text{eV}$.

A absorção de fótons em um material nem sempre ejetará um elétron de sua superfície. Excitação seguida de emissão, por exemplo, em um material ativado por luz, não é automaticamente o efeito fotoelétrico.

Corrente, resistência e circuitos

Corrente é a taxa de fluxo de carga. A corrente convencional segue a direção em que cargas positivas se moveriam. Em um metal, elétrons derivam na direção oposta.

Um ampere é um coulomb por segundo. Diferença de potencial $V$ é energia transferida por unidade de carga entre dois pontos. Resistência $R$ é definida pela razão $V/I$ em um ponto de operação. Lei de Ohm é a condição adicional $I\propto V$ quando temperatura e outras condições físicas permanecem constantes. Nem todo resistor ou componente a obedece.

Exemplo resolvido. Uma corrente de $0.40\ \text{A}$ flui durante $30\ \text{s}$. Encontre o número de elétrons passando por um ponto.

A conservação fornece as regras do circuito

Conservação de carga significa que a carga não se acumula em uma junção de corrente constante. A corrente total que entra é igual à que sai. A corrente não é consumida por um resistor.

Conservação de energia significa que a energia total fornecida por coulomb ao redor de um laço completo é igual à energia transferida por coulomb. A soma dos aumentos de tensão é igual à soma das quedas de tensão.

Para resistores em série, a mesma corrente passa por cada um e suas diferenças de potencial somam-se:

Para resistores em paralelo, cada um tem a mesma d.p. e as correntes dos ramos somam-se:

Uma combinação em paralelo tem resistência menor que a do seu menor ramo. Um voltímetro conecta-se em paralelo com um componente; um voltímetro ideal tem resistência infinita. Um amperímetro conecta-se em série; um amperímetro ideal tem resistência zero.

Exemplo resolvido. Um resistor $6.0\ \Omega$ está em paralelo com $3.0\ \Omega$. A combinação está em série com $4.0\ \Omega$ através de $12\ \text{V}$.

• Conhecido: disposição do circuito. Reduza a seção paralela primeiro, depois aplique a regra da série.
  $$R_p = \left(\frac{1}{6.0}+\frac{1}{3.0}\right)^{-1}\ \Omega = 2.0\ \Omega$$
  $$I = \frac{V}{R_p+R_s} = \frac{12\ \text{V}}{(2.0+4.0)\ \Omega} = 2.0\ \text{A}$$
  $$V_p = IR_p = 2.0\ \text{A}\times2.0\ \Omega = 4.0\ \text{V}$$
  $$I_{6} = \frac{V_p}{6.0\ \Omega} = 0.67\ \text{A} \qquad I_{3} = \frac{V_p}{3.0\ \Omega} = 1.33\ \text{A}$$
• Verificação: as correntes dos ramos somam $2.0\ \text{A}$. O resistor restante em série tem uma queda de $8.0\ \text{V}$.

Potência e gráficos de componentes

Potência elétrica é a energia transferida por segundo. Substituindo $V=IR$ em $P=VI$ obtém-se as outras formas:

Use a tensão sobre e a corrente através do mesmo componente. As fórmulas de resistência aplicam-se à sua resistência no ponto de operação; não assuma que uma lâmpada incandescente tem resistência constante.

• Condutor ôhmico a temperatura constante: linha reta pela origem. Em um gráfico com $I$ no eixo vertical e $V$ no horizontal, sua inclinação é $1/R$.
• Lâmpada incandescente: à medida que a magnitude da tensão aumenta, o aquecimento eleva a resistência. A curva $I$–$V$ torna-se menos íngreme.
• Termistor NTC: o aquecimento reduz a resistência. Se a corrente o aquecer suficientemente, a curva torna-se mais íngreme. Em temperatura fixa controlada, seu comportamento sobre um intervalo adequado pode ser aproximadamente ôhmico. Não afirme que toda curva de termisor deve se curvar sob qualquer condição de medição.
• Diodo: corrente reversa muito pequena antes da ruptura; a corrente direta aumenta rapidamente após um joelho característico. Ele conduz principalmente em uma direção. Um diodo real não possui uma resistência constante única.

Para um gráfico curvo, $R=V/I$ usa uma linha da origem até o ponto de operação. A inclinação da tangente geralmente não é $1/R$.

Resistividade e prática central 7

Resistividade $\rho$ é uma propriedade do material a uma temperatura especificada:

Aumentar o comprimento de um fio uniforme aumenta a resistência. Aumentar a área transversal a diminui. Dobrar o diâmetro quadruplica a área e reduz a resistência a um quarto, se material, comprimento e temperatura permanecerem inalterados.

Para CP7, conecte um fio uniforme, amperímetro, fonte de alimentação, interruptor e resistor limitador de corrente em série. Conecte um voltímetro entre as extremidades do comprimento medido do fio. Meça vários comprimentos e determine $R=V/I$ para cada um. Plote $R$ contra $l$: inclinação $=\rho/A$, logo $\rho=A\times\text{gradient}$.

Meça o diâmetro com micrômetro em várias posições e orientações; verifique seu zero. Meça o comprimento entre os contatos elétricos reais. Use pequena corrente e desligue-a entre as leituras para limitar o aquecimento. Mantenha os contatos firmes. Um intercepto não nulo pode indicar resistência nos contatos ou fios. Repetir leituras reduz a dispersão, mas não elimina erro de zero no diâmetro. Como a área depende de $d^2$, uma pequena incerteza percentual no diâmetro contribui com cerca de duas vezes essa porcentagem para a incerteza da área.

Exemplo resolvido. O diâmetro de um fio é $0.40\ \text{mm}$. Um gráfico de $R$–$l$ tem inclinação $3.5\ \Omega\,\text{m}^{-1}$.

O modelo de portadores de carga

A velocidade de deriva $v$ é a pequena velocidade média direcionada dos portadores de carga, não sua velocidade térmica aleatória:

Aqui $n$ é o número de portadores móveis por unidade de volume, $q$ é a magnitude da carga por portador e $A$ é a área transversal. Uma maior densidade de portadores permite a mesma corrente com menor velocidade de deriva. Em fios em série, a corrente é a mesma; alterar $n$ ou $A$ altera $v$.

Materiais possuem resistividades diferentes devido às suas densidades de portadores e à facilidade de movimento dos mesmos. Maior espalhamento reduz a velocidade de deriva para o mesmo gradiente de potencial aplicado. A densidade de portadores sozinha não explica todas as diferenças entre materiais.

Divisores de potencial, sensores e células

Ao longo de um fio uniforme percorrido por corrente constante a temperatura constante, a resistência cresce proporcionalmente à distância. Portanto, a queda de potencial também cresce proporcionalmente à distância. Um gráfico de potencial versus distância é linear. Isso assume material e área uniformes; um fio cônico ou aquecido irregularmente pode não produzir uma linha reta.

Um divisor de potencial utiliza resistências em série para repartir a tensão da fonte:

A expressão assume que a saída está sem carga ou que a carga conectada consome corrente desprezível. Se a carga consumir corrente significativa, combine-a em paralelo com o resistor de saída primeiro. Identifique sempre qual resistor o voltímetro está medindo.

Exemplo resolvido. Uma fonte $6.0\ \text{V}$ alimenta um resistor fixo $2.0\ \text{k}\Omega$ acima de um LDR. Encontre a saída através do LDR quando sua resistência mudar de $4.0$ para $1.0\ \text{k}\Omega$.

A saída sobre este LDR diminui quando a iluminação aumenta. A saída sobre o resistor fixo aumenta. Explique a saída nomeada, não apenas “a tensão muda”.

Explique sensores usando portadores

Em um metal, o aquecimento aumenta as vibrações da rede cristalina. Elétrons de condução sofrem mais espalhamentos. O número de elétrons móveis permanece aproximadamente constante, mas a velocidade de deriva em um dado gradiente de potencial diminui, assim a resistência sobe.

Em um termistor de coeficiente de temperatura negativo, o aquecimento libera mais portadores móveis. O aumento da densidade de portadores predomina, logo a resistência cai. Evite dizer que o aquecimento reduz as vibrações da rede.

Em um resistor dependente de luz (LDR), a absorção de luz libera portadores móveis adicionais. O aumento da iluminação eleva a densidade de portadores e reduz a resistência. Não precisa funcionar por elétrons deixando sua superfície.

Para explicações encadeadas, forneça a cadeia completa: mudança ambiental → alteração de portadores/espalhamento → alteração de resistência → alteração da fração do divisor → alteração da saída nomeada. Mantenha a configuração do circuito em vista durante todo o processo.

F.e.m., resistência interna e prática central 8

Força eletromotriz $\mathcal{E}$ é a energia fornecida pela fonte por unidade de carga. É medida em volts, apesar do nome. Resistência interna $r$ causa transferência de energia dentro da fonte quando a corrente flui. A p.d. terminal é a energia por coulomb disponível para o circuito externo:

A fonte fornece potência $\mathcal{E}I$, o circuito externo recebe $VI$ e o aquecimento interno é $I^2r$. Eles se somam consistentemente. Com corrente desprezível, a p.d. terminal aproxima-se da f.e.m.

