Escopo e pré-requisitos
Quadro ACT, revisão de fevereiro 2026. Os casos aqui não são um modelo oficial do ACT.
- Diferenciar diferença aritmética de razão geométrica
- Encontrar um termo ou soma finita mantendo a indexação consistente
- Converter equações logarítmicas para forma exponencial no domínio válido
Pré-requisitos: Notação de índice; regras de expoente; sequências finitas.
Explicar e escolher o método
Uma progressão aritmética possui diferença constante d: aₙ=a₁+(n-1)d. Sua soma finita é n(a₁+aₙ)/2. Uma progressão geométrica possui razão constante r: aₙ=a₁r^(n-1). Para r≠1, a soma finita é a₁(1-rⁿ)/(1-r); quando r=1, é simplesmente n a₁. Corresponda o termo ou total solicitado.
Um modelo exponencial A b^t representa multiplicação por b por unidade de tempo declarada. Um crescimento percentual r usa fator 1+r; mudanças repetidas multiplicam fatores em vez de somar porcentagens. Se o dobro leva várias unidades de tempo, divida t por esse intervalo no expoente.
Para base b>0 com b≠1, log_b(a)=c significa b^c=a e exige a>0. Resolva uma equação logarítmica traduzindo-a para uma relação exponencial, depois verifique o argumento do logaritmo. Logaritmos de produtos somam sob argumentos positivos válidos; logaritmos não se distribuem sobre adições.
Use potências exatas quando disponíveis. O ACT pode testar uma relação logarítmica simples sem exigir tabelas numéricas. Uma aproximação calculada ainda deve respeitar a representação e o domínio da questão. Mantenha separados conceitualmente o índice de uma sequência, o tempo de um modelo exponencial e o argumento de um logaritmo.
Sequência aritmética : $a_n=a_1+(n-1)d$. Sua soma é $S_n=n(a_1+a_n)/2$. Sequência geométrica : $a_n=a_1r^{n-1}$ e $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ para $r\ne1$. Um logaritmo inverte a exponenciação: $\log_b a=c$ significa $b^c=a$, com $a>0$, $b>0$, $b\ne1$.
Exemplo resolvido. Aritmética 4,7,10,… tem a₅=16 e soma dos cinco primeiros=5(4+16)/2=50. Geométrica 3,6,12,24 tem soma de quatro termos 45. log₂(x-1)=4 resulta em x-1=16, logo x=17, que satisfaz x>1. Uma população 50·2^(t/3) atinge 200 após seis unidades de tempo.
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
Cadeiras em fileiras sucessivas contam 12,16,20,… . Encontre a oitava fileira e o total nas primeiras oito fileiras. Declare a premissa do modelo.
Raciocínio. Diferença constante é 4 assentos por fileira. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ assentos. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ assentos. Isso assume o mesmo incremento de quatro assentos em todas as oito fileiras.
Prática 2
Uma sequência geométrica começa 5,15,45,… . Encontre seu quinto termo e a soma dos primeiros cinco termos. Explique o que muda se a razão for 1.
Raciocínio. $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$. Quando $r=1$, a fração tem denominador zero e a soma correta é $na_1$, aqui 25 para cinco termos idênticos.
Prática 3
Resolva $\log_2(x-3)=5$ e explique por que $\log_2(x+3)$ não pode geralmente ser dividido em $\log_2x+\log_23$.
Raciocínio. O domínio exige $x>3$. A forma exponencial resulta em $x-3=32$, logo $x=35$ e o argumento é positivo. A soma de logaritmos corresponde ao produto $3x$, não $x+3$; em $x=1$, a igualdade proposta equipararia 2 com $\log_23$.
Prática 4
Um modelo de cultura começa com 120 células e cresce por um fator de 1.5 a cada duas horas. Escreva $N(t)$ para horas $t$, encontre $N(4)$ e distinga o fator da porcentagem de crescimento.
Raciocínio. Células $N(t)=120(1.5)^{t/2}$. Células $N(4)=120(1.5)^2=270$. O crescimento é 50% a cada duas horas, não 150%; o fator de quatro horas é 2.25. O fator horário seria $\sqrt{1.5}$.
Limites e próximo uso
Não use n em vez de n-1 para o enésimo termo, confunda uma soma finita com seu último termo, ou expanda log(a+b) como log a + log b.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.