| English | 의미 |
|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | 감쇠 |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 미분방정식 |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 변화율 |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 초기 조건 |
| separable/ˈsepərəbl/ | 변수분리 가능 |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 적분 상수 |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 특해 |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 일반해 |
미래를 예측하는 방정식
- 한 집단은 얼마나 빠르게 증가하는가? 방사성 물질은 얼마나 빨리 붕괴하는가? 커피 한 잔은 어떻게 식는가?
- 이러한 모든 질문들은 미분 방정식으로 이어진다 — 양과 그 변화율 사이의 관계를 연결하는 방정식이다. 이를 풀면 미래를 예측할 수 있다.
미분방정정이 무엇인가요?
- 미분 방정식은 양과 변화율 사이의 관계를 연결한다.
- 예시: $\dfrac{dy}{dx} = ky$은 성장 속도가 현재 값에 비례함을 나타낸다 — 지수적 성장이다.
실제 사례. 뉴턴의 냉각 법칙: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. 냉각 속도는 물체가 주변 환경보다 얼마나 더 뜨거운지에 비례한다.
상수값이 곡선 가족을 구성하며, 초기 조건이 하나를 선택함
The slope field
dy/dx = a y
A differential equation gives the slope everywhere — the solution is the curve that follows those slopes from y₀.
A differential equation links a quantity to its rate of change.
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That is the defining feature: the equation involves both y and dy/dx (or higher derivatives).
분리 가능한 방정식
- 분리 가능한 1계 방정식의 경우: $y$ 항을 한 쪽에, $x$ 항을 다른 쪽에 배치한 후 양변을 적분한다.
- 예시: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
적분 상수를 잊지 마세요. 양변을 적분할 때 한 쪽에 $+C$을 더해야 한다. 이 상수는 어떤 특정 해를 얻게 될지를 결정한다.
To solve a separable first-order differential equation, you:
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Separate the variables, then integrate each side.
일반 해와 특이 해
- 일반 해에는 상수가 포함되어 있어(곡선 가족 전체),
- 초기 조건(알려진 값)은 상수를 고정시켜 특이 해를 구하게 한다.
An initial condition is used to:
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A known value fixes the arbitrary constant, turning the general solution into the particular one.
The general solution of a differential equation contains an arbitrary constant.
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Integrating introduces a constant, so the general solution is a whole family of curves.
worked example (해설 예시)
- $\dfrac{dy}{dx} = xy$를 $y = 1$이 $x = 0$일 때 푼다.
- 변수 분리: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. 적분: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- $y(0) = 1$ 적용: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- 따라서 $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$입니다.
allow_no_figure: 미분 방정식은 대수적으로 풀린다 — 변수 분리 및 적분과 같은 해결 과정이 핵심 내용이며, 도표는 필수적이지 않다.
- 일차 미분방정식을 풀어서 실제 상황의 변화율을 모델링합니다.
Solve dy/dx = xy with y(0) = 1. At x = 2, y = e^(x²/2). Find y (2 dp).
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y = e^(x²/2). At x = 2: y = e² ≈ 7.39.
If ln y = x²/2 + C and y(0) = 1, what is C?
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ln 1 = 0 + C, so C = 0.
이해했습니다
- 변수를 분리하고 양변을 적분하여 분리 가능한 방정식을 푼다.
- 일반 해에는 상수가 있으며, 초기 조건은 특이 해를 제공한다.
- 미분 방정식은 양과 변화율 사이의 관계를 연결한다.