Para CP8, conecte uma célula, amperímetro, carga variável e interruptor em série. Conecte um voltímetro de alta resistência entre os terminais da célula. Varie a resistência externa e registre pares de $V$ e $I$. Plote $V$ verticalmente contra $I$ horizontalmente. A linha de melhor ajuste tem intercepto $\mathcal{E}$ e inclinação $-r$. Use o módulo da inclinação para $r$.

Use várias configurações e repita. Abra o interruptor entre as leituras, evite resistências de carga muito baixas e mantenha a temperatura e o estado de carga da célula o mais estáveis possível. Nunca curto-circuite a célula. Um gráfico curvo pode indicar variação na resistência interna ou f.e.m.; não force um único $r$ fixo sobre ele sem discutir a limitação.

Exemplo resolvido. O gráfico de uma célula passa por $(0.20\ \text{A},1.40\ \text{V})$ e $(0.60\ \text{A},1.20\ \text{V})$.

• Dados conhecidos: dois pontos na linha de melhor ajuste. A inclinação de $V=\mathcal{E}-Ir$ é $-r$.
  $$r = -\frac{\Delta V}{\Delta I} = -\frac{1.20-1.40}{0.60-0.20}\ \Omega = 0.50\ \Omega$$
  $$\mathcal{E} = V+Ir = 1.40\ \text{V}+0.20\ \text{A}\times0.50\ \Omega = 1.50\ \text{V}$$
• Verifique usando o segundo ponto: $1.20+0.60\times0.50=1.50\ \text{V}$ também. A p.d. terminal diminui à medida que a corrente aumenta.

Verifique você mesmo

Use a folha de exercícios de correspondência após cada seção: 2.1 gráficos de ondas; 2.2 ondas estacionárias; 2.3 refração; 2.4 difração; 2.5 fótons; 2.6 circuitos; 2.7 divisores e células.

Antes de usar um conjunto de provas anteriores, verifique se você consegue:

• ler um eixo e identificar se ele fornece comprimento de onda, período, pressão ou deslocamento;
• explicar uma prática com aparelhos, medições, variáveis controladas, gráfico e precauções;
• distinguir fase de amplitude e frequência de fóton da taxa de chegada de fótons;
• derivar combinações de circuitos a partir da conservação de carga e energia;
• explicar um circuito sensor como uma cadeia causal conectada;
• usar uma comparação real para terminar “deduzir se”, com unidades e conclusão clara.

As provas revisadas de janeiro e junho 2025 fornecem exemplos autênticos, mas não testam todos os requisitos. Práticas originais preenchem as lacunas pedagógicas. Completar uma prova amostrada sozinho não comprova cobertura total do programa.

Um número precisa de um método

Dois grupos medem o mesmo fio. Seus valores diferem. Qual você deve confiar? Você precisa de mais que o número final: o instrumento, método, leituras repetidas e incerteza importam.

WPH13 Habilidades Práticas em Física I é uma prova escrita sobre trabalho prático das Unidades 1–2. Dura 80 minutos e tem 50 pontos. Todas as questões são obrigatórias. Pelo menos 20 pontos avaliam matemática no Nível 2 ou superior. Este guia apoia trabalho laboratorial real; lê-lo não substitui fazer medições por conta própria.

As três folhas de habilidades seguem o processo: planejar uma investigação válida, coletar e registrar medições, então processar resultados e justificar conclusões. A especificação oficial lista habilidades em vez de afirmações de conhecimento numeradas para esta unidade.

Planejando uma investigação válida

Uma medição válida mede exatamente o que você pretende medir. Um cronômetro preciso não ajuda se cronometrar o evento errado.

Comece nomeando a variável independente que você altera e a variável dependente que você mede. Liste variáveis de controle que também podem afetar a variável dependente. Explique como manter cada uma importante estável.

Transformar uma descrição em um método utilizável

Um método precisa:

• equipamentos nomeados, com faixa de medição adequada e resolução;
• uma configuração mostrando onde as medições são feitas;
• passos que outro aluno possa seguir, incluindo eventos iniciais e finais;
• vários ajustes da variável independente ao longo de uma faixa útil;
• repetições para testar estabilidade e estimar variação;
• um cálculo ou gráfico que responda à pergunta da investigação;
• fontes específicas de incerteza e melhorias;
• perigos realistas com uma forma prática de reduzir cada risco.

Não escreva apenas “tirar leituras” ou “usar equipamentos melhores”. Nomeie a leitura, o instrumento e o que a melhoria altera.

Exemplo de planejamento resolvido: frequência e tensão da corda

Investigar como a frequência fundamental depende da tensão em uma corda.

• Use um gerador de vibração e um gerador de sinal. Passe a corda sobre uma polia até um porta-massas.
• Altere a massa pendente $m$. Com uma polia livre, a tensão é aproximadamente $T=mg$.
• Meça o comprimento vibrante entre os nós extremos. Use a mesma corda e mantenha esse comprimento fixo.
• Ajuste a frequência para o fundamental cada vez. O mesmo modo é um controle, não um detalhe opcional.
• Meça a massa e o comprimento total da corda para encontrar a densidade linear $\mu$. Mantenha-a inalterada nesta investigação.
• Registre várias tensões e suas frequências ressonantes. Repita o ajuste de afinação próximo a cada ressonância.

O modelo para o fundamental é:

Um gráfico de $f^2$ verticalmente contra $T$ horizontalmente deve ser reto passando pela origem. Um triângulo grande fornece a inclinação. Fixe bem o suporte e mantenha os pés afastados das massas que podem cair. Isso é mais robusto do que dizer “tenha cuidado”.

Calibração e verificação de zero

Calibração verifica um instrumento contra valores de referência conhecidos. Erro de zero ocorre quando ele não indica zero na condição correta de zero. Verifique mandíbulas de micrômetro fechadas ou balança vazia antes de medir.

Se um micrômetro mostrar $+0.03\ \text{mm}$ com as mandíbulas corretamente fechadas, subtraia $0.03\ \text{mm}$ de cada leitura subsequente. Repetir a medição sozinha não remove esse desvio. Uma verificação de zero não pode provar que todos os pontos da escala estão calibrados corretamente.

Intervalo, espaçamento e repetições

Escolha um intervalo suficientemente amplo para revelar a relação. Várias medições aglomeradas perto de um único ajuste podem dar uma inclinação ruim. Use mais ajustes perto de um ponto de inversão se precisar localizar um máximo com precisão.

Repetições são úteis quando as condições podem ser reproduzidas. Elas mostram dispersão e ajudam a identificar leituras instáveis. No entanto, leituras repetidas de uma pilha descarregando ou de um fio aquecendo podem variar porque as condições mudam. Reduza a corrente, desligue entre as leituras, controle a temperatura ou restaure as condições. Não faça a média de uma variação como se fosse variação aleatória.

Controle a causa real

Ao variar o ângulo de uma lâmpada acima de uma célula solar, mantenha a distância lâmpada-célula e a saída da lâmpada fixas. Controle a luz ambiente, por exemplo, com proteção ou em sala escura. Mantenha a célula e sua carga as mesmas. Caso contrário, uma mudança na potência medida pode vir de distância, iluminação ou resistência do circuito em vez do ângulo.

Discuta o contexto usando uma causa física. Um painel solar de rastreamento pode permanecer mais próximo da incidência normal e coletar mais energia ao longo do dia. Seu motor também consome energia e adiciona custo ou manutenção. “Melhor para o meio ambiente” sozinho não explica nenhum dos efeitos.

Medição e registro

Precisão descreve a proximidade ao valor verdadeiro. Exatidão descreve quão próximos os valores repetidos se agrupam. Resultados muito agrupados ainda podem compartilhar um desvio sistemático.

• Reprodutibilidade refere-se a resultados semelhantes usando o mesmo operador e método em curto período.
• Reprodutibilidade refere-se a resultados semelhantes de diferentes operadores, equipamentos ou métodos.
• Efeitos aleatórios causam variação imprevisível. Repetir e calcular uma média pode reduzir sua influência.
• Erro sistemático desloca resultados de forma consistente. Corrija a causa ou o deslocamento conhecido; repetições não o eliminam.
• Incerteza é um intervalo razoável associado a uma medição. Não é automaticamente um erro nem o tamanho conhecido do mesmo.

Leia instrumentos na sua resolução

Uma régua milimétrica tem menor intervalo de $1\ \text{mm}$. Os paquímetros Vernier padrão da especificação resolvem $0.1\ \text{mm}$, e o micrômetro padrão resolve $0.01\ \text{mm}$. Verifique o instrumento mostrado: um visor digital ou escala diferente pode ter resolução distinta.

Para um micrômetro, some a leitura da manga visível com a do tambor. Inclua marca de meia milímetro visível na manga quando aplicável. Use o catraca para pressão de contato consistente, em vez de apertar excessivamente as mandíbulas.

Para paquímetros Vernier, leia a escala principal logo antes do zero do Vernier, depois adicione a divisão alinhada do Vernier vezes sua resolução. Verifique se as mandíbulas entram em contato nas superfícies pretendidas sem inclinação. Não infira uma escala ausente a partir de descrição textual extraída: leia o diagrama do instrumento diretamente.

