Escopo e pré-requisitos
Quadro ACT, revisão de fevereiro 2026. Os casos aqui não são um modelo oficial do ACT.
- Interpretar amplitude, período e deslocamento vertical em uma regra sinusoidal
- Usar sinais do círculo unitário e identidades básicas
- Escolher uma relação de seno, cosseno ou área para um triângulo geral
Pré-requisitos: Radianos; razões de triângulos retângulos; coordenadas do círculo unitário.
Explicar e escolher o método
Para um triângulo retângulo, o seno é oposto/hipotenusa, o cosseno é adjacente/hipotenusa e a tangente é oposto/adjacente em relação a um ângulo escolhido. Triângulos semelhantes explicam por que essas razões dependem do ângulo e não do tamanho. No círculo unitário, as coordenadas são (cos θ, sin θ), estendendo as razões para outros quadrantes com os sinais apropriados.
sin²θ+cos²θ=1 e tan θ=sin θ/cos θ quando cos θ≠0. Para y=A sin(Bx)+D com x em radianos, a amplitude é |A|, período 2π/|B| e linha central D. Um A negativo reflete a onda; D desloca verticalmente. Verifique se a entrada está em radianos ou graus antes de usar um intervalo gráfico.
Para um triângulo geral, a lei dos cossenos c²=a²+b²-2ab cos C usa o ângulo incluído C entre a e b. A lei dos senos compara cada lado com o seno do seu ângulo oposto. A área é ab sin C/2 quando dois lados e seu ângulo incluído são conhecidos. Escolha a relação que corresponda às informações fornecidas.
Não inferir um ângulo reto apenas pelo esboço. Uma equação baseada no seno pode permitir mais de um ângulo em um intervalo permitido; mantenha as informações do quadrante e qualquer condição de soma do triângulo. Mantenha a amplitude distinta da distância total de pico a vale, que é o dobro da amplitude.
A amplitude é metade da distância do pico ao vale. Em $y=A\sin(Bx)+D$, é $|A|$; o período em radianos é $2\pi/|B|$. Para um triângulo não retângulo, combine lados conhecidos e ângulo incluído antes de selecionar a lei dos cossenos. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Exemplo resolvido. y=3 sin(2x)+1 tem amplitude 3, período π e valores entre -2 e 4. Um triângulo com lados 5 e 7 incluindo um ângulo de 60° tem terceiro lado $\sqrt{25+49-70(1/2)}=\sqrt{39}$ e área 35√3/4. Em 150°, o seno é 1/2 e o cosseno -√3/2.
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
Para entrada em radianos $y=-4\sin(2x)+3$, forneça amplitude, período, intervalo e valor em $x=\pi/4$.
Raciocínio. Amplitude é 4, período $2\pi/2=\pi$, intervalo de variação $-1\le y\le7$. Em $x=\pi/4$, $y=-4\sin(\pi/2)+3=-1$. O coeficiente negativo reflete a onda; não torna a amplitude negativa.
Prática 2
Um triângulo tem lados 6 cm e 10 cm incluindo 60°. Encontre seu terceiro lado e área sem assumir que é retângulo.
Raciocínio. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(6\,\mathrm{cm})^2+(10\,\mathrm{cm})^2-2(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\cos60^\circ=76\,\mathrm{cm^2}$, logo $c=2\sqrt{19}\,\mathrm{cm}$. $A=ab\sin C/2=(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\sin60^\circ/2=15\sqrt3\,\mathrm{cm^2}$.
Prática 3
Encontre todos os ângulos em $0^\circ\le\theta<360^\circ$ com $\sin\theta=1/2$. Para cada um, dê o cosseno e a tangente.
Raciocínio. Os ângulos são 30 e 150 graus. Os cossenos são $\sqrt3/2$ e $-\sqrt3/2$; as tangentes são $1/\sqrt3$ e $-1/\sqrt3$. O seno é positivo nos quadrantes I e II, logo uma única resposta aguda seria incompleta.
Prática 4
Um triângulo retângulo tem catetos 9 e 12 cm. Encontre a hipotenusa e o seno/cosseno do ângulo oposto ao lado de 9 cm. Outro triângulo tem ângulos 30° e 45° e um lado de 8 cm oposto ao ângulo de 30°. Encontre o lado oposto ao ângulo de 45°, explicando por que a lei dos senos se aplica.
Raciocínio. $c=\sqrt{(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$. Assim $\sin\theta=9/15=3/5$ e $\cos\theta=12/15=4/5$; a soma dos seus quadrados é 1. No segundo triângulo, um par conhecido de lado-ângulo oposto permite $b/\sin45^\circ=(8\,\mathrm{cm})/\sin30^\circ$. Portanto $b=(8\,\mathrm{cm})(\sqrt2/2)/(1/2)=8\sqrt2\,\mathrm{cm}$. Este triângulo não é assumido retângulo; seu terceiro ângulo é 105°.
Limites e próximo uso
Especifique as unidades angulares e identifique o ângulo compreendido. O valor máximo é linha central mais amplitude, não apenas a amplitude.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.