Escopo e pré-requisitos
Estrutura ACT, revisão de fevereiro 2026. Casos de sala originais não são um formato oficial; preserve os limites de pontuação/teste de campo de cada fonte.
- Distingua números racionais e irracionais sem assumir que suas somas preservam o tipo
- Aplique regras de expoente e raiz no domínio permitido
- Calcule com números complexos usando i²=-1 e conjugados
Pré-requisitos: Lei distributiva; raízes principais; $i^2=-1$.
Explicar e escolher o método
Um número racional é uma razão de inteiros com denominador não nulo; uma decimal terminante ou periódica é racional. Um número real irracional não é tal razão. O fechamento dos números racionais sob adição e multiplicação não implica o fechamento dos irracionais. Raízes exatas podem simplificar: √18=3√2 permanece irracional, enquanto √16=4 é racional.
Para base positiva, a^(m/n) combina uma raiz n-ésima e uma potência inteira. Um expoente negativo forma um recíproco e exige base não nula. Distinga √(x²)=|x| de x. Quando uma raiz par está envolvida, respeite o domínio real e a raiz principal não negativa. Distribua potências sobre produtos, não sobre somas: (a+b)² inclui o termo cruzado.
Aritmética complexa usa i²=-1. Some partes reais e imaginárias separadamente, e multiplique por distribuição antes de reduzir i². Para dividir por a+bi, multiplique numerador e denominador por a-bi; o denominador resultante é a²+b² quando o original é não nulo. Raízes complexas permitem soluções para equações como x²=-9 que não têm raízes reais.
O ACT aprimorado ainda inclui tópicos avançados selecionados, e nenhuma folha de fórmulas é fornecida. Construa familiaridade com as regras definidoras em vez de adivinhar a partir da tela de uma calculadora. Verifique se a pergunta pede soluções reais ou complexas, uma raiz exata ou uma aproximação decimal. As verificações locais aqui são formativas, não uma versão oficial pontuada.
Um conjugado complexo altera o sinal imaginário. $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ para real $a,b$. Assim $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$. O denominador é não nulo; distinga um valor exato de sua aproximação decimal.
Exemplo resolvido existente: 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. Para (1+i)/(1-i), multiplicando por 1+i resulta em (1+i)²/2=2i/2=i. As soluções de x²+9=0 são ±3i; nenhuma é real.
Contexto original completo
Toda questão de transferência declara todos os dados de que precisa.
Prática independente e raciocínio verificado
Transferência 1
Calcule $(3-2i)/(1+i)$ na forma $a+bi$.
Raciocínio: Multiplique ambas as partes por $1-i$. O numerador é $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$. O denominador é 2. A resposta é $1/2-(5/2)i$. Multiplicando novamente por $1+i$ retorna-se a $3-2i$.
Transferência 2
Avalie $32^{2/5}$ e $\sqrt{(-7)^2}$. Resolva $z^2+16=0$ sobre os números complexos.
Raciocínio: A quinta raiz de 32 é 2, logo $32^{2/5}=2^2=4$. A raiz quadrada principal é $|-7|=7$. Para a equação, $z^2=-16$ resulta em $z=4i,-4i$, ambos não reais.
Transferir 3
Dê um exemplo mostrando que o produto de dois números irracionais pode ser racional, e outro em que é irracional.
Raciocínio: $\sqrt2\sqrt2=2$ é racional. $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ é irracional. Nem o fechamento nem a falta de fechamento para todos os produtos decorrem apenas do rótulo 'irracional'.
Transferência 4
Classifique $\sqrt{50}$ e $\sqrt{50}\sqrt2$ como racionais ou irracionais. Avalie $32^{2/5}$ e $2^{-3}$. Use $\sqrt2$ e $-\sqrt2$ para testar se uma soma de números irracionais deve ser irracional.
Raciocínio: $\sqrt{50}=5\sqrt2$ é irracional, enquanto $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ é racional. $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ e $2^{-3}=1/2^3=1/8$. Os dois números irracionais somam zero, que é racional; números irracionais não são fechados sob adição. Esses produtos de raízes pares usam radicandos reais não negativos.
Limites e próximo uso
Não inferir que dois termos irracionais devem ter uma soma irracional, distribuir um quadrado sobre a adição ou substituir √(x²) por x quando x pode ser negativo.
Todas as tarefas aqui são prática original pública com orientação elaborada. Não são questões oficiais ou diagnósticos frescos. Testes e simulados existentes protegidos permanecem separados.