Exemplo resolvido. A última marca visível da manga é $4.5\ \text{mm}$. A divisão do tambor 23 alinha-se com a linha de referência. A resolução é $0.01\ \text{mm}$ e o erro de zero é $+0.02\ \text{mm}$.

Técnicas de geometria e cronometragem

Evite paralaxe observando a escala ao longo da linha de visão correta. Use um esquadro para transferir altura ou posição para uma régua. Mantenha a régua paralela à distância medida; uma régua inclinada mede distância diferente.

Um portão de luz mede o tempo de bloqueio de um objeto interruptor. Com comprimento de interrupção conhecido $l$, a velocidade é $v=l/t$. Isso fornece velocidade durante a passagem, não aceleração por si só. Para encontrar aceleração, meça variação de velocidade em tempo conhecido ou use equação de movimento justificada com quantidades adicionais medidas. Não chame $l/t$ de aceleração.

Vídeo com taxa de quadros conhecida pode reduzir incerteza de tempo de reação. Conte quadros entre eventos definidos claramente de início e fim, depois use $t=N/f_{\text{frame}}$. O intervalo de quadro limita a resolução temporal. Imagens desfocadas ou posições de evento pouco claras ainda podem limitar o resultado.

Tabelas e algarismos significativos

Coloque quantidade e unidade juntas no cabeçalho de cada coluna, por exemplo $l/\text{mm}$. Registre medições brutas com casas decimais correspondentes à resolução do instrumento. Não adicione dígitos extras que o instrumento não possa resolver.

Todos têm duas casas decimais iguais. Uma média calculada pode ser mantida com dígitos extras durante cálculos, depois reportada adequadamente. Valores processados para plotagem são geralmente dados com três algarismos significativos, a menos que a questão ou dados exijam outro tratamento. Não misture $5.1$, $5.24$ e $5.180$ como se viessem de um único visor inalterado.

Uma leitura anômala não se encaixa no padrão. Verifique a leitura, método e repita a medição se possível. Não exclua silenciosamente o valor menos conveniente. Uma anomalia suspeita precisa de motivo e decisão registrada.

Incerteza nesta unidade

Para uma única leitura, esta especificação utiliza metade da resolução do instrumento como estimativa básica de incerteza absoluta. Isso não significa que a resolução seja a única fonte de incerteza. Um ponto final mal definido, tempo de reação ou alinhamento inadequado podem aumentar a incerteza.

Exemplo resolvido. Uma balança exibe $135.0\ \text{g}$ com resolução $0.1\ \text{g}$.

Para valores repetidos, a especificação utiliza metade da amplitude como estimativa de incerteza:

Exemplo resolvido. Tempos repetidos são $5.12$, $5.24$, $5.18$, $5.20\ \text{s}$.

Relate sobre $(5.19\pm0.06)\ \text{s}$. Mantenha a média não arredondada no cálculo percentual. A dispersão das repetições é muito maior que meio centésimo de segundo, portanto citar apenas a resolução do display subestimaria a variação observada.

A unidade 3 não exige o acoplamento de incertezas percentuais em uma quantidade calculada. Se uma incerteza para essa quantidade for fornecida, use-a diretamente. Não introduza regras avançadas de propagação como requisito aqui.

Gráficos e processamento de resultados

Escolha escalas que mostrem os dados

Identifique qual grandeza pertence a cada eixo. Use rótulos claros de grandeza/unidade e escalas regulares. Utilize uma parte significativa da grade disponível; evite intervalos inconvenientes difíceis de subdividir. Nenhum eixo precisa começar sempre em zero, mas não oculte se uma relação proporcional proposta passa pela origem.

Plotar pequenos cruzes com precisão. Desenhe uma linha reta de ajuste ou curva suave conforme a relação. Não una pontos ruidosos com um traço zigzag, a menos que a questão solicite. Uma linha reta de ajuste equilibra a dispersão em vez de passar por todos os pontos.

Converta a inclinação em constante física

Para uma linha $y=mx+c$, identifique qual parte da equação física corresponde a $m$ e $c$. Uma linha reta não comprova proporcionalidade direta se seu intercepto for diferente de zero.

Exemplo resolvido. Um fio segue $R=(\rho/A)l+R_0$. Uma linha de ajuste passa por $(0.20\ \text{m},1.20\ \Omega)$ e $(1.00\ \text{m},4.40\ \Omega)$.

• Conhecido: dois pontos amplamente separados na linha ajustada. Por quê: a inclinação equivale a $\rho/A$.
  $$m = \frac{\Delta R}{\Delta l} = \frac{4.40-1.20}{1.00-0.20}\ \Omega\,\text{m}^{-1} = 4.00\ \Omega\,\text{m}^{-1}$$
  $$R_0 = R-ml = 1.20\ \Omega-4.00\ \Omega\,\text{m}^{-1}\times0.20\ \text{m} = 0.40\ \Omega$$

Se $A=1.0\times10^{-7}\ \text{m}^2$, a resistividade é:

O intercepto fixo pode representar resistência de contato ou dos fios. Dividir uma medida de $R$ por $l$ incluiria esse desvio e resultaria na inclinação incorreta.

Fatores de escala pertencem à inclinação

Suponha que um eixo esteja rotulado $f/\text{MHz}$. Um gradiente lido desse gráfico tem MHz em suas unidades. Converta para Hz antes de usar constantes SI. Um gráfico de $f$ contra $\sin\theta$ tem um eixo horizontal adimensional; seu gradiente, portanto, tem unidades de frequência. Use o modo graus se o ângulo medido estiver em graus.

Se uma equação fornecida for $f=(v/\lambda)\sin\theta$, um gráfico de $f$ contra $\sin\theta$ tem gradiente $v/\lambda$. Reorganize $v=\lambda\times\text{gradient}$. Não assuma que todo gráfico de frequência tem gradiente igual à velocidade.

Curvas, máximos e melhorias específicas

Uma faixa ampla primeiro localiza um máximo. Em seguida, tome leituras mais espaçadas nessa região. Repetir um único ponto não localiza o máximo entre os pontos existentes. Mantenha as outras condições estáveis e considere a dispersão ao citar o melhor ângulo ou resistência.

Para um experimento de movimento, um esquadro pode melhorar uma medição de distância horizontal. Para um experimento com lâmpada, um ambiente escuro pode reduzir a iluminação de fundo variável. Para um experimento de ressonância, aproxime-se do som mais alto tanto de frequências mais altas quanto mais baixas e repita. Cada melhoria visa uma limitação nomeada.

Conclusões apoiadas por incerteza

Um valor com incerteza descreve um intervalo. Compare esse intervalo com o valor proposto e, em seguida, declare o que a evidência apoia. A concordância dentro da incerteza não prova que um material ou modelo é exclusivamente identificado.

Exemplo resolvido. Uma densidade medida é $8.90\ \text{g cm}^{-3}$ com incerteza percentual $0.9\%$. Ela poderia concordar com um valor proposto $8.94\ \text{g cm}^{-3}$?

O intervalo é aproximadamente de $8.82$ a $8.98\ \text{g cm}^{-3}$. O valor proposto está dentro dele, então a medição é consistente com esse valor. Isso não prova que o objeto tenha essa composição.

Se duas previsões do modelo estiverem ambas dentro do intervalo, os dados não as distinguem. Reduza a incerteza dominante ou adicione uma medição diferente antes de afirmar uma identificação exclusiva.

Verifique você mesmo

Antes de tentar resolver um problema prático escrito, verifique se você consegue:

• transformar nomes de aparelhos em um método utilizável com controles e rota de processamento;
• ler resolução e corrigir um deslocamento de zero conhecido;
• distinguir acurácia, precisão, repetibilidade e reprodutibilidade;
• calcular uma média, amplitude total e incerteza percentual;
• plotar dados, usar um grande triângulo de gradiente e interpretar um intercepto;
• transformar uma incerteza fornecida em um intervalo e apresentar uma conclusão fundamentada;
• vincular cada melhoria ao problema de medição que ela realmente reduz.

From a collision to a particle accelerator

A car bumper and a particle detector seem very different. Both use momentum and forces. This unit follows those ideas into circular motion, electric fields, magnetic fields and particle interactions.

WPH14 assesses requirements 81–124 of the Issue 3 specification. It can also use knowledge from Units 1–2. Use the seven skill sheets in order. Check units, directions and the assumptions behind each equation. A familiar equation can give a wrong answer when its model does not fit.

Impulse and two-dimensional collisions

Force changes momentum

Momentum 动量 is the vector $\mathbf p=m\mathbf v$. Choose a positive direction before using signs. Impulse 冲量 is the change in momentum. For constant force, or the average force over an interval:

A changing force gives an impulse equal to the signed area under its force–time graph. A triangular pulse has area $\frac12\times\text{base}\times\text{height}$. An area below the time axis is negative. The maximum force is not automatically the average force.

Worked example. A $0.20\ \text{kg}$ ball approaches a wall at $+6.0\ \text{m s}^{-1}$. It rebounds at $-4.0\ \text{m s}^{-1}$. Contact lasts $0.050\ \text{s}$. Find average force on the ball.

