Escopo e pré-requisitos
Estrutura ACT, revisão de fevereiro 2026. Casos de sala originais não são um formato oficial; preserve os limites de pontuação/teste de campo de cada fonte.
- Escolha formas expandidas, fatoradas ou vértice equivalentes para uma tarefa
- Resolva equações lineares e polinomiais usando a estrutura
- Determine regiões de desigualdades quadráticas pelos sinais, não apenas pelas raízes
Pré-requisitos: Agrupe termos semelhantes; substitua pares ordenados; aritmética com sinal.
Explicar e escolher o método
Traduza relações em expressões antes de manipulá-las. Uma taxa fixa mais uma taxa por unidade é um modelo linear afim, enquanto um produto de dimensões pode gerar uma quadrática. Uma forma equivalente deve preservar a expressão original em seu domínio. Fatore termos comuns e reconheça identidades antes de expandir todos os produtos.
Uma equação linear pode ter uma solução, nenhuma ou infinitas soluções após simplificar; verifique coeficientes nulos antes de dividir. Multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo inverte sua direção. Um produto polinomial é zero quando pelo menos um fator é zero. Mantenha todos os fatores, incluindo um x extraído, para não perder uma raiz.
A forma fatorada de uma quadrática expõe as raízes e sua forma vértice expõe um extremo. Para uma desigualdade, ordene as raízes reais e teste o sinal em cada intervalo. Inclua os limites apenas para ≤ ou ≥. Uma parábola voltada para cima é negativa entre duas raízes reais distintas e positiva fora delas.
Use substituição na relação original para verificar valores candidatos. Uma questão sobre coeficientes expandidos pode exigir combinar várias contribuições para a mesma potência. Um polinômio de grau três não precisa de uma fórmula cúbica geral: um fator comum ou raiz conhecida pode reduzi-lo a fatores mais simples. Escolha o método baseado na estrutura.
Uma identidade é válida para toda entrada permitida. Comece com $ax+b=cx+d$. Agrupe termos: $(a-c)x=d-b$. Analise $a-c$ antes de dividir. Se $a=c$ e $b=d$, todas as entradas reais funcionam. Se apenas $a=c$, nenhuma entrada funciona. Caso contrário, $x=(d-b)/(a-c)$ fornece uma solução.
Exemplo resolvido existente: x²-5x+6=(x-2)(x-3), então x²-5x+6<0 resulta em 2<x<3. x³-4x=x(x-2)(x+2), resultando em raízes -2,0,2. A expressão ⟨2⟩(x-3)²+5 tem mínimo 5 em x=3. Em (2x+1)(x-4), o coeficiente de x é -8+1=-7.
Contexto original completo
Toda questão de transferência declara todos os dados de que precisa.
Prática independente e raciocínio verificado
Transferência 1
Resolva $x^3-9x=0$ e $(x+2)(x-5)\ge0$. Explique por que dividir o cúbico por $x$ no início perde uma solução.
Raciocínio: Fatore $x(x-3)(x+3)=0$, resultando em $-3,0,3$. Dividir por $x$ indevidamente remove a raiz zero permitida. Para a desigualdade, as raízes são $-2,5$; o produto é não-negativo fora das raízes, incluindo os pontos finais, logo $x\le-2$ ou $x\ge5$.
Transferência 2
Escreva $2x^2-12x+23$ na forma vértice e declare seu mínimo. Encontre o coeficiente de $x$ em $(2x-3)(x+4)$.
Raciocínio: Completar o quadrado resulta em $2(x-3)^2+5$, com mínimo 5 em $x=3$. A expansão do produto é $2x^2+5x-12$, logo o coeficiente é 5.
Transferir 3
Uma impressora cobra 25 yuan para configurar um trabalho e 0.40 yuan por página. Escreva a taxa total para $n$ páginas e resolva a desigualdade orçamentária de 65 yuan para páginas inteiras. Compare isso com a expressão de área para um retângulo com lados $x$ e $x+3$ metros.
Raciocínio: $C=f+pn=25\,\mathrm{yuan}+(0.40\,\mathrm{yuan/page})(n\,\mathrm{pages})$. Orçamento $25+0.40n\le65$ resulta em $0\le n\le100$, com inteiro $n$. A taxa é afim linear em $n$. O retângulo tem $A=x(x+3)=x^2+3x$ metros quadrados para comprimentos numéricos em metros e $x>0$; a multiplicação de dois comprimentos variáveis cria uma quadrática, ao invés de uma taxa fixa mais uma taxa unitária.
Limites e próximo uso
Não omita um fator extraído, inclua uma fronteira de desigualdade estrita ou relate a coordenada x do vértice quando a questão pedir o valor mínimo.
Todas as tarefas aqui são prática original pública com orientação elaborada. Não são questões oficiais ou diagnósticos frescos. Testes e simulados existentes protegidos permanecem separados.