복소수

존재하지 않는 숫자

• $\sqrt{-1}$是什么呢? 수세기에 걸쳐 수학자들은 이것이 존재하지 않는다고 말했다. 그러나 그들이 그것이 존재한다고 가정하는 것 — 이를 $i$이라 부르는 것 —이Otherwise 없던 방정식의 해를 열었다는 것을 발견했다.
• 복소수는 수직을 평면으로 확장하며, 전기 공학, 양자 역학, 신호 처리에 필수적이다.

복소수

• 복소수는 $z = x + iy$이며, 여기서 $i^2 = -1$ — $x$은 실수부, $y$은 허수부이다.
• 복소共轭수 $z^* = x - iy$. 실수 계수 다항식은 복소공유근 쌍으로 비실수 근을 가진다.
• 절대값 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$; 인수는 양의 실수축으로부터의 각도이다.

로마네스코와 같은 자기 유사 패턴은 복소평면에서의 반복에서 발생함

아르간도 도표와 극형식

• $z$을 아르간도 도표 위에 점으로 그리되(실수축은 수평, 허수축은 수직으로).

아르간도 도표에서 절댓값 |z|는 원점에서의 거리이고, 인수는 각도 θ이다.

• 극형식: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ — 절댓값을 곱하고 인수를 더하면 곱해진다.

복소공유근수를 이용한 나눗셈

• 나누기하려면 분자와 분모에 분모의 복소공유근수를 곱한다.
• 예시: $\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1+1} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i$.

복소근을 포함하는 방정식 풀이

• 판별음이 음수인 이차방정식은 복소근을 가집니다: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2i$.
• 실수 계수 다항식은 항상 복소공유근 쌍으로 비실수 근을 가집니다: 만약 $a + bi$이 근이라면, $a - bi$도 근입니다.

allow_no_figure: 복소수 연산과 아르간도 도표는 대수/기하학적 개념으로, 기호와 풀이 예제를 통해 효과적으로 전달됩니다.

• 데카르트 좌표계와 극형식 외에, 복소수의 제곱근을 구하고 궤적(예: $|z-a|=r$)을 그려보십시오.

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