• Known: mass, signed initial/final velocities and contact time.
• Why: force impulse changes the ball's momentum; rebound reverses the sign.

The force is opposite the chosen positive direction. The wall feels an opposite force. A deforming bumper or helmet increases stopping time. For the same momentum change, this reduces average force. It does not remove the momentum change.

Conserve each momentum component

An isolated system 孤立系统 has no significant external impulse during the event. Its total momentum is conserved. Internal forces cancel in opposite pairs. Momentum conservation does not require kinetic energy conservation.

For a collision in a plane, resolve every momentum into two perpendicular axes:

Use the angle measured from the chosen axis. Include signs; a downward component is negative if upwards is positive. Do not add momentum magnitudes when directions differ.

Worked example. A $0.10\ \text{kg}$ sphere moving at $2.0\ \text{m s}^{-1}$ strikes two stationary spheres, each $0.10\ \text{kg}$. It stops. The two others leave symmetrically at $1.2\ \text{m s}^{-1}$, at angles $+\theta$ and $-\theta$ to the original direction. Find their separation angle and classify the collision.

• Why: transverse momenta cancel by symmetry; longitudinal momentum gives $\theta$.

An elastic collision 弹性碰撞 conserves total kinetic energy as well as momentum. An inelastic collision 非弹性碰撞 does not conserve kinetic energy; some becomes other forms of energy.

This collision is inelastic. Total energy is still conserved. In an ordinary passive collision, kinetic energy cannot increase without an additional energy source.

For a non-relativistic particle 非相对论粒子, use $p=mv$ and $E_k=\frac12mv^2$. Substituting $v=p/m$ gives:

At equal kinetic energy, $p=\sqrt{2mE_k}$: a larger mass has larger momentum. At equal momentum, a larger mass has smaller kinetic energy. These equations are not valid for a particle moving close to light speed.

Core practicals 9 and 10

For core practical 9, use a trolley, force sensor and data logger. Measure trolley mass and velocities just before/after contact using light gates or a motion sensor. Record the force–time pulse at a sampling rate fast enough to resolve it. Zero the force sensor; use consistent axes for force and velocity. Integrate the graph area and compare it with $m(v-u)$. Repeat for different contact forces or speeds. A graph of impulse against momentum change should have gradient close to one. Friction, sensor offsets and missed parts of the pulse can cause disagreement. Secure the track and catch the trolley safely.

For core practical 10, record small spheres colliding on a level surface using an overhead camera. Include a length scale in the collision plane and a known frame rate. Keep the camera perpendicular to reduce perspective error. Track centres over several frames before and after the short collision. Convert pixel displacements to metres and frame intervals to seconds. Determine both velocity components, then compare total momentum components and kinetic energies. Repeat with different approach directions. Include uncertainty from positions, timing and scale calibration. A small mismatch within uncertainty is not evidence that momentum fails. Keep spheres contained so they cannot fall or become a slipping hazard.

Circular motion

Angle, angular speed and tangential speed

An angle of one radian 弧度 subtends an arc equal to the radius. Hence $\theta=s/r$, with angle in radians. One revolution is $2\pi$ radians or $360^\circ$.

Angular velocity 角速度 describes the rate of angular displacement. In the plane problems here, use its signed rotational rate or magnitude as appropriate. Points on one rigid turntable have the same angular speed. Points farther from its centre have larger tangential speed 切向速率. Their velocity directions also vary around the circle.

Worked example. A wheel rotates at $120$ revolutions per minute. Find angular speed and acceleration of a point $0.25\ \text{m}$ from its centre.

Keep the unrounded angular speed during the calculation. Use radius, not diameter.

Why acceleration points inward

Uniform circular motion has constant speed but changing velocity. Draw the initial and final tangential velocity vectors. The change is $\Delta\mathbf v=\mathbf v_2-\mathbf v_1$, not their sum. For a small angular change, the velocity triangle and radius triangle are similar:

The change in velocity points towards the centre in this limit. A resultant centripetal force 向心力 is therefore needed:

Centripetal force names the resultant of real forces. It is not an extra force to add to a force diagram. Friction can provide it on a turntable. Tension can provide it for a ball on a string.

Write the real-force equation

For clothing against the inside of a vertical drum, weight always points down. The drum's normal reaction points towards the centre. At constant speed:

The required resultant has the same magnitude, but the reaction is larger at the bottom. If contact is lost, the surface cannot provide a pulling normal reaction. Check this before using a circular-path model.

For a horizontal turntable, the largest available friction must be at least $mr\omega^2$. If maximum friction is $mg/25$:

Mass cancels because both required and available forces scale with mass. If the inward force disappears, motion initially follows the tangent. Gravity can then curve the later path; “tangent” describes the release direction.

Electric fields and potential

Force and potential describe different things

An electric field 电场 is a region where a charged particle experiences a force. Electric field strength 电场强度 is force per unit positive test charge:

Its units are $\text{N C}^{-1}$ or $\text{V m}^{-1}$. A positive charge feels force along the field; a negative charge feels force opposite it.

Electric potential 电势 is potential energy per unit charge relative to a chosen reference. For a charge $q$ moved through a potential change:

Potential is a scalar; field is a vector. A point with zero potential need not have zero field. Adding signed potentials is different from adding field vectors.

Radial and uniform fields

For point charges, or outside an isolated charged conducting sphere, with $k=1/(4\pi\varepsilon_0)$:

Here $r$ is separation of charge centres; sphere distances are measured from its centre. Like charges repel, unlike charges attract. Potential takes the sign of $Q$ when zero is at infinity.

Between large parallel plates, away from edges, the field is approximately uniform:

The field points from higher to lower potential. Plate separation $d$ is perpendicular to the plates. An equipotential 等势面 has the same potential everywhere. Field lines cross equipotentials at right angles. Moving along one involves no change in electric potential energy.

The radial field is the negative potential gradient: $E_r=-\mathrm dV/\mathrm dr$. For a positive source, the signed area under its $E$–$r$ curve from $r$ to infinity equals $V(r)$. The area from zero to $r$ is not that potential. In a uniform field, closer equally spaced potential levels mean stronger field.

Worked example. A sphere of radius $0.20\ \text{m}$ has potential $9.0\ \text{kV}$. Find charge and field at $0.30\ \text{m}$ from its centre. Use $k=8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}$.

Use the surface radius to find charge, then the new centre-distance to find field. Do not reuse the surface distance for the second step.

Compare electrical and gravitational forces

A stationary charged oil drop can satisfy $|q|E=mg$. Use $m=\rho\mathcal V$ if density and volume are given. Divide the charge magnitude by $e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}$ to test whether it is close to an integer multiple. Charge sign follows the direction of force required, not its magnitude alone.

To lift a spherical grain, compare $qE$ with $\rho(4\pi r^3/3)g$. Radius is half the listed diameter. A calculated maximum diameter is a threshold: choose the largest listed diameter below it. On an inclined panel, the normal component of weight is $mg\cos\theta$. The electric force perpendicular to the panel need overcome that component to detach a grain; gravity also has a downslope component.

Capacitors and RC circuits

Charge storage and energy

A capacitor 电容器 stores separated charge on two conductors. They carry equal and opposite charges in the ideal two-plate model. The quoted charge $Q$ is the magnitude on either plate, not the sum of both magnitudes. Capacitance 电容 is charge stored per unit p.d.:

One farad is one coulomb per volt. For constant capacitance, a $V$–$Q$ graph is straight through the origin with gradient $1/C$. Its area gives the work needed to transfer charge onto the capacitor:

The factor one half appears because p.d. rises from zero while charge is transferred. It is not $QV$ at the final voltage throughout charging. For discharge between non-zero voltages, subtract the two stored energies:

This is different from $\frac12C(V_{\text{initial}}-V_{\text{final}})^2$.

Charging and discharging

In an ideal series resistor–capacitor charging circuit, initially uncharged, the capacitor p.d. is zero. The resistor initially has the full supply p.d., so current is maximum. As charge builds, capacitor p.d. rises. Resistor p.d. and current fall. At full charge, current is zero and capacitor p.d. equals supply p.d.

For discharge through a fixed resistance, use signed current consistently or work with its magnitude:

The voltage relation follows from $Q=CV$ with constant $C$. Current magnitude follows from $|I|=V/R$ with constant $R$. The time constant 时间常数 is $\tau=RC$. After one time constant, $Q$, $V$ and current magnitude are $e^{-1}\approx0.368$ of their initial values. After three time constants they are about $5\%$, not zero. Stored energy falls faster because it depends on $V^2$.

For charging from an ideal constant supply $V_s$:

A charging capacitor voltage rises towards $V_s$; charging current falls towards zero. Do not sketch the same curve for both quantities. Equal $V_C$ and $V_R$ means each is $V_s/2$, reached at $t=RC\ln2$.

Taking natural logs of the discharge equation gives:

Thus a graph of $\ln V$ against $t$ has gradient $-1/(RC)$ and intercept $\ln V_0$. The same forms hold for $Q$ and current magnitude. Use consistent measurement units inside the logged numerical values.

Worked example. A $100\ \mu\text{F}$ capacitor discharges from $12.0\ \text{V}$ through $20.0\ \text{k}\Omega$. Find p.d. after $3.0\ \text{s}$ and energy lost.

