Escopo e pré-requisitos
Quadro ACT, revisão de fevereiro 2026. Os casos aqui não são um modelo oficial do ACT.
- Transformar coordenadas distinguindo movimentos rígidos de dilatações
- Usar distância, ponto médio e inclinação como evidência geométrica
- Usar congruência válida e relações angulares em vez da aparência do diagrama
Pré-requisitos: Diferenças de coordenadas; congruência de triângulos; ângulos sobre retas paralelas.
Explicar e escolher o método
Uma translação adiciona um deslocamento a cada ponto; a reflexão no eixo x envia (x,y) para (x,-y). Uma rotação 90° anti-horária em torno da origem envia (x,y) para (-y,x). Essas isometrias preservam comprimentos e ângulos. A dilatação por fator k em torno da origem escala coordenadas e comprimentos por k quando k é positivo, preservando a forma mas geralmente alterando o tamanho.
Distância entre dois pontos segue o teorema de Pitágoras: eleve as diferenças de coordenadas ao quadrado, some e tire a raiz. O ponto médio faz a média de cada coordenada. Inclinação compara variação vertical e horizontal; inclinações perpendiculares não verticais têm produto -1. Linhas verticais e horizontais exigem tratamento separado devido à divisão por zero.
Um argumento geométrico parte das condições dadas ou marcadas. Ângulos opostos pelo vértice são iguais; retas paralelas fornecem relações de ângulos correspondentes e alternos. A soma dos ângulos do triângulo é 180°. LLL, LAL e ALA/AA podem estabelecer congruência com correspondência adequada, enquanto dois ângulos iguais estabelecem semelhança, mas não igualdade de tamanho.
O raciocínio de construção usa um compasso para transferir comprimentos e desenhar arcos de raio igual. A interseção de arcos de distância igual pode localizar uma mediatriz; ela não é um ponto médio suposto de um esboço. Evidências de coordenadas podem apoiar uma prova, mas uma figura escolhida especialmente não estabelece uma afirmação geral para todos os triângulos.
Isometrias preservam comprimentos e ângulos. Uma rotação 90° anti-horária envia $(x,y)$ para $(-y,x)$ em torno da origem. Distância é $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Ângulos iguais estabelecem semelhança, mas congruência também fixa o tamanho.
Exemplo resolvido. O ponto (2,-1) transladado por (3,4) torna-se (5,3); rotacionado 90° anti-horário em torno da origem torna-se (1,2). Entre (1,2) e (7,10), a distância é √(6²+8²)=10 e o ponto médio (4,6). Dois triângulos com lados correspondentes iguais 3,4,5 são congruentes por LLL; triângulos com ângulos iguais podem diferir por escala.
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
Gire A = $(2,-3)$ em sentido antihorário por 90° em torno da origem, depois translade por $(4,1)$. Inverta a ordem e compare as extremidades.
Raciocínio. Rotate primeiro para $(3,2)$, depois translate para $(7,3)$. Translate primeiro para $(6,-2)$, depois rotate para $(2,6)$. Pontos finais diferem, logo ordem de transformação importa.
Prática 2
A = $(-1,2)$ e B = $(5,10)$ são extremidades de um segmento. Encontre seu comprimento, ponto médio e equação da mediatriz.
Raciocínio. $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$. Ponto médio $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. Inclinação do segmento é $8/6=4/3$, logo inclinação perpendicular é $-3/4$. A mediatriz é $y-6=-(3/4)(x-2)$.
Prática 3
Dois triângulos têm ângulos 40°, 60° e 80°. Um tem lado mais longo de 9 cm; o outro, de 15 cm. Indique o que é provado e a razão entre suas áreas.
Raciocínio. Os triângulos são semelhantes por ângulos iguais, não congruentes porque os lados maiores correspondentes diferem. A razão de comprimento é $15/9=5/3$ e a razão de áreas (maior para menor) é $25/9$.
Prática 4
Descreva uma construção com compasso e régua da mediatriz do segmento AB. Forneça um motivo válido para cada ponto construído e distinga-o de medir um único diagrama. Em seguida, explique o que SSS prova para triângulos com comprimentos de lados correspondentes de 3,4,5 cm.
Raciocínio. Use o mesmo raio de compasso, maior que metade de AB, para traçar arcos centrados em A e B que se encontrem em P e Q em lados opostos. Trace PQ. PA=PB e QA=QB devido aos raios iguais. Assim, tanto P quanto Q pertencem ao lugar geométrico equidistante de A e B; PQ é a mediatriz. Alternativamente, use triângulos congruentes e a corda comum para estabelecer perpendicularidade e bisseção. Uma leitura de régua em uma imagem não prova o lugar geométrico geral. SSS prova a congruência dos dois triângulos citados, fixando tamanho e forma; Pitágoras também mostra que esses triângulos particulares são retângulos.
Prática 5
Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Um dos ângulos correspondentes é 68°. Encontre seu ângulo correspondente correspondente e o ângulo adjacente na segunda reta. Explique qual condição dada justifica cada etapa.
Raciocínio. O paralelismo dá o ângulo correspondente igual 68°. O par adjacente forma um ângulo raso, logo o outro é 180°−68°=112°. Ângulos correspondentes iguais exigem as retas paralelas declaradas; a soma do ângulo raso usa a adjacência sobre uma linha. Um esboço semelhante sem paralelismo não justificaria a primeira igualdade.
Limites e próximo uso
Siga o centro especificado e a ordem das transformações. Não use um par visualmente paralelo ou perpendicular como condição declarada.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.