Escopo e pré-requisitos
Quadro ACT, revisão de fevereiro 2026. Os casos aqui não são um modelo oficial do ACT.
- Identificar e interpretar formas padrão de círculo, elipse, parábola e hipérbole
- Usar relações de ângulo, tangente e secante de círculos sob suas condições
- Calcular área, área superficial ou volume com a dimensão e unidades corretas
Pré-requisitos: Completar quadrados; semi-eixos ao quadrado; geometria circular; unidades de volume.
Explicar e escolher o método
Um círculo tem a forma (x-h)²+(y-k)²=r². Uma elipse usa dois termos positivos ao quadrado divididos pelos quadrados dos semi-eixos; uma hipérbole tem uma diferença desses termos. Uma parábola tem uma coordenada ao quadrado em sua forma alinhada padrão. Em y²=4px, o vértice é a origem e o foco é (p,0); leia o sinal e o eixo antes de interpretar a direção.
Para (x-1)²/9+(y+2)²/4=1, o centro é (1,-2), semi-eixo horizontal 3 e semi-eixo vertical 2. Complete o quadrado quando o centro estiver oculto em um círculo expandido. Os coeficientes e sinais de uma equação distinguem tipos de cônicas; um esboço aproximado não fornece informações algébricas faltantes.
Uma tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato. Um ângulo inscrito é metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Para duas secantes partindo do mesmo ponto exterior, o segmento externo vezes a secante inteira é igual para ambas; o quadrado do comprimento da tangente é igual a esse produto. O comprimento total inclui a parte externa, portanto não multiplique apenas a parte externa pela interna.
Separe medidas de fronteira de medidas de espaço. A circunferência do círculo é 2πr e a área é πr²; o volume do cilindro é πr²h; o volume do cone é πr²h/3; o volume da esfera é 4πr³/3. A área superficial soma as faces expostas. Se todos os comprimentos correspondentes escalarem por k, a área escala por k² e o volume por k³; alterar apenas uma dimensão exige a fórmula original.
Uma elipse $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ tem centro $(h,k)$. Semiaixes são as raízes quadradas dos denominadores positivos. Uma parábola $y^2=4px$ tem foco $(p,0)$ e diretriz $x=-p$. Distinga estas equações de uma hipérbole com diferença de quadrados.
Exemplo resolvido. A elipse (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 tem extremidades horizontais (-2,-2) e (4,-2). y²=8x tem p=2 e foco (2,0). Secantes com comprimentos externo/total ⟨3/12⟩ e ⟨4/9⟩ ambos têm produto ⟨36⟩, então uma tangente do mesmo ponto tem comprimento ⟨6⟩. Um cone de raio ⟨3⟩ e altura ⟨8⟩ tem volume ⟨24π⟩.
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
Para $(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$, declare o centro, semi-eixos horizontal e vertical, e quatro pontos terminais dos eixos. Para $y^2=-12x$, declare o vértice e o foco.
Raciocínio. O centro é ⟨$(-2,1)$⟩, semi-eixos ⟨5⟩ e ⟨3⟩, extremidades ⟨$(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$⟩. Na parábola, ⟨$4p=-12$⟩, logo ⟨$p=-3$⟩; vértice ⟨$(0,0)$⟩, foco ⟨$(-3,0)$⟩.
Prática 2
De um ponto exterior, uma tangente tem comprimento 6 cm. Uma secante tem segmento externo 4 cm. Encontre seu comprimento total e interno.
Raciocínio. Use a relação tangente-secante ⟨$t^2=ew$⟩. Reorganize ⟨$w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$⟩. O segmento interno é ⟨$w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$⟩. O produto usa o comprimento total, não apenas o interno.
Prática 3
Um recipiente cilíndrico tem raio 3 cm e altura 8 cm. Encontre seu volume e área de superfície total fechada. O que acontece com cada um se todos os comprimentos dobrarem?
Raciocínio. ⟨$V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$⟩. ⟨$A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$⟩. Dobrar todos os comprimentos multiplica o volume por ⟨8⟩ e a área por ⟨4⟩.
Prática 4
Classifique $x^2/16-y^2/9=1$ e $x^2+y^2=16$. Encontre a circunferência e a área do círculo. Para duas secantes de um mesmo ponto exterior, uma tem comprimentos externos/totais de 3/12 cm e a outra tem comprimento externo de 4 cm: encontre seu comprimento total e interno.
Raciocínio. A diferença de termos ao quadrado define uma hipérbole centrada na origem. A soma com coeficientes iguais define um círculo de raio ⟨4⟩. Sua circunferência é ⟨$C=2\pi r=8\pi$⟩ e sua área ⟨$A=\pi r^2=16\pi$⟩ nas unidades de comprimento e área de coordenadas, respectivamente. Os produtos de secantes coincidem: ⟨$e_1w_1=e_2w_2$⟩. Logo ⟨$w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$⟩; o segmento interno é ⟨$9-4=5\,\mathrm{cm}$⟩. Externo vezes interno aplicaria a relação errada.
Limites e próximo uso
Tire raízes quadradas para raios e semieixos; use comprimentos inteiros de secante e unidades cúbicas para volume.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.