The lost stored energy becomes mainly heat in the discharge resistance. Use unrounded voltage in the final calculation.

Core practical 11 and useful extensions

Use a low-voltage d.c. supply, resistor, capacitor and switch. Charge through the resistor, then disconnect the supply and discharge through the known resistance. Connect a voltage sensor, data logger or oscilloscope across the capacitor. Record time and p.d.; choose a sampling interval short compared with $RC$. Use an instrument input resistance large compared with the discharge resistance, otherwise it changes the discharge path.

Keep $R$ and $C$ fixed, repeat after restoring the same initial charge, and compare measured curves with exponential predictions. Determine $RC$ from the $1/e$ level or a log-fit gradient. Avoid taking logs of readings near zero where relative uncertainty is large. For a resistance-tolerance test, calculate $R=-\Delta t/[C\ln(V_2/V_1)]$ during one uninterrupted discharge and compare with both limits of the permitted interval.

Use correct polarity for an electrolytic capacitor and remain below its voltage rating. Discharge it safely through a resistor before altering connections; do not short a charged capacitor. Leakage, sensor loading and resistor heating can change the measured curve.

A smoothing capacitor charges near supply peaks and discharges into the load between them. A smaller load resistance gives a smaller time constant, faster discharge and less smoothing. For two identical series capacitors, the same magnitude of charge appears on each. Their equal p.d.s share the supply, so each stores half the charge of one identical capacitor connected alone. This sharing is a useful bridge to the selected paper; it does not replace the main capacitance model.

Magnetic forces and induction

Directions, flux and force

Magnetic flux density 磁感应强度 $B$ describes the field's force effect. For a straight wire of length $l$ in a uniform field:

Here $\theta$ is between conventional current and field. Only the length inside the field counts. For one charged particle:

Use Fleming's left-hand rule 弗莱明左手定则: first finger along field, second along conventional current, thumb gives force. A positive charge moves with conventional current. Reverse the result for an electron's motion. Dot symbols mean out of the page; crosses mean into it.

Magnetic force is perpendicular to velocity, so it changes direction without doing work. It cannot, alone, increase the particle's kinetic energy. If $\mathbf v$ is parallel to $\mathbf B$, magnetic force is zero.

Magnetic flux 磁通量 through a flat area in a uniform field is:

Here $\alpha$ is between field and the area's normal, not the plane itself. The unit is the weber. Flux linkage 磁通链 is $N\phi$ when the same flux links each of $N$ turns.

Worked example. A coil has 40 turns and radius $0.015\ \text{m}$. A uniform $0.020\ \text{T}$ field is perpendicular to its plane. Find flux linkage.

Use radius, not diameter, and multiply by turns only when finding linkage. A balance under magnets measures the opposite reaction to a force on a separately supported wire. Convert a balance reading change $\Delta m$ to force $\Delta mg$, not $\Delta m$ itself.

A changing linkage induces an e.m.f.

Electromagnetic induction 电磁感应 occurs when flux linkage changes. Relative movement of a coil and magnet can cause it. Rotating the coil or changing current in another linked coil can also cause it. A stationary coil in a constant field has no induced e.m.f. merely because flux is present.

Faraday's law 法拉第电磁感应定律 relates e.m.f. magnitude to rate of flux-linkage change. Lenz's law 楞次定律 gives the opposing direction:

Induced current, if the circuit is closed, produces a magnetic effect opposing the change that caused it. It does not always oppose the existing field: when that field decreases, the induced effect helps maintain it. This opposition is consistent with energy conservation.

Worked example. Flux through each of 50 turns decreases from $6.0\times10^{-5}$ to $2.0\times10^{-5}\ \text{Wb}$ in $0.020\ \text{s}$. Find average induced e.m.f. magnitude.

Faster movement, stronger field, more turns or larger linked area can increase the rate. Explain which quantity actually changes. In a magnetic-strip reader, reversing pole orientation reverses signal direction. For a straight boundary swept across an area of width $L$ at speed $v$, $\Delta A/\Delta t=Lv$, giving $|\mathcal E|=NBLv$ under that uniform-field model.

Wireless charging uses alternating current in one coil, producing changing magnetic field and changing linkage in the phone coil. That induces an e.m.f. The receiving circuit can then charge the battery. Equal turn counts do not ensure equal voltages: some flux may fail to link the other coil, especially with separation or without an iron core.

Nuclear structure, accelerators and tracks

The nucleus and scattering evidence

In $^{A}_{Z}X$, proton number 质子数 $Z$ counts protons and nucleon number 核子数 $A$ counts protons plus neutrons. The neutron count is $A-Z$. A neutral atom has $Z$ electrons; an ion need not.

The older distributed-positive-charge model could explain small deflections but not the observed rare large-angle alpha scattering. Most alpha particles pass nearly straight through thin foil, showing that most of the atom is empty space. A small fraction experience very large deflections. Positive alpha particles feel strong electrostatic repulsion near a small, dense, positive nucleus containing most atomic mass. Few large-angle events show that the nucleus occupies a small fraction of the atom's volume. Keep each observation linked to the particular conclusion it supports.

Make, accelerate and steer a beam

Thermionic emission 热电子发射 releases electrons from a heated metal. Heating supplies energy so some electrons can leave the surface. A positive accelerating electrode attracts them through a vacuum. A potential difference changes kinetic energy by the electric work:

For speed calculations use the positive energy gain $|q|\,|\Delta V|$ only when the particle is accelerated through the field in the appropriate direction. Starting from rest, well below light speed:

A linear accelerator 直线加速器 uses alternating p.d. across gaps between drift tubes. Particles accelerate in gaps and are shielded inside the conducting tubes. The polarity reverses while particles are inside, so the next gap accelerates them again. At constant alternating frequency, increasing speed requires longer tubes to maintain the time between successive gaps. Across $n$ equal accelerating gaps, total kinetic-energy gain is $n|q|V_{\text{gap}}$.

A cyclotron 回旋加速器 uses a magnetic field perpendicular to two hollow dees. Electric field accelerates particles across the gap. Inside a dee, magnetic force curves the path without increasing speed. Polarity reverses during each half-turn, allowing another energy gain at the next crossing. With perpendicular entry:

In the non-relativistic model, the period is independent of speed. Increasing speed increases radius. Time in one dee is $T/2$, not $T$. The formula assumes constant field and fixed mass in this model; synchronisation fails as relativistic effects become important.

Worked example. A proton moves perpendicular to $B=0.40\ \text{T}$ with momentum $2.0\times10^{-20}\ \text{kg m s}^{-1}$. Use proton mass $1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$.

When starting instead from a de Broglie wavelength, use $p=h/\lambda$, then $E_k=p^2/(2m)$ and $V=E_k/|q|$. Check that the non-relativistic assumption remains suitable.

Read detector evidence carefully

Charged particles ionise matter along their paths, leaving detectable tracks. A neutral particle does not make a direct ionisation track in this model. Its presence can be inferred from missing momentum or from charged products it later produces.

In a known perpendicular magnetic field, curvature direction together with travel direction can identify charge sign. Without field direction, curvature alone cannot give sign. Radius gives momentum through $p=B|q|r$; comparing radii requires knowledge of charge magnitude. A tightening track often shows momentum being lost. Do not infer travel direction from a constant-radius arc alone.

Conserve charge, total energy and vector momentum at an interaction. If visible outgoing momenta do not add to the incoming momentum, a neutral product may carry the missing component. Draw a vector balance rather than guessing from the number of tracks.

High energies probe nucleon structure in two ways. Large momentum gives a short de Broglie wavelength, allowing small structure to be resolved. High collision energy also allows new massive particles to be created. Quarks are not observed as isolated free particles; do not describe a high-energy collision simply as removing a free quark.

Fast muons can reach the ground because their average lifetime measured in the Earth's frame is increased at speeds close to $c$. This does not mean they exceed light speed. Unit 4 requires the significance of this lifetime increase, not use of relativistic equations.

Particles, antiparticles and conservation

Families and antiparticles

In the quark–lepton model 夸克—轻子模型, baryons and mesons contain quarks. Leptons are fundamental particles in the model.

• A baryon 重子 contains three quarks, for example a proton $uud$ or neutron $udd$. An antibaryon contains three antiquarks.
• A meson 介子 contains one quark and one antiquark, for example a pion.
• A lepton 轻子 is fundamental, for example an electron or neutrino. A positron is an antilepton, not a meson.
• A photon is the quantum of electromagnetic radiation; it is neither a baryon nor a lepton.

Up-type quarks have charge $+2e/3$ and down-type quarks $-e/3$. Antiquarks have opposite charges. For example, $uud$ sums to $+e$ and $udd$ to zero. The symmetry of the quark families predicted a top quark before it was observed. Classification models make testable predictions, not just lists of known particles.

An antiparticle 反粒子 has the same rest mass as its particle and opposite electric charge when charged. Other relevant additive quantum numbers also reverse. An electron has lepton number $+1$; its positron has $-1$. Both have baryon number zero. A neutral antiparticle can differ in quantum numbers despite having no electric charge.

