Escopo e pré-requisitos
Quadro ACT, revisão de fevereiro 2026. Os casos aqui não são um modelo oficial do ACT.
- Adicione e escale vetores componente a componente
- Multiplique uma matriz e um vetor com dimensões compatíveis
- Interprete entradas e unidades em um modelo quantitativo
Pré-requisitos: Pares ordenados; Pitágoras; multiplicação e adição.
Explicar e escolher o método
Um vetor bidimensional registra um deslocamento ordenado ou outra quantidade pareada. Some componentes correspondentes e multiplique ambos por um escalar. O vetor de A até B é B-A, não A-B. Sua magnitude é √(u²+v²) em um plano cartesiano euclidiano; direção e magnitude são informações distintas.
Uma matriz organiza entradas em linhas e colunas. Some apenas matrizes da mesma forma, entrada por entrada. Para multiplicação, o número de colunas no primeiro fator deve ser igual ao número de linhas no segundo. Uma matriz 2-por-3 vezes um vetor 3-por-1 produz um resultado 2-por-1: cada saída é um produto interno de uma linha com o vetor.
A ordem importa: a multiplicação matricial geralmente não é comutativa. Se A vezes B estiver definido, B vezes A pode estar indefinido ou produzir um resultado diferente. Para uma linha contendo quantidades de itens e uma coluna contendo preços unitários na mesma ordem de itens, o produto interno dá o custo total. Uma ordem de itens incompatível produz uma resposta numericamente limpa, mas sem sentido.
Rotule cada componente e unidade antes de calcular. Um vetor de deslocamento usa unidades de distância, enquanto uma entrada de matriz pode ser uma contagem, custo ou taxa. Após a multiplicação, interprete as unidades da saída. Problemas do ACT podem fornecer a definição da operação; siga essa definição em vez de assumir que um símbolo desconhecido sempre significa multiplicação ordinária.
Uma matriz utiliza linhas e colunas rotuladas. Uma linha de quantidade $(2,3)$ e uma coluna de preço $(4,5)^T$ dão custo $2(4)+3(5)=23$. As dimensões internas devem coincidir antes que um produto matricial exista. Um vetor de deslocamento de $A$ para $B$ é $B-A$.
Exemplo resolvido. Deslocamentos (3,4) e (-1,2) somam (2,6); o primeiro tem magnitude 5. Duas linhas de compras (2,1) e (1,3), com preços (4,5), resultam em custos $2\times4+1\times5=13$ e $1\times4+3\times5=19$. A matriz [[2,1],[1,3]] vezes a coluna [4,5] é a coluna [13,19]. As entradas representam contagens vezes preço por item.
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
Os pontos A e B em metros são $(1,-2)$ e $(7,6)$. Encontre o deslocamento de A até B e sua magnitude. Em seguida, encontre o ponto final após adicionar o deslocamento $(-3,2)$ metros a B.
Raciocínio. $\overrightarrow{AB}=B-A=(6,8)\,\mathrm{m}$. Magnitude $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{m}$. Novo ponto final $B+(-3,2)=(4,8)$ metros. A direção não deve ser invertida.
Prática 2
Dois pedidos da loja têm linhas de quantidade $(3,2)$ e $(1,4)$ para canetas e cadernos. Os preços são, respectivamente, 2 e 7 yuan. Dê o produto das matrizes e os custos totais de cada pedido.
Raciocínio. $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$, $p=\begin{pmatrix}2\\7\end{pmatrix}$ yuan por item. $Qp=\begin{pmatrix}3(2)+2(7)\\1(2)+4(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\30\end{pmatrix}$ yuan. A ordem dos itens deve corresponder à ordem dos preços.
Prática 3
A é uma matriz 2 por 3 e B é uma matriz 3 por 4. Indique as dimensões de AB e se BA está definida.
Raciocínio. AB possui dimensão interna correspondente 3 e dimensões externas 2 por 4. BA exigiria 4=2, portanto é indefinido. Inverter um produto não é inofensivo.
Limites e próximo uso
Mantenha a forma das linhas/colunas e a ordem dos itens explícita. A magnitude de um vetor não é a soma de seus componentes.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.