| English | 의미 |
|---|---|
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 연속형 확률변수 |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | 확률밀도함수 |
| area/ˈeərɪə/ | 면적 |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | 누적분포함수 |
확률을 나타내는 곡선
- 연속 확률변수는 특정 범위 내의 모든 값을 가질 수 있다. 예를 들어 버스가 도착하는 정확한 시간이나 사람의 정확한 키 등이 그것이다.
- 이산 변수와 달리 각 값에 대한 확률을 나열할 수 없다. 대신 확률밀도함수(pdf)가 형태를 설명하며, 확률은 곡선 아래의 면적으로 표현된다.
확률밀도함수
- 연속 확률변수는 특정 범위 내의 모든 값을 가질 수 있으며, 이를 확률밀도함수 $f(x)$로 기술한다:
풀이 예시. $f(x) = \dfrac{x}{8}$일 때 $0 \leq x \leq 4$, 그렇지 않으면 0. 확인: $\int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \left[\dfrac{x^2}{16}\right]_0^4 = \dfrac{16}{16} = 1$. ✓
$f(x)$은 확률이 아닙니다. $f(x)$의 한 점에서의 값은 1보다 클 수 있습니다. 두 점 사이의 곡선 아래 면적만이 확률을 의미합니다.
연속 변수에서 확률은 밀도 f(x) 아래 면적입니다
면적 = 확률
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
연속 변수의 경우 확률은 밀도 곡선 아래 두 값 사이의 면적이다.
모든 x에 대해 ∫f(x)dx가 되는 값은 무엇인가?
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pdf 전체 아랫 면적은 항상 1이다.
f(x)의 한 점에서의 값은 X가 그 값을 가질 확률이다.
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f(x)는 확률이 아닌 밀도이다. f(x) 아랫 면적만 확률을 준다. f(x)는 1보다 클 수도 있다.
f(x) = x/8 (0 ≤ x ≤ 4)일 때, ∫₀⁴ (x/8) dx = [x²/16]₀⁴임을 확인하시오. 결과는?
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[x²/16]₀⁴ = 16/16 − 0 = 1. 전체 면적이 1이므로 유효한 pdf임이 확인된다.
확률 구하기
- 확률은 $f$ 아래 면적: $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$입니다.
확률은 f(x) 아래 면적이며, 모든 x에 대한 총 면적은 1이어야 합니다.
연속 변수에서 P(a < X < b)는 f(x) 아랫 a와 b 사이의 면적이다.
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연속 변수의 확률은 밀도 함수 아랫 면적이다.
평균과 분산 구하기
- 평균은 $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx$입니다.
- 분산은 $\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$이며, 여기서 $E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx$입니다.
f(x) = ½x (0 ≤ x ≤ 2)일 때, E(X) = ∫₀² x(½x) dx = [x³/6]₀². E(X)는? (약, 2dp)
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E(X) = ∫₀² ½x² dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3 ≈ 1.33.
누적 분포 함수
- cdf는 $F(x) = P(X \leq x) = \displaystyle\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$입니다.
- $F(x)$은 $f$ 아래에서 $x$까지의 면적입니다. 항상 0에서 1로 증가합니다.
- 밀도 함수를 사용하여 중位数(median) 및 기타 **백분위수(percentiles)**를 구할 수 있습니다.
누적 분포 함수 F(x)는 다음을 나타냅니다:
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F(x) = P(X ≤ x) = f 아랫 x까지의 면적이다.
이해했습니다
- pdf는 $f(x) \geq 0$을 가지며 총 면적은 $\int f = 1$입니다
- 확률은 상한과 하한 사이의 $f$ 아래 면적입니다.
- 평균 $E(X) = \int x\,f(x)\,dx$