Check conserved totals

Assign baryon number $+1$ to a baryon, $-1$ to an antibaryon, and zero to mesons/leptons/photons. Quarks carry $+1/3$ and antiquarks $-1/3$. Assign lepton number $+1$ to a lepton and $-1$ to an antilepton. Compare total charge, baryon number and lepton number on both sides of a proposed reaction. Also check energy and momentum. Passing the listed conservation checks alone does not prove that an interaction will occur; it establishes that those laws do not forbid it.

Worked example. Test $n\rightarrow p+e^-+\bar\nu_e$.

The antineutrino balances the electron's lepton number. Changing it to a neutrino would make the final total $+2$, so that proposed equation would fail this check. Preserve bars and charge signs when interpreting supplied particle symbols.

Rest energy, creation and annihilation

Mass–energy equivalence 质能等价 relates a rest-mass change to energy:

In pair production 粒子对产生, energy creates a particle–antiparticle pair. The energy must at least supply both rest masses; extra energy can become kinetic energy or recoil. Momentum must also be conserved, so the surrounding interaction matters. In annihilation 湮灭, particle and antiparticle can turn into photons. A pair initially at rest producing two photons gives equal photon energies and opposite momenta. Each photon carries one particle's rest energy for an equal-mass pair; the total is twice that value.

One electronvolt is $e$ joules: $1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}$. MeV means $10^6$ eV and GeV means $10^9$ eV. A quoted mass in $\text{MeV}/c^2$ is a mass unit, not an energy unit. Multiply by $c^2$ to get its corresponding rest energy.

Worked example. Convert a mass of $140\ \text{MeV}/c^2$ to kilograms.

Use the same units before comparing masses. Percentage difference from an accepted value is $100\times|m_{\text{predicted}}-m_{\text{accepted}}|/m_{\text{accepted}}$. State the reference value. In threshold questions, distinguish rest-energy supply from kinetic energy; do not use $p=mv$ for a photon or a particle close to $c$.

Check yourself

• Can you use signed impulse and two momentum components, then test kinetic energy separately?
• Can you derive centripetal acceleration and draw only actual forces?
• Can you distinguish field vectors, signed potential and energy changes?
• Can you choose the correct capacitor curve and use log slope or tolerance evidence?
• Can you explain induction as a change in linkage, including the opposing direction?
• Can you separate electric acceleration from magnetic steering and halve a cyclotron period correctly?
• Can you preserve particle symbols, conservation totals and energy/mass units?

The skill sheets develop these methods before authentic past-paper tasks. Original practice also covers requirements not sampled in the two recent papers. A short sample of authentic questions does not define the whole syllabus.

From an ice pack to a star

An ice pack, a swinging bridge and a distant star all involve energy. This unit links molecular motion, nuclear changes, oscillations and astronomical observations. The task is often to test a claim, not just calculate a number: state the model, carry units through the calculation, then compare your result with the claim.

WPH15 covers statements 125–171 of Pearson Issue 3. It also uses Units 1, 2 and 4. Work through sheets 5.1–5.9 before their matching authentic sets. Use the supplied constants consistently: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ and $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ unless the question gives a different local value. Here $k_B$ is the Boltzmann constant; $k_s$ denotes a spring constant.

Heating, phase change and thermistor calibration

Follow the energy, not only the temperature

Internal energy 内能 is the total energy in the random motion and interactions of molecules: random kinetic energy plus intermolecular potential energy. It excludes the kinetic energy of the whole object moving together. Temperature relates to average random molecular kinetic energy, not total internal energy. Two samples at the same temperature can have different internal energies because their amounts and states differ.

Specific heat capacity 比热容 $c$ is the energy needed per kilogram for a one-kelvin temperature rise without a change of state. Specific latent heat 比潜热 $L$ is the energy transferred per kilogram during a particular change of state at constant temperature.

A temperature difference of $1\ ^\circ\mathrm C$ equals a difference of $1\ \mathrm K$. Absolute temperatures in gas and radiation laws must be kelvin. During melting or boiling, energy changes molecular arrangements and potential energy while temperature remains constant in the ideal constant-pressure phase change. An ice pack absorbs energy from the food/surroundings as it melts. It does not send “cold energy” into the food.

At constant heating power, steeper temperature–time gradients mean smaller $mc$, provided heat loss is negligible. A flat section does not mean that energy transfer has stopped. For a heater, input energy is $E_{\rm in}=Pt=VIt$; useful thermal energy can be smaller because energy escapes to surroundings.

Worked example. A $0.40\ \mathrm{kg}$ block of ice at $-10\ ^\circ\mathrm C$ melts to water at $0\ ^\circ\mathrm C$. Use $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ and $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

Known: mass, initial/final temperatures and material constants. Why: warming the solid and melting it are separate energy transfers.

Worked example. A $1000\ \mathrm W$ heater boils away $0.20\ \mathrm{kg}$ of water in $600\ \mathrm s$. Find efficiency, using $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

For repeated kettle loads, calculate total water volume, number of loads and total operating time. Compare energies over the same stated interval. Standby loss over a day and input needed to boil water are different quantities; state what a particular comparison actually establishes.

CP12: calibrate a thermostat

A thermistor 热敏电阻 has resistance that changes with temperature. The usual negative-temperature-coefficient (NTC) thermistor decreases in resistance when heated. In a potential divider 分压器:

With the thermistor as the lower resistor and output measured across it, warming reduces output voltage. Swapping resistor positions reverses that trend. A thermostat switches at a chosen output threshold; the divider alone is not a complete switching device.

For core practical 12, place the thermistor and a reference thermometer close together in a stirred water bath. Keep electrical contacts dry and insulated. At several temperatures across the intended range, wait for thermal equilibrium and record temperature and divider voltage. Keep supply voltage and fixed resistance unchanged. Use a high-input-resistance voltmeter to reduce loading. Plot output against temperature and interpolate the voltage for the chosen switching temperature. Repeat readings or compare warming/cooling to reveal lag. Do not assume a linear calibration without evidence. Use low-voltage electricity and take care with hot water.

CP13: measure latent heat

Supply measured electrical power to a material during its phase change. Measure mass melted or evaporated over a timed interval after conditions stabilise. A balance measures mass change; do not confuse collected liquid volume with mass. Without loss correction, $L=VIt/\Delta m$ assumes all supplied energy causes the phase change.

A useful correction is to compare two powers at the same steady phase-change temperature. If heat-loss power is approximately unchanged, subtracting the two measurements removes it:

State that constant-loss assumption. A control measurement of melting without the heater is another possible correction in a suitable ice experiment. Reduce heat loss with insulation where safe; avoid splashing, hot surfaces and unsafe mains connections.

Ideal gases and molecular kinetic energy

Kelvin and the ideal-gas model

Absolute zero 绝对零度 is $0\ \mathrm K$, about $-273\ ^\circ\mathrm C$. It is the lower limit of thermodynamic temperature. In the classical ideal-gas model, average translational kinetic energy tends to zero as temperature tends to zero. Real gases condense before that extrapolation is reached; do not claim molecules in every real material lose all possible energy.

Absolute temperature 绝对温度 is measured in kelvin: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ to the precision normally used here. An ideal gas 理想气体 consists of particles with negligible volume, no intermolecular forces except during elastic collisions, and random motion. Pressure comes from momentum changes at walls.

Here $N$ is the number of molecules, not the number of moles. Use pressure in pascals, volume in cubic metres and temperature in kelvin. For a fixed number of molecules:

At fixed volume, pressure is proportional to kelvin temperature. At fixed temperature, $pV$ is constant. Include external pressure if a gauge reports pressure relative to the atmosphere.

Worked example. A rigid $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ vessel contains gas at $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ and $300\ \mathrm K$. Find $N$ and pressure after warming to $360\ \mathrm K$.

If one molecule has mass $m_0$, total gas mass is $Nm_0$. For a sphere, first find $V=4\pi r^3/3$; radius is half the diameter.

Derive the molecular energy relation

The kinetic-theory pressure relation is $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, where $\langle c^2\rangle$ is mean square speed 速率平方的平均值. It follows from elastic momentum changes at a wall and equal mean squared motion in the three perpendicular directions. The root mean square speed 方均根速率 is $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$; it is not the square of mean speed.

For a cube of side $l$, one molecule with velocity component $c_x$ changes wall momentum by $2m_0c_x$ at each elastic collision. Its return time to that same wall is $2l/c_x$. Hence its average force is $m_0c_x^2/l$. Sum over molecules and divide by wall area $l^2$:

Random motion is equally distributed among perpendicular directions, so $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. This gives the pressure relation above. Equate the two expressions for $pV$, cancel $N$, then rearrange:

At one temperature, different gas species have equal mean translational kinetic energies, but lighter molecules have greater RMS speeds. If speed doubles at the same temperature, molecular mass is one quarter. Heating increases average molecular kinetic energy; it does not give every molecule the same speed.

CP14: pressure and volume at fixed temperature

Trap a fixed amount of gas in a syringe or calibrated cylinder connected to a pressure sensor. Check calibration and use absolute pressure. Include connecting-tube dead volume where significant. Change volume gradually, wait after each change for temperature to return to the surroundings, then record several pressure–volume pairs. Do not let gas escape. A plot of $p$ against $1/V$ should be straight through the origin within uncertainty. A $p$–$V$ curve is not straight. Avoid excessive pressure and secure connections. Rapid compression heats the gas and breaks the intended constant-temperature condition.

