산포 및 그룹화 데이터

어휘

English	의미
grouped data/ɡruːpt ˈdeɪtə/	구분 데이터
modal class/ˈməʊdl klæs/	최빈 구간
quartiles/ˈkwɔːtaɪlz/	사분위수

데이터가 그룹으로 이루어질 때

한 조사에서는 200명의 학생 키를 기록했습니다. 200개의 값을 모두 나열하는 대신 데이터를 그룹화했습니다: $140$–$150$ cm ($15$名学生), $150$–$160$ cm ($45$名学生), 등등.
그룹화된 데이터는 개별 값이 사라지므로 평균을 추정할 수만 있습니다.

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산포 측정 실험실

산포에 대해 무엇을 알려주는지에 따라 데이터 요약进行分类.

그룹화된 평균 추정하기

각 구간의 **중간값(Midpoint)**을 대표 값으로 사용합니다:

$$\text{estimated mean} = \frac{\sum (\text{midpoint} \times \text{frequency})}{\sum \text{frequency}}$$

Example

구간 $10$부터 $20$까지의 중간값은 $\dfrac{10 + 20}{2} = 15$입니다.

**최빈 구간(Modal class)**은 빈도가 가장 높은 그룹입니다.

막대 그래프는 각 그룹의 빈도를 보여줍니다

연습

10부터 20까지인 그룹화 클래스의 값으로 사용할 중점은 무엇입니까?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

그룹화 데이터의 최빈 클래스(modal class)는:

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

가장 높은 빈도를 가진 클래스
가장 큰 중점을 가진 클래스
가장 넓은 클래스
중앙값을 포함하는 클래스

연습

30부터 50까지인 클래스의 중점은 무엇입니까?

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

사분위와 IQR

데이터를 순서대로 나열합니다. **사분위(Quartiles)**가 이를 네 등분합니다:
**하위 사분위(LQ)**는 $\dfrac{1}{4}$ 위치에 있습니다.
**상위 사분위(UQ)**는 $\dfrac{3}{4}$ 위치에 있습니다.

$$\text{IQR} = \text{UQ} - \text{LQ}$$

Watch out

IQR, 범위가 아닙니다. IQR은 extremes를 무시하고 데이터의 중간 반부의 산란도를 측정합니다. 이치점이 있을 때 범위보다 신뢰할 수 있습니다.

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상자 수염 그림(Box-and-whisker plot)

5개 요약통계량에서 상자 수염 그림을 만드십시오: 상자는 중간 50%(사분위범위)이며, 중앙값의 위치는 치우침을 보여줍니다.

연습

상위 사분위수가 15이고 하위 사분위수가 7인 데이터셋이 있습니다. 사분위범위를 구하십시오.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

사분위범위는 범위와 달리 극단값을 무시합니다.

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

연습

IQR는 데이터의 중간 ______의 산포를 측정합니다.

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

worked example (해설 예시)

UQ $= 15$, LQ $= 7$: $\text{IQR} = 15 - 7 = 8$.
이는 데이터의 중간 $50\%$이 $8$ 단위의 범위를 차지함을 의미합니다.

산포도를 공정하게 비교하기

중앙 사분의 산포도를 보고 싶을 때는 IQR을 비교하십시오. IQR이 작으면 중앙 그룹의 일관성이 높음을 의미합니다.
중위수도 비교해야 한다. IQR이 같다고 해서 전형적인 값이 같은 것은 아니다.

구간화 추정치 계산하기

구间$0\le x<10,10\le x<20,20\le x<40$의 빈도는 4,6,5이다. 중심값은 5,15,30이며, 가중 합계는 $T=4(5)+6(15)+5(30)=260$이다.
평균 $\bar x\approx260/15=17.3$를 소수점 첫째 자리까지 구하시오. 최빈 구간은 $10\le x<20$이며, 가장 높은 빈도는 6입니다. 개별 값이 알 수 없으므로 평균은 추정값입니다.

연습

계급 중점 5,15,30에 대한 빈도는 4,6,5입니다. 추정 평균을 소수점 1 자리까지 구하십시오.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

개별 데이터의 사분위

순서대로 나열된 값 $2,4,5,7,8,10,12,14$에서 중앙값은 $(7+8)/2=7.5$입니다. 하반부 및上半부의 중앙값을 통해 $Q_1=(4+5)/2=4.5$과 $Q_3=(10+12)/2=11$을 구합니다.
$\text{IQR}=Q_3-Q_1=11-4.5=6.5$. 목록을 바탕으로 계산할 때 사용하는 관례를 명시하십시오. 그래프 문제에서는 사분위점(quarter)과 삼사분위점(three-quarter)의 누적 위치를 사용합니다.