Escopo e pré-requisitos
Quadro ACT, revisão de fevereiro 2026. Os casos aqui não são um modelo oficial do ACT.
- Avaliar e converter entre regras de função, tabelas e gráficos
- Rastrear a ordem de entrada e o domínio através da composição
- Restrinja o domínio da função até que ela seja injetiva, depois encontre sua inversa
Pré-requisitos: Notação funcional; substituição; resolução de equações.
Explicar e escolher o método
Uma função fornece uma saída para cada entrada permitida. Um gráfico cortado por uma linha vertical em dois pontos distintos não é função de x. Domínio lista entradas permitidas; imagem lista saídas alcançadas. Converta uma tabela em regra apenas quando a relação for válida e interprete o papel de cada variável.
Em f(g(x)), a função interna g atua primeiro e sua saída deve pertencer ao domínio de f. Para f(u)=1/(u-1) e g(x)=x²+1, a composição resulta em 1/x², excluindo x=0. A verificação do domínio aplica-se às funções originais e ao resultado simplificado.
Uma mudança na saída f(x)+k desloca verticalmente em k; f(x-h) desloca para a direita em h. Um multiplicador externo altera a escala da saída, enquanto um multiplicador interno altera a velocidade com que a entrada atinge valores anteriores. Identifique um ponto conhecido para verificar a transformação, em vez de adivinhar a direção pelo sinal.
Uma inversa troca entrada e saída e exige uma relação injetora no domínio escolhido. Resolva y=f(x) para x, depois troque os nomes. Uma quadrática geralmente precisa ser restrita a um lado do vértice. A função inversa f⁻¹ não é o recíproco 1/f. Verifique a composição em ambas as direções no domínio permitido.
A composição aplica primeiro a regra interna. Se $f(u)=1/(u-2)$ e $g(x)=x^2+2$, $f(g(x))=1/x^2$, com $x\ne0$. Uma inversão inverte entrada e saída em um domínio injetor. Restrinja $h(x)=(x-1)^2$ a $x\ge1$ antes de calcular $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$.
Exemplo resolvido. f(x)=2x+3 e g(x)=x² resultam em f(g(x))=2x²+3, mas g(f(x))=(2x+3)². Para h(x)=(x-2)² restrito a x≥2, a inversa é 2+√x com domínio x≥0. Um deslocamento vertical de h por 4 tem vértice (2,4); a quadrática ilimitada não teria uma inversa unívoca.
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
Seja $f(u)=1/(u-3)$ e $g(x)=x^2+3$. Encontre $f(g(x))$ com seu domínio. Calcule $g(f(4))$ e explique por que essas composições diferem.
Raciocínio. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$, excluindo $x=0$. Para a outra ordem, $f(4)=1$ e $g(1)=4$. A ordem da composição altera tanto a operação quanto possivelmente o domínio; $f(g(4))=1/16$ é diferente.
Prática 2
Restrinja $h(x)=(x+2)^2$ a $x\le-2$. Encontre sua inversa, incluindo domínio e imagem. Explique por que o ramo da raiz positiva está incorreto.
Raciocínio. Resolva $y=(x+2)^2$ com $x+2\le0$ para obter $x=-2-\sqrt y$. Logo, $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$, domínio $x\ge0$, imagem $y\le-2$. O ramo positivo retorna valores fora do domínio original escolhido.
Prática 3
O gráfico de $f(x)=x^2$ é transformado em $g(x)=3f(x+4)-2$. Encontre seu vértice e imagem, verificando um ponto mapeado.
Raciocínio. $g(x)=3(x+4)^2-2$ tem vértice $(-4,-2)$ e imagem $y\ge-2$. Ponto antigo $(1,1)$ mapeia para $(-3,1)$ porque $3(1)-2=1$; a substituição confirma $g(-3)=1$.
Limites e próximo uso
Preserve a ordem da composição e o ramo da inversa restrita. O expoente -1 na notação funcional não significa recíproco.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.