Binding energy, fission and fusion

Mass deficit is an energy difference

A nucleus contains $Z$ protons and $A-Z$ neutrons. Its mass is smaller than the total mass of these free nucleons. This mass deficit 质量亏损 corresponds to the binding energy 结合能 needed to separate the nucleus completely into free nucleons:

Here $c_0$ is the speed of light, distinguished from specific heat capacity. The unified atomic mass unit 统一原子质量单位 is $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. Convert all masses to the same unit before subtracting. Nuclear masses and neutral-atom masses are not interchangeable without accounting consistently for electrons. Use the masses the question actually supplies.

Worked example. A nucleus has mass deficit $0.030\ \mathrm u$ and $A=4$. Find binding energy per nucleon.

Why fusion and fission can both release energy

The binding-energy-per-nucleon curve rises steeply for light nuclei, peaks near iron/nickel, then decreases gradually for heavy nuclei. Greater binding energy per nucleon generally means nucleons are more tightly bound. It is the vertical value, not just mass number, that matters when comparing points.

Nuclear fusion 核聚变 combines light nuclei. Nuclear fission 核裂变 splits a heavy nucleus into smaller products, often with neutrons. Energy is released when the products have greater total binding energy and smaller total rest mass than the reactants. For a reaction, calculate the total mass difference, not merely a difference of two per-nucleon values. Total energy is conserved.

Fusion needs very high temperature to give nuclei enough kinetic energy to approach despite electrostatic repulsion, and high density/confinement to make enough close encounters and sustain energy release. Temperature and density have different roles. Merely naming “high pressure” does not explain overcoming repulsion.

Radiation, background and decay

Choose radiation by its interaction

Alpha radiation 阿尔法辐射 consists of helium nuclei: strongly ionising, short range and stopped by paper or a few centimetres of air. Beta radiation 贝塔辐射 consists of electrons or positrons: less ionising, more penetrating, typically stopped by a few millimetres of aluminium. Gamma radiation 伽马辐射 is electromagnetic radiation: weakly ionising and highly penetrating; lead or concrete reduces its intensity but does not provide a sharp stopping thickness.

In a cloud chamber, alpha tracks are thick mainly because of strong ionisation, and relatively straight because the particles have large mass compared with beta particles. Beta tracks are thinner and more easily deflected. Do not swap these explanations. Beta radiation can monitor paper thickness because some passes through and some is absorbed; a change in thickness changes the transmitted count rate.

In nuclear equations 核反应方程, conserve nucleon number and charge number. Beta-minus decay converts a neutron to a proton; the mass number stays the same and atomic number increases by one. Include the antineutrino where required, as in Unit 4:

Alpha decay reduces $A$ by four and $Z$ by two. Gamma emission changes neither $A$ nor $Z$. Nuclear equations conserve more than these two numbers: energy and momentum still matter.

Correct background before applying a model

Background radiation 本底辐射 comes from sources such as rocks, cosmic rays and the environment. Measure it for a sufficiently long time with the test source absent. Subtract its count rate from every source-plus-background reading. Keep counting-time units consistent. Corrected detector count rate is proportional to source activity only when geometry and detection efficiency remain unchanged; it is not automatically the activity in becquerels.

Worked example. A detector reads $62\ \mathrm{min^{-1}}$ at distance $r$, including background $14\ \mathrm{min^{-1}}$. Predict total rate at $2r$ for a small isotropic gamma source with negligible absorption.

Do not divide the background by four: it is not all coming from the test source.

Random events, predictable populations

Radioactive decay 放射性衰变 is spontaneous: an unstable nucleus decays without an external trigger. It is random: the exact time for an individual nucleus cannot be predicted. A large population has a predictable statistical decay pattern. Activity 放射性活度 $A$ is the number of decays per second, measured in becquerels 贝可勒尔, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.

The decay constant 衰变常数 $\lambda$ is the probability per unit time of decay for a nucleus. The half-life 半衰期 $t_{1/2}$ is the time for the undecayed population, or activity, to halve on average.

At one half-life, $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. Taking logs gives:

A log-activity–time line has gradient $-\lambda$. Take logarithms of corrected rates, not source-plus-background readings. Read several half-life intervals from a graph and average; measure from the corrected activity level, not from zero total counts.

Worked example. A source has half-life $3.0\ \mathrm{years}$. When will activity fall to $2.0\%$ of its initial value?

Use a fraction, not $2.0$ inside the logarithm. If calculating power from a radioactive source, $P=A E_{\rm decay}$, with energy per decay in joules. This is released nuclear power; useful electrical output may be smaller. Convert the half-life to seconds when activity must be in becquerels.

CP15: absorption of gamma radiation by lead

Keep source, absorber and detector in fixed positions. Measure background, then counts over equal known intervals for several total lead thicknesses. Repeat or extend the counting time because counts fluctuate. Subtract background rate before comparing transmission. If each equal thickness gives the same fractional reduction, the attenuation is exponential; a graph of log corrected rate against thickness is approximately straight. Three half-value thicknesses transmit $1/8$, not $1/3$.

The material-absorption constant is not the time-decay constant of the source. Avoid readings too close to background, where subtraction gives large relative uncertainty. Handle sources with the specified tools under supervision, keep distance, minimise exposure time and return them to shielding. Never touch a source or direct it at people. Keep lead handling clean and wash hands.

Simple harmonic motion, graphs and energy

The restoring condition

Simple harmonic motion 简谐运动 (SHM) occurs when resultant acceleration is proportional to displacement from a fixed equilibrium position and directed towards it:

The negative sign is the restoring direction. Constant speed, repetition alone or a force merely pointing towards a centre does not establish SHM. For a vertically hanging spring, measure $x$ from the loaded equilibrium position. Weight is already balanced there; the resultant for displacement is $-k_sx$.

For release from positive maximum displacement at $t=0$:

Here $A_0$ is amplitude, not radioactive activity. The phase depends on the chosen starting time; a sine displacement can describe the same motion with another origin. Differentiate graphically: the displacement–time gradient is velocity, and velocity–time gradient is acceleration. At maximum displacement, speed is zero and acceleration points back towards equilibrium. At equilibrium, speed is greatest and acceleration is zero.

Worked example. A graph gives amplitude $0.030\ \mathrm m$ and period $0.50\ \mathrm s$. Find maximum speed and acceleration.

Alternatively find maximum speed from a tangent to the displacement graph at equilibrium. Convert centimetres to metres. A negative straight $a$–$x$ gradient is $-\omega^2$, so take its negative before the square root.

Periods and energy

For a mass on an ideal spring and for a simple pendulum at small angles:

Pendulum length is pivot to bob centre. The small-angle period does not depend on bob mass. A period ratio for one unchanged spring gives $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. Use total new mass before finding added mass.

Worked example. A $0.50\ \mathrm{kg}$ mass has period $0.80\ \mathrm s$. An extra mass increases the period to $1.00\ \mathrm s$ on the same spring.

For an undamped spring oscillator, energy transfers between elastic potential and kinetic stores:

Thus the $E_k$–$x$ graph is an inverted parabola: zero at $\pm A_0$, positive maximum at $x=0$. The $E_p$–$x$ graph opens upwards. Their sum is constant in the undamped model. In a damped system energy is transferred out, so amplitude decreases. Total energy including surroundings remains conserved.

CP16: infer an unknown mass from resonance

Keep the same spring/support system. Attach several known masses, drive with small oscillations and vary frequency to find the largest steady amplitude for each mass. Record the resonant frequency, repeating slowly around each peak. With light damping it approximates natural frequency. Plot $1/f^2$ against total known mass; the spring model gives gradient $4\pi^2/k_s$. Use the calibration to infer an unknown mass from its resonant frequency.

Account for a hanger and, where significant, the effective moving mass of the spring. A nonzero intercept may represent this contribution; do not force the line through the origin without justification. Keep amplitudes small and below the elastic limit. Secure masses and stand, and keep feet clear. Measuring free periods can provide a useful independent comparison, but the specified practical uses resonant frequencies.

Forced oscillations, resonance and damping

A free oscillation 自由振动 follows an initial disturbance without continued periodic driving. A forced oscillation 受迫振动 is maintained by a periodic driving force; its steady frequency is the driving frequency. Natural frequency 固有频率 is the frequency of free oscillation for the system under the stated conditions.

Resonance 共振 occurs when driving frequency is at or near natural frequency, giving efficient energy transfer and a large steady amplitude. It does not mean “maximum frequency”. For a lightly damped system, the amplitude peak is near the undamped natural frequency. Greater damping lowers and broadens the peak; do not present every damped peak as exactly at the undamped natural frequency.

Damping 阻尼 transfers energy away from oscillation, for example through resistive work that increases the thermal energy of dampers and surroundings. Stronger damping can reduce dangerous bridge/building motion. Plastic deformation 塑性形变 of a ductile material also absorbs mechanical energy irreversibly; purely elastic deformation returns stored energy and is not the same mechanism.

Worked explanation. People walking supply a periodic driving force to a bridge. If its frequency is near a natural frequency, energy transfers efficiently into the bridge and amplitude increases. Dampers do work against motion, transferring oscillation energy to thermal stores, so the steady amplitude is limited. Link cause and effect in this order rather than listing “resonance, energy, damping”.

For the same shape and amplitude, adding mass to a light pendulum increases its stored mechanical energy while the small-angle ideal period remains unchanged. Under comparable resistive losses it can lose a smaller fraction of energy per cycle. That contextual damping comparison does not prove that every heavier oscillator always damps more slowly.

Gravitational fields and orbits

Field and potential have different meanings

A gravitational field 引力场 is a region where a mass experiences a force. Gravitational field strength 重力场强度 $g=F/m$ is force per unit test mass. It is a vector pointing towards an isolated source mass. Newton's law for point masses, or outside a spherical symmetric source, is:

$r$ is centre-to-centre distance, not height above the surface. For near-Earth local motion, constant $g$ can be suitable. Over large radial distances it is not constant.

Gravitational potential 引力势 is potential energy per unit mass, with zero at infinity:

Potential is a scalar and negative at finite distance. Moving outward makes it less negative, so potential energy increases while attractive force weakens. A potential graph value and its corresponding radius give $M=-Vr/G$.

Gravity and electric fields are both radial for isolated point sources and their force magnitudes obey inverse-square laws. Gravity acts on mass and is attractive in this model. Electric force acts on charge and can attract or repel. Electric field direction follows the force on positive test charge; a negative charge is forced oppositely.

Worked example. A $1000\ \mathrm{kg}$ satellite moves from radius $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ to $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ around Earth, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. Find its potential-energy change.

The positive sign is final minus initial. This is not the total launch energy, since kinetic energy may also change. $mg\Delta h$ with constant surface $g$ is unsuitable over this distance.

Derive a circular orbit

The gravitational force supplies the inward resultant:

Orbiting mass cancels. The period grows with radius. To appear stationary above one point on a rotating planet, a satellite needs a circular equatorial orbit, the same rotational direction and matching angular velocity/period. Matching period alone is insufficient.

Worked example. For $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ and period $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$, find stationary-orbit radius.

Subtract planet radius only if asked for height above the surface. For a star's surface field, use its radius, not its listed diameter; test a multiple-of-Earth-field claim by calculating the ratio.

Stellar radiation, distances and evolution

Temperature, luminosity and received intensity

A black body 黑体 absorbs all incident electromagnetic radiation and is an ideal thermal emitter. Its continuous spectrum has a characteristic shape. Increasing temperature increases total emitted power per unit area and moves the wavelength peak to shorter wavelength. The area under a spectral-intensity curve represents total intensity only with the appropriate spectral-axis definition.

Luminosity 光度 $L_\star$ is total power emitted. Intensity 强度 $I$ received at distance $d$ is power per unit receiving area. For a spherical black-body star of radius $R$ radiating equally in all directions:

The first area is the emitting surface; the second is the expanding receiving sphere. Do not substitute observer distance into the star's surface area. Real emitters may not be perfect black bodies, and intervening material can absorb radiation.

Wien's stated constant describes a spectrum per unit wavelength. A maximum of a spectrum plotted per unit frequency does not transform into that wavelength maximum simply by replacing $\lambda$ with $c_0/f$. If an exam gives the frequency corresponding to its specified wavelength peak, convert that given wavelength using $c_0=f\lambda$. Do not turn that particular task convention into a general rule for every spectral plot.

Worked example. A star's wavelength spectrum peaks at $580\ \mathrm{nm}$ and its radius is $7.0\times10^8\ \mathrm m$. Find temperature, luminosity and intensity at $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.

Keep unrounded temperature because it is raised to the fourth power. Compare the received intensity with the stated reference before accepting a planetary-temperature or power claim.

Two distance methods

Trigonometric parallax 三角视差 measures a nearby star's apparent angular shift against distant background stars as Earth moves around the Sun. Observations six months apart use a baseline of two Earth-orbit radii. The parallax angle $p$ is half the total shift. For small $p$ in radians, distance is $d\approx r_{\rm orbit}/p$. A parsec 秒差距 is the distance giving parallax $1$ arcsecond; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. Do not use the diameter of Earth or Sun as the orbital baseline.

At large distance, $p$ becomes too small for the instrument to measure accurately. The limitation is angular resolution/relative uncertainty, not necessarily that the star is invisible.

A standard candle 标准烛光 is an object of known luminosity. Identify one in a cluster, measure received intensity and use $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. Its apparent brightness is not assumed known beforehand. Cepheid variable stars have a calibrated relationship between period and luminosity. Measure several complete light-curve periods, divide by their number, read the calibration carefully and convert any solar-luminosity units. A straight line on log axes is not automatically a linear relationship between the raw quantities.

Worked example. A standard candle has $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ and received intensity $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.

Read the Hertzsprung–Russell diagram

A Hertzsprung–Russell diagram 赫罗图 plots luminosity vertically against surface temperature horizontally, usually with temperature decreasing to the right and logarithmic scales. The main sequence 主序星带 runs from hot, bright stars at upper left to cool, faint stars at lower right. Red giants 红巨星 are cool but luminous because of their large surface areas. White dwarfs 白矮星 are hot but faint because of their small surface areas. Mark the Sun near one solar luminosity and about $5800\ \mathrm K$ on the main sequence.

Stars form when gravity contracts a cloud of gas and dust. The core heats until hydrogen fusion can sustain a main-sequence star; outward pressure balances gravity. In a Sun-like star, core hydrogen eventually runs low, fusion there decreases and gravity contracts the core. Core temperature rises; shell hydrogen burning and later helium fusion are associated with expansion to a red giant. Outer layers are lost, leaving a white-dwarf core with no sustained fusion. It cools over a very long time. The Sun does not become a supernova or a neutron star.

A much more massive star can fuse heavier elements through later stages. When its core can no longer gain energy from fusion, collapse and a supernova can leave a neutron star or black hole, depending on the remnant. A massive main-sequence star has more fuel but consumes it much faster because of its hotter core. Its main-sequence lifetime can therefore be shorter. Explain fusion rate, not just fuel amount. An HR track shows changing temperature/luminosity, not a star travelling across space.

Doppler shifts and cosmology

Compare the same spectral line

The Doppler effect 多普勒效应 is a change in observed frequency/wavelength caused by relative motion along the line of sight. Successive wavefronts arrive farther apart from a receding source and closer together from an approaching source. Recession gives longer wavelengths and lower frequencies; approach gives shorter wavelengths and higher frequencies. Motion purely perpendicular to the line of sight is not the recession speed in the simple model.

For electromagnetic radiation at low recession speeds:

Redshift 红移 $z$ is positive for recession. For small shifts, its magnitude also approximately equals the fractional decrease of observed frequency relative to emitted frequency. State the sign convention: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ is negative for recession. Do not equate a positive redshift to a signed frequency increase. The approximation $v/c_0$ is not a general high-speed relativistic formula.

Worked example. A line emitted at $500\ \mathrm{nm}$ is observed at $505\ \mathrm{nm}$.

To use a star's absorption lines, recall Unit 2: photons are absorbed only when their energies match allowed atomic-level differences. Compare the same identified spectral line, not two different elements.

For opposite limbs of a rotating star, one approaches while the other recedes. If their shifts are equal and opposite, the separation of the two observed wavelengths is twice the shift of either limb. Halve that separation before finding the equatorial speed. Then use $T=2\pi R/v$. This assumes the observed line-of-sight limb speed represents the equatorial rotation speed under the stated viewing geometry.

Hubble law and its limits

On large cosmological scales, recession speed approximately follows Hubble's law 哈勃定律:

The Hubble constant 哈勃常数 $H_0$ has units of inverse time. In $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$, convert kilometres to metres and megaparsecs to metres before taking its reciprocal in seconds. Nearby objects may have local motions that do not follow the large-scale relationship.

Worked example. Use $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ and $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ to estimate an expansion timescale.

The reciprocal is the Hubble time 哈勃时间. Interpreting it as an age assumes a model for the past expansion rate; it is not an exact model-independent age. A larger $H_0$ gives a smaller reciprocal timescale. Evidence for expansion supports an earlier denser, hotter universe; it does not describe an explosion into an already empty centre-surrounding space.

Dark matter 暗物质 is inferred from gravitational effects that visible matter alone does not explain, such as galaxy rotation and motion. It need not emit detectable light. The amount of gravitating matter affects how expansion changes, so uncertainty in matter content and the expansion model affects predictions of the universe's fate. Do not infer that one measurement of $H_0$ alone proves perpetual expansion or future collapse. Modern models also consider dark energy; outcome 171 specifically requires understanding the controversy concerning $H_0$, dark matter, age and fate, rather than memorising one unqualified prediction.

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Answers: (1) molecular potential energy changes; (2) kelvin; (3) more; (4) background does not follow the source's decay/distance law; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) restoring resultant is zero there but energy is mostly kinetic; (7) greater energy loss limits steady amplitude; (8) increases towards zero; (9) white dwarf, small emitting surface; (10) one limb is blueshifted while the other is redshifted.